教育數學思想下初中社團課程的建設與實踐研究

【摘 要】 初中數學社團的建設是提高課后服務質量、豐富課后服務內容的一大舉措.張景中教育數學思想是一種創新的課程思想，旨在指導數學使之更適宜于教學和學習，對初中數學社團課程建設具有指導性意義.在教育數學思想下開發了以“聚焦幾何知識的結構化建設”為課程理念，以“提升四大‘意識’，發展核心素養”為課程目標，以“‘雙線’交融，重建三角”為課程內容，以“凸顯思考，關注聯結”為實施策略，以“重視過程，多元評價”為課程評價的初中數學社團課程，并在具體的實踐探索中提出了“總覽初中幾何體系，細化課時教學內容”“豐富綜合實踐活動，加強知識遷移應用”的啟示與展望.

【關鍵詞】 教育數學；重建三角；社團課程；初中數學

1 問題提出

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”），這是黨和國家基于教育公平綜合考量的重要舉措.“雙減”政策指出學校要提高課后服務質量，為學有余力的學生拓展學習空間，開展豐富多彩的興趣小組及社團活動.數學是研究數量關系與空間形式的基礎性學科，擁有著深厚的文化底蘊與育人價值，是學校學科型社團建設的重中之重.目前常見的數學社團類型大多圍繞數學提優、數學競賽、數學文化等為主題.但在實踐中也出現了比較多的問題.比如，由于缺乏系統規劃，導致學生的探究目標不明確、探究活動碎片化，逐漸使學生喪失探究興趣；又如，在數學文化的社團中，教師只談鑒賞文化，不談數學本質，使之逐漸淪為“講故事、放視頻”的低效課堂.要建設真正能為學有余力的學生拓寬學習空間的初中數學社團，這就需要教師有目標、有規劃地構建社團課程體系，開發課程相關素材，豐富課程探究內容，真正吸引對數學興趣較強的學生經歷社團的學習與探究得到進一步發展，推動創新型人才的培養.

事實上，國內對數學主題的課程開發研究大多以校本課程為載體，以數學文化、數學建模、數學寫作等為主題.校本課程是學校根據本校學生的需要所編制實施和評價的一系列課程，是常態化課程教學的有機補充，具有地域化、校本化、個性化等特征，更能夠有針對性地促進學校教育體系的建設，推進立德樹人根本任務的落實.社團課程從本質上屬于特殊的校本課程，但又在課程性質與目的上區別于校本課程.社團課程面向的是對該社團課程感興趣的學生自主選擇參與的，是學生自主學習與發展興趣愛好的平臺，同時學生參與社團課程學習具有一定的自主性、靈活性.此外，社團課程更注重學生興趣的發展，幫助學生發掘自己的潛力與特長，培養學生的創新精神與協作能力.1989年，張景中院士創新性地提出了教育數學思想，旨在“改造數學使之更適宜于教育”［1］，在三十余年間理論與實踐研究的成果豐碩，并整理出版了諸多教育數學思想下的教材與課程建設范本.“讓數學變簡單”的教育數學理念與“發展學生興趣愛好”為目的的社團課程存在一定的契合.據此，研究從張景中院士提出的教育數學思想出發，對初中數學社團課程進行建設與實踐探索.

2 張景中教育數學思想與初中數學社團課程

2.1 張景中教育數學思想

張景中院士是我國著名的數學家、計算機科學家、教育數學家.早年間，張先生在中學任教時深知幾何推理的復雜與學生學習的吃力，希望為學生找到通往數學王國的“快速路”.自此，他結合教學實踐經驗，建立了以度量為基礎、以面積法為中心的平面幾何新體系、新方法，并總結提煉出“教育數學”的新觀點.教育數學是一種創新的課程思想，并與新課程思想和諧并存，助力新課程的實施與推進［2］.通俗來講，教育數學思想的本質就是讓數學變“簡單”，使之更利于學生的學習與理解，其主要原則是為教育而優化數學，將數學向教育形態轉變.在此思想的引導下，張先生陸續出版了《走進教育數學》系列叢書，優化了數學內容的呈現方式，拓寬了學生的解題思路，傳播了數學思想與文化.張先生［3］深刻指出：三角是聯系幾何與代數的一座橋梁，是溝通初等數學和高等數學的一條通道.因而，在初中幾何領域的優化中，張先生從面積出發，引入三角，從根本上將初中幾何內容與高中部分三角的內容“一線串通”，降低了學習三角所需的知識基礎，構建了幾何學習的知識網絡，使幾何學習也變得通俗易懂.

教育數學思想的提出也引發了國內熱烈的討論，也在中小學數學課程乃至大學數學課程的建設中發揮了巨大的作用.教育數學研究存在著3條路徑［4］，其一，對教育數學是什么展開思辨研究.張先生［5］通過對教育數學與數學教育的關系討論，提出了“在學生頭腦里找概念；從概念里產生方法；方法要形成模式”的教育數學研究原理；張奠宙［6］將數學劃分為原始形態、學術形態和教育形態，其中教育數學是教育形態的數學；張雄［7］指出教育數學是選擇性的數學，是時間順序、內容體系兩個維度重新整合的數學，是數學知識內容上再創造的數學；趙思林［8］等提出了教育數學實施的“五化”策略，即背景化、探究化、經驗化、遷移化與直覺化；柳鳩［2］19等討論了教育數學與發展核心素養的關系，并構建了教育數學的層次結構，等等.其二，是大刀闊斧地改造數學，破解數學的難點與新點，重構數學體系.例如，張先生［9］提出的極限概念的非ε-語言，即D-語言，有效解決了數學分析的教學難點.當然張先生還重新定義了正弦，創新了三角知識的編排體系，并出版了《一線串通的初等數學》.其三，對教育數學研究成果的實踐探索.2012年起國內陸續開展了若干次不同規模的教育數學的教學實踐，發現“重建三角”有利于學生對數學思想的融會貫通，有助于提升數學知識的遷移應用能力與問題解決的能力［10］；張龍軍［11］等在成都的農村初中展開“重建三角”的教學實驗，也得到了較為顯著的教學成績，促進了學生的主動學習意識的形成與問題提出能力發展.在2018年的教育數學與中小學課程專題研討會中，國內數學教育界的多位專家學者對初中階段“重建三角”教學實踐的意義和教育數學的價值給予了充分的肯定，并提出了諸多寶貴意見［12］.綜上所述，教育數學思想在“雙減”政策的背景下仍舊熠熠生輝，彰顯著其獨特的教育教學價值；“重建三角”經過一系列教學實踐的檢驗，其在初中階段的應用是可行的，對數學社團課程的開發是可借鑒的.

2.2 教育數學思想下的初中社團課程

在教育數學思想提出的三十余年間，張先生在全國各地開展了“重建三角”的教育改革與實驗，并取得了令人矚目的成績.同時，李尚志主編的初中教材《新思路數學》也將教育數學的成果進一步推廣，吸引了百余所學校加入了實驗隊伍.即便教育數學的成果之豐碩，成效之明顯，但在當下的教育體系中，數學教學大多還是會以當地所規定版本的教材為主，很少會運用教育數學思想解構現行教材內容的編排，喧賓奪主地講授《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）未作要求的內容，這就使得教育數學思想處于“高評價，低應用”的現狀.隨著“雙減”政策的推進，在課后延時階段組織開設數學社團不再成為難事，但社團課程的建設卻一直困擾著一線教師.因而，教師可以基于教育數學思想，以《一線串通的初等數學》為參考教材，在此基礎上進行教學優化，讓教育數學思想有機地穿插于現行教材教學中，促使學生形成幾何知識的大概念，促進學生從高屋建瓴的視角理解幾何知識體系.

3 教育數學思想下初中社團課程的整體設計

盡管教育數學作為一種創新的課程思想，擁有了較為豐富的教學素材，但對于正在接受常規課程教學的學生而言，自然不能照本宣科地按照參考教材原先的設計思路進行講授，必須根據教學的實際情況與學生的基本學情組織課程設計，解構數學教育思想，重構參考教材的編排內容，適當簡化學生已學的內容、拓寬學生的思想方法、豐富學生的實踐操作，讓學生真正將幾何內容“一線串通”，感悟到數學知識的“簡單易懂”，體會數學的思想方法之美.以下針對使用蘇科版教材的八年級學生來闡述教育數學社團課程的整體設計.

3.1 課程理念定位：聚焦幾何知識的結構化建設

一方面，教科書中呈現的幾何往往是“板塊化”的堆砌，并與代數、概率與統計等內容相互穿插，缺乏整體性與一貫性的教學呈現，幾何知識背后數學邏輯仍需挖掘；另一方面，《標準》也呼吁設計體現結構化特征的課程內容，注重數學知識與方法的層次性與多樣性，著重對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑［13］.教育數學的社團課程定位于傳播數學幾何知識的學科課程，應該立足學生認知起點，激發學生對數學探索的求知欲，并以面積法為線索，將幾何、三角、代數相互滲透于一體，推動幾何知識的結構化建設，發揮教育數學的育人價值.

3.2 課程目標設置：提升四大“意識”，發展核心素養

課程的目標不僅在于獲得教科書以外的數學知識，更重要的是能夠經歷課程的學習發展“四基”“四能”與數學核心素養.在教育數學思想下，課程需要著重關注學生問題提出能力的培養.張先生［14］指出：好問題的發現與提出不僅需要掌握基礎知識與基本技能，還要有應用意識、創新意識、實驗意識與推理意識.因此，教育數學的社團課程重在以幾何、三角等知識為載體，用面積法系統地研究數學定理的推導與應用，促使學生發現初中幾何知識的關聯性、整體性與系統性，感悟幾何的多元價值，進而提升推理能力、抽象能力、創新意識等關鍵能力，激發數學興趣，涵養理性精神.

3.3 課程內容選取：“雙線”交融，重建三角

課程內容選取主要以《一線串通的初等數學》為參考教材，其中給出了“正弦與正弦定理”“正弦和角公式”“余弦和余弦定理”“四邊形”“圓和正多邊形”這五章內容，共計30小節，較為系統地將初中階段的幾何知識與高中階段的解三角形完美地結合在一起，邏輯清晰，內容豐富.但作為社團課程形態下的教育數學自然不能完全照搬，必須結合現行教材的編排內容、學生的基本學情加以統籌優化，實現現行課程教學與社團教學相互交融，相互促進.通過整理蘇科版數學教材中相關幾何的章節內容與參考教材中內容的編排順序（圖1），發現兩者存在著諸多交集，同時參考教材中忽視了對基本幾何概念的介紹，并增添了諸多高中階段的學習內容，需要教師結合課程理念與目標加以篩選、整合與優化.

因此，課程內容選取要關注以下幾個方面：其一，淡化現行課程教學中學生已經掌握的內容，如：分布于參考教材第1章和第3章的全等三角形在蘇科版教材中編排于八年級第1章，這就表明在社團課程的設計中就不需要再深入探索全等三角形的判定；其二，淡化較為復雜的定理或公式，如：參考教材中介紹了半角正弦和一元二次方程，其半角正弦公式的推導對未學過一元二次方程的學生而言較為困難，難以在較短的時間內講清，因而不建議將其作為課程內容；其三，淡化初中階段難以用到的概念和性質，如：參考教材中編排了“用平角度量角的大小”等小節，介紹了弧度制等概念，這些概念不會在初中階段所使用，同時也較為抽象，學生不易理解，即便講授了也難以應用，成為學生的惰性知識而被遺忘，因此課程內容的選擇應盡量避免它們.

綜合上述要點，以下將教育數學社團課程劃分為“從面積到正弦”“解密正弦的運算”“余弦與解三角形”“再探四邊形”和“圓的初探索”五章內容，基本包含了初中階段所有的幾何內容，且有機地將高中三角函數的知識融入，穿插了相關綜合與實踐活動，充分體現了幾何學習的數學價值與實踐價值.具體內容如表１所示.

五章主題共24小節，每節安排1～2課時，可視情況增刪.前兩章安排在八年級上學期，后三章安排在八年級下學期，每學期約14～18個課時學完課程.

3.4 課程實施策略：凸顯思考，關注聯結

在實施教育數學的社團課程時要凸顯學生的思考過程，彰顯思維價值，并鼓勵學生積極將社團所學內容應用于解決日常教學中出現的幾何定理、幾何問題等，關注學生建立幾何知識之間的聯結，增強幾何學習的真實體驗，發展學生的幾何直觀、推理能力等數學核心素養.

如“解直角三角形”小節中，通過將正弦和角公式進行特殊化處理，可以得到正弦勾股關系，即sin2α+sin2（90°-α）=1，進而在直角三角形中可以推導出勾股定理.在此過程中，學生經歷了從一般到特殊的探索過程，構建了正弦和角公式與正弦勾股關系、勾股定理的聯結，感受到數學知識的關聯性、數學方法的多樣性，體悟三角學習的數學意義.

3.5 課程評價設計：重視過程，多元評價

作為教育數學的社團課程，其評價方式以過程性評價為主，以紙筆測試的評價方式為輔，并采取多元化的評價方式，以評價來推動學生對幾何學習的積極性.例如，在某一小節的內容結束后，教師可以布置幾道相關的思考題，鼓勵學生在課后主動思考、積極探究，并讓學生在下次課中與大家分享解題思路、講解解題過程.在課程的尾聲，課程可以采用小論文的形式，要求學生根據社團學習中或日常學習中出現的問題展開深入探究，并撰寫小論文.論文的評價可以根據學生自評、小組互評與教師點評所形成的綜合等級評價，并選取優秀的作品在校園內交流展示.

4 實踐反饋

為契合“雙減”政策下課后服務的開展，筆者基于上述教育數學社團課程的設置，在八年級中開設了數學興趣社團——“景山幾何社”，并積極開展課程教學實踐.該社團采取自主報名、雙向選擇的方式，篩選了年級中對數學充滿興趣且數學成績較好的20～30名學生.在社團課程教學中，以4～6人為一小組，通過教師板演、自主思考、小組討論、課后研學等形式，圍繞教育數學社團課程的設計展開探索，并按計劃在一學年內完成了課程的學習，產出了較為豐碩的成果.以下結合具體的實踐反饋來闡述教育數學社團課程實施中的優勢與不足.

4.1 教育數學社團課程在實踐中的優勢

沈文選［15］將“整合創新”與“返璞歸真”作為教育數學發展的必由之路，并指出了教育數學的特征是具有一定層次的數學（基礎性）、學習者較易接受的數學（可接受性）、要注意應用需要的數學（應用性）、充滿聯系的數學（銜接性）、關注思維訓練價值的數學（教育性）.因而，教育數學社團課程自然能夠為學生帶來前所未有的數學學習體驗，讓學生感受到數學的“五性”，并在不知不覺中發展了數學核心素養.

例如，在社團第一課的學習中，學生從最熟悉的三角形面積展開探索，毫不費力地從共高定理出發，逐步發現共邊定理和共角定理，并在小組討論中總結了定理發現與證明的基本方法與思路.學生在課后反饋：“之前只知道所謂的‘共高定理’，完全沒有發現能由這一最簡單的定理推導出那么多精妙的結論，而且很容易理解.”這就生動地反映了教育數學能夠抓住數學基礎性與可接受性的特征，讓學生沉浸于數學探究中，感受到數學知識的聯系性，訓練了學生的數學思維.

當然，教育數學社團課程在一定程度上也能促進學生解決日常教學中的問題.例如，在一次測試中出現了一道“等面積四邊形”的問題，題目中定義“如果四邊形的一條對角線把這個四邊形分成面積相等的兩個三角形，那么這個四邊形稱作等面積四邊形”.參加社團學習的學生就立刻指出“這不就是共邊定理的特殊情況”，迅速得到“在等面積四邊形中平分四邊形面積的對角線所在直線過另一對角線中點”這一結論.在解題后部分學生展開反思，提出了“三等分面積四邊形”“四等分面積四邊形”等新定義，探究了該問題的變式，并整理形成了小論文.由此可見，教育數學社團不僅為學生帶來了諸多新體系下的數學知識，還能夠幫助學生拓寬問題解決的思路，培育數學思想，涵養理性精神，發展核心素養.

4.2 教育數學社團課程在實踐中的不足

首先，學生在日常學習中適應了常態化的數學教學，傾向于接受數學概念、數學命題，并將其反復、機械化地應用于問題解決，同時數學方法的靈活多變、數學問題的紛繁復雜讓學生對數學學習“望而卻步”，難以真正體驗到數學學習的樂趣.因而，這種理念自然會代入到社團課程的學習，主要表現在學生對概念、命題的產生不加思考，對簡單概念、命題或已學過的概念、命題不加深究，這就喪失了數學知識學習的價值.其次，在中考的壓力下，學生功利性思想較為嚴重，認為諸如正弦定理、余弦定理等內容在考試中不會考察，就不需要過于深入思考.更有學生表示“希望能夠講授一些考試能用到的、能夠提分的內容”.由此可見，在“雙線”交融的背景下，教育數學的社團課程可以適當為學生的日常數學學習提供些許實質性的幫助.最后，教育數學社團課程需要關注配套習題的開發.參考教材雖然編制了諸多習題，但由于八年級學生擁有了一定的幾何知識基礎，這使得部分習題的解決可以采用其他方法替代，并不能精準地檢測該內容的學習情況.例如，在正弦定理學習中，參考教材希望學生能夠用正弦定理證明等腰三角形三線合一的性質，但學生可以采用全等三角形的知識進行替代，因此該習題的設置并不能有效檢測學生對正弦定理的學習情況.此外，作為社團課程的習題選擇與編制更應關注到數學知識之間的聯系，突顯數學思想方法的應用，彰顯社團課程學習的價值.

5 研究啟示

5.1 總覽初中幾何體系，細化課時教學內容為提升學生數學學習興趣，消除學生對數學的消極印象，教師可以在社團課程實施的伊始先設置一節緒論課，主要向學生介紹本社團所將探究的內容、所將開展的活動、所能學習的方法、所能帶來的價值等，并帶領學生總覽初中幾何知識體系，介紹歷史上相關幾何探索的趣聞軼事，最后可以給出學生熟悉的共高定理，讓學生思考由共高定理可以推導出什么新命題，充分調動了學生探究的積極性，為后續課程教學的實施起到先行組織者的作用.此外，在課程內容實施中，教師要綜合考慮學生的接受力，盡可能地細化每一小節的內容，突出數學學習方法的應用過程，適當補充與開發配套的例題、習題，讓學生用聯系的眼光挖掘知識的內在邏輯，獲得對幾何知識的高層次理解.

5.2 豐富綜合實踐活動，加強知識遷移應用

教育數學雖然關注數學的應用需要，但是在平面幾何新體系中卻忽視了數學的實際應用，更多地是根據數學內在邏輯體系的推理與演繹.在社團課程的背景下，學生更期待在動手操作與實踐探索中體驗數學的魅力.因此，在課程設計初期安排了“測量旗桿的高”與“復刻特殊幾何體”這兩個綜合與實踐活動，前者希望學生能夠結合正弦及正弦表等知識構建測量旗桿高的數學模型，并在推導、測量、計算與分享中感悟正弦學習的價值，發展抽象能力、模型觀念、應用意識等數學核心素養.后者希望學生能夠應用圓的基本性質、切線長定理等，從定量角度刻畫幾何體的基本特征，并在實際操作中加以復刻，以此發展學生幾何直觀、空間想象等數學核心素養.通過綜合實踐活動，學生在真實情境中將所學知識提取、遷移并應用于問題的解決中，調動了學生頭腦中的知識，促進了學生遷移性理解的形成.在實踐中也發現課程所設置綜合實踐活動的數量相對較少，還可以進一步挖掘所學數學知識中存在的現實背景或現實模型等內隱資源，選取合適的探究主題，積極豐富學生在社團活動中的學習體驗.

6 研究展望教育數學的社團課程是教育數學思想實踐的新興路徑.后續研究可以關注面向七年級學生的教育數學社團課程建設，進而落實到初中教育數學社團建設的一體化研究，關注教育數學思想如何與初中三年的知識體系相融合、創新、優化，形成貫穿初中數學的系統化、長線化的社團課程建設.此外，還可以選擇將跨學科內容融入社團課程建設，并嘗試探索數學文化、競賽數學等新主題數學社團，探索教育數學思想下的新嘗試.

參考文獻

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［15］沈文選.走進教育數學［M］.北京：科學出版社，2005：35-38.

作者簡介 黃賢明（1999—），男，江蘇蘇州人，碩士研究生，中學二級教師；主要從事初中數學教學研究．

李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，博士，副教授，碩士生導師，南京大學教育研究院訪問學者；主要從事課程與教學研究．