職業本科教育背景下高等數學課堂教學探究

王燕

【摘要】課程是職業本科教育最重要的元素，課堂教學是學生素質養成和能力培養最重要的途徑.高等數學作為一門通識課，課時多、戰線長，教師應該在講授教學內容的同時，積極探究能夠提高教學效率、有利于學生能力發展的教學方式.基于此，文章以職業本科高等數學課程中“定積分的概念”的教學為例，依據教學理論和學習理論展開了相關的教學設計，通過啟發、類比、歸納、總結引導學生學習知識，在教學設計中體現了職業本科課堂教學中以學生為中心和主體的理念，在傳授學生數學知識的同時，起到德育作用.

【關鍵詞】職業本科；高等數學；定積分概念；教學設計

【基金項目】2022年度西安汽車職業大學校級教育教學改革重點研究項目，項目編號：2022JG002，課題名稱：“課程思政”視域下高等數學教學探究；陜西省職業技術教育學會2023年度教育教學改革研究課題，課題編號：2023SZX239，課題名稱：職業本科《線性代數》課程思政教學設計與實踐.

數學類課程是高校各專業學生都要學習的公共基礎課程，旨在培養學生的邏輯思維及分析問題、解決問題的能力.其知識體系中有很多抽象的概念，對于其內涵和外延，教師講起來抽象，學生理解起來也很困難.傳統的教學方法大多單純講授知識，過于理論化，與其他專業課程結合得不夠緊密，相對比較枯燥乏味，學生學習的主動性也較弱，導致學習效率低、效果差.那么如何使數學教育教學生動有趣，從而提高學生學習的主動性和學習效果呢？現在許多教師逐漸嘗試將思想政治教育工作融入數學課堂，將知識傳授、能力培養與價值引領相統一，使得數學教學與思想教育協調同步，相得益彰.以學生為主體，將數學教學與思政教育相結合，就像是灑向數學教學這塊土地上的雨露與陽光，滋潤一顆顆職業本科的“幼苗”茁壯成長.

一、教學分析

（一）內容分析

第一，通過學習“定積分的概念”體會定積分思想，啟發學生發揮創新思維，“積”聚力量.

第二，在講授“定積分的概念”的過程中，嵌入“持之以恒，積極進取”的人生觀，告訴學生要積極對待人生，厚積薄發，永攀高峰，每天進步一點點，為實現夢想而努力.

（二）教學背景

“定積分的概念”是學習定積分的基礎，它上承導數和不定積分，下啟重積分、曲面積分和曲線積分.該節課的學習為后面討論定積分的性質、計算和應用奠定了基礎.

只要是一個連續量連續變化的“積累”問題，例如變力的沖量、電量、變力沿直線做功、變速直線運動路程等，都可以歸結為這種特殊和式的極限進行計算.

（三）學情分析

本節課的授課對象是職業本科一年級學生，雖然學生在高中學習了與定積分有關的一些知識，但只是初步認識，并未進行系統的學習與運用，并未涉及一些復雜的概念和計算.因此，學生在學習本部分內容時，依然存在一定的困難，并不具備獨立自主求解定積分相關題目的能力.具體有如下表現：

第一，學生已經有了基礎，在前面已經學習了導數、微分、不定積分相關內容，本節課是對前面內容的延伸；

第二，對于數學課來說，單純的理論教學學生接受程度較低，注意力也無法長時間集中，在教學中引入故事、實例等能夠增強教學效果；

第三，很多學生并不理解抽象的概念、定理，只會機械做題.因此，教師應引導學生分析問題，培養其解決問題的能力.

二、教學目標

（一）知識目標

了解定積分的來源、理解“定積分的概念”、會用定積分定義求定積分.

（二）能力目標

第一，通過求解曲邊梯形面積，學會用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法分析問題和解決問題，提高邏輯思維能力；

第二，深切感受“以直代曲”“逼近”的相關思想，在學習的過程中掌握極限的思想方法，在實際生活中善于利用此方法思考和解決遇到的問題，增強創新意識.

（三）情感目標

第一，不同問題有著不同的解決方法，也蘊含著不同的數學內涵，在整個解決實際問題的過程中，學生要認識到數學和實際生活之間的聯系，發自內心欣賞數學之美；

第二，通過學習，培養學生積極向上的心態，使其擁有正確的人生觀、世界觀、價值觀.

三、教學重、難點

教學重點：深刻理解“定積分的概念”，了解唯物主義思想以及辯證法.

教學難點：引導學生認識定積分重要數學思想的具體形成過程及對人生成長的影響.

四、課堂組織與實施

（一）教學方法

“問題教學法”和“講授法”結合使用，采用“啟發式”和“互動式”相結合的教學模式，以多媒體工具為輔助，引導學生思考定義的構建過程及方法的形成過程，體會數學之美，感受數學之用.

（二）情境展示

首先開始“定積分定義的兩個引例”內容的學習.教師用多媒體播放了我國某處農田的航拍視頻，對于視頻中形狀規則的農田面積，可以用公式求解；對于視頻中形狀不規則農田的面積求解問題，可以轉化為求解曲邊梯形面積的問題.

（三）教學設計

任務一：引入課程

實現方法：通過講解我國古代相關數學故事、歷史故事、人物故事等，引出定積分的來源，循序漸進地引導學生對定積分的學習產生興趣.

設計意圖：在枯燥的數學教學中講解數學文化相關知識，不僅可以激發學生的學習興趣，而且可以實施德育.在引入課程的同時，激發學生內心的崇拜之情，樹立榜樣的力量，讓學生深切地感受我國數學文化成就，培養文化自信.

任務二：面積求法探討

實現方法：用投影儀呈現與本節課內容相關的圖片或視頻，引導學生學習、思考、討論.

設計意圖：聯系實際，引出曲邊梯形面積求解問題，激發學生的學習興趣，調動學生的積極性，啟發學生思考.通過類比圖形面積的求法，讓學生經歷從特殊到一般、從具體到抽象的數學探究過程.

任務三：幾何引例———求曲邊梯形面積

設函數y=f（x）在區間[a，b]上非負連續，求由曲線y=f（x），直線x=a，x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

實現方法：對于求曲邊梯形面積的難點———曲邊，教師引導學生利用y=f（x）的連續性，用直線來代替上面的曲邊：將大的曲邊梯形分割為小的曲邊梯形，用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積（教師用課件動態演示），讓學生觀察到分割得越精細，兩者面積越接近，然后讓學生分組討論求曲邊梯形面積的思路，最終得出結果：所求的面積實際上是對一個特定結構進行計算的和式求極限.

設計意圖：建構求解曲邊梯形面積的步驟（分割—近似—求和—取極限），求解過程中用到了分而治之的思想.教師利用具體的幾何圖形進行演示，讓學生可以直觀地了解到相關數學思想的形成過程.在講解過程中，對于有限向無限、直與曲的轉化過程，教師可著重演示，以啟發學生的辯證唯物主義哲學思想，同時培養學生的總結、歸納能力.

具體方法及目標：

（1）分割（化整為零）：將區間[a，b]分割成n個小區間，這樣大的曲邊梯形就被分割成了n個小曲邊梯形.為什么會進行這樣的操作呢？這其實可以類比為人們將難以達成的大目標拆分為多個簡單的小目標去完成的過程.每完成一個小目標，學生都會體驗到成功的樂趣，這將激勵學生繼續完成其他目標，培養學生不屈不撓的精神.

故事啟發：“曹沖稱象”

無法直接去稱一整頭大象的重量時，曹沖就用等量石頭來代替.先“化整為零”（將大象的體重用很多塊石頭的質量代替），再“積零為整”（石頭的總質量就是大象的體重）.借此讓學生認識到：要達成人生目標，就要“化整為零”“積零為整”，一步一個腳印.

（2）近似（以直代曲）：用第i個小矩形的面積近似代替第i個小曲邊梯形的面積.

故事啟發：數碼照片放大后，是由一塊塊的小正方形構成的，為什么會這樣呢？教師在這里向學生介紹了劉徽的割圓術：為了求出圓周率，這位古代的數學家應用“以直代曲”“以不變代變”及“無限逼近”的思想方法創造了割圓術，體現了曲與直的辯證統一思想.

（3）求和（積零為整）：將n個小矩形的面積加起來，就可以近似求出曲邊梯形的面積.

故事啟發：這一環節，教師想到了“積少成多，集腋成裘”“不積小流無以成江河，不積跬步無以至千里”.從這種思想出發，還可以延伸到“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”.教師可以借此引導學生樹立正確的人生觀、價值觀.

（4）取極限：和式的極限如果存在，就是曲邊梯形的面積.

故事啟發：手機像素越高，圖片越清晰，如果探究者精益求精，將大曲邊梯形進行無限細密的劃分，那么所有小矩形的面積之和就可看成大曲邊梯形的面積，這個無限細密的劃分就對應于“取極限”的步驟.這正是“有限和無限對立統一”的辯證觀.

任務四：物理引例———求變速直線運動的路程

某物體做變速直線運動，速度函數v（t）是時間間隔[a，b]上關于t的連續函數，并且v（t）≥0，求時間間隔[a，b]內物體經過的路程.

實現方法：通過“分割、近似、求和、取極限”可以計算出變速直線運動的路程.

任務五：由以上兩個引例抽象出定積分的定義

實現方法：尋找兩個引例的共性———解決問題的步驟相同、表達式結構相同.摒除不同的背景，就可以提煉出“定積分的概念”.

設計意圖：通過學習，學生對于本部分內容的印象更加深刻，理解也更加充分.生活中的經驗、故事、思想品質可歸結為“定積分的概念”涉及的“化整為零、以直代曲、積零為整、無限細分”的數學思想，進而提煉出“以退求進”“從有限到無限，量變到質變，近似到精確”的哲學思想，借此讓學生意識到：遇到問題時，若直接解決有困難，可轉變思想，先解決接近或容易解決的問題，然后分析求解方法，逐步解題.探尋解題方法的過程才是令人難忘的.教師應充分挖掘教學內容中的素質教育素材，增強課程的趣味性和吸引力，寓教于樂，豐富學生的精神世界，才能升華課堂教學，展現數學課程的“科學”和“人文”價值.

結 語

上述教學過程以學生為中心，不僅讓學生對數學之美有深切的感受，還實現了教學育人的目標.教學過程中，教師引入曹沖稱象的案例，在與“定積分的概念”中求不規則圖形的面積緊密聯系的同時，鼓勵學生努力動腦，創新思維，啟發學生每天進步一點，為自己的夢想奮斗、為中國夢奮斗.在以后的教學中，教師應秉承“以學生為中心”的教學理念，積極創新教學方式，提高學生的課堂參與程度，將學生的思想教育與價值觀培養潤物細無聲地融入課堂教學之中.

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