默會知識視域下小學數學尺規作圖教學探究

張燁棟

［摘 要］默會知識是一種經常使用卻沒法通過語言、文字、符號予以清晰表達或直接傳遞的知識，小學數學尺規作圖教學內容需要認知、實踐、情感三大維度的默會知識提供程序、遷移、方向的支撐。學生在尺規作圖時需要默會知識引領，而尺規作圖也是培育默會知識、提升核心素養的重要途徑，即通過核心問題激活學生認知，通過關鍵活動積累實踐經驗，通過感悟反思豐盈情感。

［關鍵詞］核心素養；默會知識；尺規作圖

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）26-0091-03

縱觀小學數學課程目標的關鍵詞從“雙基”到“三維目標”再到“核心素養”的演變，課標目標始終在從“知識技能”向“知識見識（智慧）”持續變化，課程的要求從“學會”向“會學”轉變，課程的導向不斷在強調動手實踐等學習方式的重要性。尺規作圖作為《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱《課程標準》）新增的教學內容，它不僅豐富了知識的表征方式，還原了知識的產生過程，應用了知識的基本原理，還為抽象的數學知識直觀化、可視化創造了條件，成為促進學生深度理解數學知識的一條重要路徑。但尺規作圖具有很強的“默會性”，需要默會知識的支撐，對教師和學生都有一定的挑戰性。基于此，筆者以“作等長線段”“畫三角形”“三角形三邊關系”三個尺規作圖內容為例，對默會知識視域下小學數學尺規作圖教學進行探究。

一、厘清：默會知識和尺規作圖的內涵

1.默會知識的內涵及特征

默會知識最早由波蘭尼提出，他認為人類知識分為顯性知識（明確知識）和默會知識（隱性知識、緘默知識）兩類。前者指的是能用語言、符號加以表述的知識，后者指的是不能被表述出來的知識。任何認知活動都根植于默會知識，顯性知識的獲得也依賴于個體的“默會能力”。有研究者指出人類知識大部分屬于默會知識，它對行為支配和實踐結果有決定性作用。默會知識具有情境性、個人性、實踐性和不可言傳性的特征。

因此，默會知識與個體的認知、實踐和情感有密切關系，它對個體的學習起著至關重要的作用。學生對知識的真正理解本質上就是一種“默會認識”，對默會知識的培養具有非常重要的意義。

2.小學數學尺規作圖的詮釋

尺規作圖是幾何作圖的重要內容，它是指用無刻度的直尺和圓規進行作圖。教師引導學生在學習任務的引領下利用直尺和圓規通過操作、觀察、探究來發現及論證數學知識、建構數學概念、探索數學規律和解決數學問題。無刻度的直尺和圓規既是操作的工具，也是數學思維的工具模型。從學習方式上看，尺規作圖能將數學上原本抽象、乏味的符號知識直觀化，讓學生具身參與操作，有助于學生深度理解數學知識，培養學生的空間觀念、幾何直觀和推理意識。從文化視角上看，尺規作圖背后蘊藏著數學理性精神、數學美學等豐富的文化要素。

在對默會知識的內涵特征和小學數學尺規作圖的詮釋中不難看出：默會知識和小學數學尺規作圖有著重要聯系，學生在尺規作圖時需要默會知識支撐，而尺規作圖也是培育默會知識、提升核心素養的有效途徑。

二、審視：默會知識支撐尺規作圖

結合默會知識與尺規作圖的內涵意義及教學實踐，筆者發現默會知識能支撐學生在尺規作圖的實際情境中完成對應任務。尺規作圖需要默會知識的支撐，主要原因可歸結為以下三個方面。

1.認知維度默會知識，提供程序支撐

認知維度的默會知識是顯性知識獲得的基礎，它對個體的行為有重要影響，在尺規作圖中主要表現為：作圖的直覺方法、工具的合理利用、結論的嚴謹推演等。雖然個體難以發現自身的認知模式，但認知模式對個體的行為卻有重要影響。如通過作圖認識三角形的周長，認知維度的默會知識能幫助學生明確三角形各邊長與周長的關系，學生能生成將三角形周長轉化成一維線段長度之和的直覺，進而獲得合理利用直尺和圓規將三角形三條邊畫到一條直線上的探究方案，從中進一步感悟知識的本質。

2.實踐維度默會知識，提供遷移支撐

實踐維度的默會知識與問題解決有著重要聯系，它能助推個體在具體情境中順利解決問題，屬于默會知識領域中的技能。實踐維度的默會知識往往依附于個體，隨著個體認知的提升而提升，需要個體在實踐中不斷積累，進而遷移到新的任務中。尺規作圖是學生在教師的引導下運用無刻度直尺和圓規，在手腦相協同的過程中，通過動手操作來體驗數學知識、感悟數學思想、發展核心素養的學習方式，具有很強的實踐性和遷移性。比如學生在利用尺規作等長線段的過程中獲得的方法和技能就屬于實踐維度的默會知識，當學生遇到利用尺規作圖將三角形三邊畫到一條直線上的問題時，就能將此默會知識遷移過來應對。

3.情感維度默會知識，提供方向支撐

情感維度的默會知識主要是指個體在無意識情況下調節或轉變個人情感態度的默會知識。研究表明，學生的認知過程與其情感密切相關，認知內容、方式方法等都受到情感維度的默會知識的影響。情感維度的默會知識能引領自身向積極的方向前進。義務教育數學課程第三學段尺規作圖在教學提示中指出“要引導學生經歷基于給定線段用直尺和圓規畫三角形的過程”，這個任務中三角形第三個頂點的確定比較困難，但情感維度的默會知識豐富的學生能在不斷嘗試、試錯、調整中向積極的方向前行，最終探究出作圖方法、掌握作圖原理。

三、探尋：默會知識視域下尺規作圖教學的路徑

基于以上各維度默會知識對尺規作圖的支撐分析及筆者對尺規作圖的教學實踐，在默會知識視域下尺規作圖教學可以從以下三方面入手。

1.選定原點：提煉核心問題，激活認知維度默會知識

核心問題是一節課中最重要的問題，相對而言也是大問題，它是課堂的主線，是引領學生數學學習的關鍵，教師的“教”與學生的“學”都圍繞核心問題的解決而展開。核心問題不僅能串聯和銜接課堂教學，而且直指數學知識本質，能促進學生從概念表層向數學本質深入，從而逐步理解所學知識，發展數學核心素養。在高觀點統領下審視尺規作圖的內容，提煉統攝性、內核性的核心問題，把零散的知識、技能串聯起來，可以有效激活學生認知維度的默會知識。

（1）梳理情境脈絡，確定思維起始點

默會知識具有情境性的特征。波蘭尼認為感知是從整體上對線索的把握，任何認識活動人們都需要注意到認識的整體情境，默會知識需要在情境中獲得，個體默會知識也需要在具體情境中被激活。雖然教材將數學知識按學段分散編排，但數學知識具有結構化、連貫性和整體性的特點，教師教學之前應該確定知識的起點，從整體把握教學方向。比如，《課程標準》把“認識三角形和四邊形，會根據圖形特征對三角形和四邊形進行分類”安排在第二學段，把“知道三角形任意兩邊之和大于第三邊”安排在第三學段，在相應單元分別增加了有關尺規作圖的內容。默會知識的特征要求教師要對知識脈絡進行整體梳理，確定學生思維的起點，進而提煉核心問題。這樣，能充分激活學生認知維度的默會知識，幫助學生溝通知識的來龍去脈，建立知識間的聯系。

（2）立足學科本質，確定思維進階點

學科本質指某個教學主題中最原始、樸素、根本的觀念、思想和方法。數學教材是以“明線”的方式呈現知識，而數學本質則以“暗線”的方式隱藏其中。教師教學時要找準隱藏其間的“暗線”，把握其中的數學要素。尺規作圖不僅是一種操作的過程，更是數學思維直觀體現的過程，是聯系、重構、內化知識的過程，它是培養學生幾何直觀、推理意識和數學品格的重要渠道。立足學科本質確立的核心問題往往具有內核性，能引導學生深入探究知識的內涵意義及背后的思想方法，激勵學生深入思考、深度體驗、深刻建構，促使學生思維及對知識理解的進階。

2.緊扣重點：巧設關鍵活動，積累實踐維度默會知識

默會知識具有實踐性的特征，實踐維度的默會知識需要個體在不斷的實踐中積累。教師要讓學生通過觀察、操作、歸納、類比、推理等數學活動，體驗到數學問題的探索性和挑戰性，在實踐中感受到數學思考的嚴謹性和數學結論的確定性。這些數學活動有助于學生實踐維度的默會知識的積累，能促進學生思路與思維的銜接、直觀向抽象的跨越、學知向創造的轉化。

（1）恰當的活動方式，促思路與思維銜接

恰當的活動方式能引導學生在探究中實現數學內涵的“再發現”，促進學生思路與思維的高效銜接。學生除了要掌握作圖技能，還要從中理解數學概念、探索規律、把握數學本質、厘清思維路徑。因此，在尺規作圖教學中教師要選擇恰當的活動方式，使學生在思路與思維的銜接中積累實踐維度的默會知識。比如，在“作等長線段”的尺規作圖教學中，不能讓學生死記硬背作圖步驟或跟著教師亦步亦趨，而要鼓勵學生在不斷嘗試的過程中發現問題、及時調整，從中形成對圖形的感知，體會兩點確定一條線段的意義，在初步學會使用圓規的同時，感受尺規作圖的奇妙與趣味。

（2）合理的活動層次，促直觀向抽象躍遷

合理的活動層次能幫助學生在抽象概念的具體感知中獲得“再發現”，促進學生由直觀向抽象有效躍遷。小學階段加入尺規作圖的重要意義是讓學生感受到數學的嚴謹性，但小學階段的幾何內容以描述性的直觀幾何為主。因此，在進行尺規作圖教學時，活動的層次尤為關鍵。筆者在“作等長線段”的教學時設計了三個層次的關鍵活動：①作一條線段等于已知線段。②比一比哪個圖形周長更長。③找一找“寶物”在哪里。學生在“做數學”的過程中喚醒了原有認知，感受到了兩點確定一條線段的意義；在“作比較”的過程中體悟到了線段的可加性；在找一找的過程中進行深度思考……既為后續畫三角形做鋪墊，也明白了所運用到的尺規作圖的原理。三個關鍵活動層層遞進，學生在動手和動腦的過程中思維不斷由直觀向抽象跨越，實踐維度的默會知識也得到不斷豐富。

（3）完整的探究過程，促學知向創造轉化

完整的探究過程能促使學生感悟數學“再發現”的一般過程，感悟數學中常用的思想方法，深刻理解數學知識，促進學生由學習知識向創造知識轉化。比如，筆者在教學“三角形三邊關系”時，先讓學生對三角形的三邊關系進行合理猜想，進而引導學生通過圓規和直尺進行驗證，最后組織學生交流表達驗證的方法及過程。在合理猜想、動手實踐、驗證猜想、歸納說理的完整探究過程中，學生深刻理解三角形的三邊關系，感悟數學探究常用的方法，學生對數學的認知從概念表層向數學本質進階，學生的推理意識和創新意識得以發展。

3.架構支點：適時感悟反思，豐盈情感維度默會知識

默會知識具有不可言傳性的特征，造成默會知識不可言傳的根本原因在于默會知識是一種身心合一的認識活動，是一種整體的活動。默會知識的不可言傳性并不是指不能談論，它是可以通過實踐、體驗、感悟被傳遞和獲得的。因此，適時的感悟反思有助于豐盈學生情感維度的默會知識。感悟反思不是對尺規作圖的過程進行籠統而簡單的回顧，而是要對尺規作圖過程中關鍵節點進行具體回顧及結構上的整體反思；不僅要感悟學會了怎樣的知識，還要從怎樣學會的反思中感悟數學思想；不僅要感悟取得了哪些成功發現，也要反思實踐過程中的錯誤、挫折及其調整的方法，從中體驗積極的情感態度，積累數學活動經驗，為后續的學習提供研究方向的支撐。比如，筆者在“作三角形”的尺規作圖教學時發現學生能想到利用之前學過的知識將其中一條線段作為三角形的一條邊，但對于如何把另外兩條線段的端點連接起來得到三角形的第三個頂點有不小困難。教師要鼓勵學生把作圖過程中的困惑和感受表達出來，在表達交流中培育學生積極的情感態度，不斷豐盈學生的情感維度的默會知識。

綜上，尺規作圖具有豐富的育人價值，對學生默會知識的培育及數學核心素養的提升具有重要意義。因此，在尺規作圖教學中教師不光要讓學生掌握作圖方法，更要注重學生默會知識的激活及培養，幫助學生實現由直觀認識到抽象推理的蛻變，使學生體會到數學思想的統一、推理過程的嚴謹、作圖痕跡的簡潔、細致操作的精準，從而培養學生的數學核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 顧容，蘇永慧，楊青青.默會知識視角下問題解決能力的教學模式研究[J].教育評論，2020（5）：134-140.

[3] 邁克爾·波蘭尼.個人認識：邁向后批判哲學[M].許澤民，譯.貴陽：貴州人民出版社，2000.

[4] 李白鶴.波蘭尼默會認識思想研究[D]，武漢：武漢大學，2006.

（責編 梁桂廣）