例析中考代數推理題及其教學反思

吳琨

摘要：推理是數學思維的主要表現，體現了數學的嚴謹性，保障了數學的科學性.在日常的數學教學中，教師往往注重培養學生的幾何推理能力，卻忽視對學生代數推理能力的培養.事實上，代數推理同樣重要.目前，隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，教師應徹底轉變主要依賴幾何培養學生數學推理能力的觀念，而應同樣重視代數推理在培養學生核心素養方面的作用.本文中結合近幾年江蘇中考代數推理題的解題思路進行分析，并結合初中數學教學進行反思.

關鍵詞：代數推理；解題思路；教學反思

1 代數推理的重要性與含義

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）指出，推理能力是數學核心素養的主要表現之一，有助于學生逐步養成重論據、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態度與理性精神［1］.

《2022年版課標》對初中階段推理能力的內涵界定如下：“推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力.”由此，新課標把培養目標中的數學思維表述為“主要表現為運算能力、推理意識或推理能力”.其中，運算本質上就是演繹推理［2］.所以，在這個意義上可以認為，培養目標中的數學思維主要表現為推理，推理集中反映了數學思維的共通育人要求和獨特育人價值［3］.

在日常的數學教學中，有高中教師反映，初中生代數領域的推理能力難以應對高中階段代數學習的要求.對此，《2022年版課標》在代數式這一部分內容增加了“了解代數推理”，近年來考查學生代數推理能力也已逐漸成為中考的一個新的考查方向.

2 從中考題看代數推理的解題思路

2.1 演繹推理

例1 （2021年·江蘇南京）設x1，x2是關于x的方程x2-3x+k=0的兩個根，且x1=2x2，則k=[CD#3]．

解析：根據根與系數的關系，可得x1+x2=3，x1x2=k，再結合題目已知條件x1=2x2，可得k=2.

評析：本題是運用演繹推理解決問題，即從一般性原理出發，推出某特殊情況下結論.首先是已知的一般原理（大前提），即根與系數的關系；其次，存在所研究的特殊情況（小前提），即x1+x2=3，x1x2=k，x1=2x2；最后得出特殊情況下的結論.

解析：因為m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，所以

m2+3m-1=0，則

3m-1=-m2.

因為m，n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個根，所以

m+n=-3.

評析：本題也是代數演繹推理的運用.在求解時，首先要知道運用哪些大前提（根與系數的關系，等式與分式的基本性質），然后再根據題目中的小前提（m，n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個實數根）進行求值.在求解中，可以利用整體代換、降次等變形技巧.

小結：例1、例2都是考查學生代數演繹推理能力.演澤推理的基本形式為“三段論”，即大前提—小前提—結論.這既能培養學生自主探究的能力，又能培養學生演繹推理的能力.學生在日常學習中就要注重問題的探求過程，體驗知識“數學化”的過程，要學會用嚴謹的數學語言進行表達.以上演繹推理是通過相關運算進行的，屬于算數推理或代數推理.

2.2 歸納推理

例3 （2022年·江蘇宿遷）按規律排列的單項式x，-x3，x5，-x7，x9，……，則第20個單項式是[CD#3]．

解析：第1個指數為2×1－1＝1，

第2個指數為2×2－1＝3，

第3個指數為2×3－1＝5，……，

第n個指數為2n-1；并且，第偶數個單項式的系數為-1.

所以第20個單項式是-x39.

評析：本題考查的知識點是單項式的系數與次數的含義，關鍵是通過歸納與總結得到單項式的系數與次數的規律.通過代數運算發現指數規律，掌握“從具體到一般的探究方法”.

例4 （2021年·江蘇揚州）將黑色圓點按圖1所示的規律進行排列，圖中黑色圓點的個數依次為1，3，6，10，……，將其中所有能被3整除的數按從小到大的順序重新排列成一組新數據，則新數據中的第33個數為[CD#3]．

小結：例3、例4都是合情推理中歸納方法的應用.歸納是通過對某類事物中若干特殊情形的分析得出一般結論的思維方式.解決此類推理題的關鍵與難點就是歸納出題干中所隱含的規律.學生要學會通過幾個特例，歸納出蘊含在部分對象之中的共同性質，從而發現規律，要求學生用數學符號表達自己的想法.此歸納推理是通過運算進行的，即屬于算數推理或代數推理.

2.3 類比推理

例5 （2020年· 江蘇徐州）閱讀感悟：有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：

已知實數x，y滿足3x－y=5①，2x+3y=7②，求x－4y和7x+5y的值．

本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①－②可得x－4y=－2，由①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．

解決問題：

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

分析：（1）由已知2x+y=7①，x+2y=8②，利用 “整體思想”，①-②即可求得x－y的值，①+②即可求得x+y的值.

（2）設每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，根據題意列出方程組，結合“整體思想”，類比材料中的方法即可求解．

評析：通過閱讀材料，領悟“整體思想”在解題中的應用，類比此方法求解第（1）小題，抓住兩個方程未知數的系數之間的關系，進行合理變形，即可得到含x+y，x－y的式子；對于第（2）小題，引入x，y，z后，得到20x+3y+2z=32，39x+5y+3z=58，類比材料中的方法，通過整體變形得到含“5x+5y+5z”的式子，以此求得它的值.以上第（1）（2）小題的求解就體現了類比推理.

小結：例5是類比推理的應用，解答類比推理題的關鍵就是運用熟悉的數學知識點，用類比的方法，分析未知與已有的認知結構中具有的相似特征，然后猜想其解題方法和解題思維上的類似之處，從而解決問題.應用類比推理方法可以培養學生的思維能力，對問題進行更深層次的認識，在做題時能縮短做題時間，提高做題效率.此類比推理是通過運算進行的，亦屬于算數推理或代數推理.

3 教學反思

中考數學中的代數推理題綜合性強，形式比較新穎，解題方法靈活多變.那么，初中教師應如何有意識地培養學生的代數推理能力呢？

（1）教師要糾正教學認知.在應試導向的教學實踐中，教師往往會傾向于如何“高效”地把解題具體策略、手段或方法硬塞給學生，導致推理的教育意義很難在這種依賴被動的“灌輸”中生長.甚至學生誤以為在基礎教育階段幾何證明等同于推理，導致對新課標提出的“三會”中的數學思維主要表現的推理，特別代數推理，仍然感覺陌生而難操作.

（2）教師要抓住教學中的每個關鍵時期，抓住一切可以示范的機會進行訓練，完善學生代數推理的表達體系，常用“因為……，所以……”“之所以……，是因為……”“因此”“由此可見”等作為推理的詞組［4］.

（3）教師應該重視演繹推理、歸納推理和類比推理，在教學中多加運用，經常性滲透.比如，演繹推理——從有理數、整式和分式運算，到方程、不等式和函數，代數演繹推理幾乎涉及所有初中代數內容.舉例說明，由方程2x+3=5怎么得到x=1？首先方程兩邊同時減去3，得到2x=2，然后方程兩邊同時除以2，得到x=1.這里運用的就是演繹推理，主要依據是等式的基本性質.再如，歸納推理——在某些數學概念的教學過程中，可以引導學生從特殊事物的各不同屬性中歸納出共同的、本質的屬性，在此基礎上形成定義.這就是歸納推理的一種運用.類比推理在初中數學教學中應用得也很多，如，分數的運算與分式的運算，因數分解與因式分解，一元二次方程和二次函數，等等.如果在教學中運用類比推理，既能減少學生對數學知識的陌生度，又能讓學生達到溫故而知新的目的，還可以培養學生的思維能力，使整個數學教學有事半功倍的效果.

總之，代數推理是培養學生抽象能力、推理能力，發展學生邏輯思維與理性精神的良好載體.在教學中教師需提高認識，系統開發和設計相應素材資源，適時適地地讓學生經歷各類代數推理過程，感悟代數推理的真諦，提升數學素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中.數學思想概論：數學中的演繹推理（第3輯）[M].長春：東北師范大學出版社，2015：101.

［3］孫曉天．如何理解和把握作為核心素養的數學思維——《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“三會”視角下［Ｊ］.教育研究與評論，2022（5）：35-40.

［4］錢德春.關于初中代數推理的理解與教學思考[J].中學數學教學參考，2020（11）：2-4.