基于HPM視角的小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究

摘" 要：基于HPM（History and Pedagogy of Mathematics）理論的小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)是一種將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探索，旨在通過利用數(shù)學(xué)史資源，創(chuàng)新教學(xué)方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。文章在界定相關(guān)概念基礎(chǔ)上，闡述了HPM運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的優(yōu)勢，探索現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)課堂現(xiàn)狀，提出了HPM視角下小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)策略，分享了具體的教學(xué)案例。

關(guān)鍵詞：HPM理論;案例研究;小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)文化

現(xiàn)如今，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂促使數(shù)學(xué)教學(xué)方法獲得了很大的自主創(chuàng)新，將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂有利于數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)文化的滲入，有利于呈現(xiàn)定義產(chǎn)生及發(fā)展的全過程，有助于構(gòu)建濃烈的數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)氛圍，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的深層次了解。

一、HPM理論概述

HPM理論，H代表History（歷史），P代表Pedagogy（教育學(xué)），M代表Mathematics（數(shù)學(xué)）。簡稱為數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育。HPM教學(xué)理論的核心框架可以概括為“一二三四五六”，即：“一”個(gè)視角，在HPM視角下進(jìn)行教學(xué)，即把數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要視角?！岸弊鶚蛄?，數(shù)學(xué)與人文、歷史與現(xiàn)實(shí)這兩座橋梁，通過數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)與人文、歷史與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來?！叭本S目標(biāo)，教師專業(yè)發(fā)展的三個(gè)維度——知識、信念和能力，HPM教學(xué)旨在提升教師的這些方面。“四”種形式，HPM教學(xué)有四種主要形式，包括附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式?！拔濉表?xiàng)原則：HPM教學(xué)應(yīng)遵循趣味性、科學(xué)性、可學(xué)性、有效性和人文性這五項(xiàng)原則。“六”大價(jià)值，HPM教學(xué)具有六大價(jià)值，即呈現(xiàn)知識之諧、展示方法之美、營造探究之樂、揭示文化之魅、提供能力之柱和彰顯德育之效。

二、案例教學(xué)法的概念

開放式、互動式的新型教學(xué)方式稱為案例教學(xué)。案例教學(xué)就是通過一些課前準(zhǔn)備，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生展開思考和討論，并且用實(shí)際發(fā)生的案例，進(jìn)行反復(fù)交流和溝通，將各種各樣的信息、專業(yè)知識和經(jīng)歷與一定的概念緊密結(jié)合開展案例教學(xué)。在案例教學(xué)中，有效案例的應(yīng)用并不是虛構(gòu)小故事，也不是寫案例來澄清事實(shí)，而是依據(jù)一定的客觀事實(shí)寫故事，以做到清晰課堂教學(xué)目的。它用于課堂教學(xué)探討和剖析，這將使學(xué)生學(xué)會如何學(xué)習(xí)，并且能增強(qiáng)自主創(chuàng)新能力。

三、HPM視角下教學(xué)的設(shè)計(jì)原則

HPM視角下教學(xué)的設(shè)計(jì)原則由五部分組成，具體含義及解釋見表1。

表1" HPM視角下教學(xué)的設(shè)計(jì)原則

[基本原則 內(nèi)涵 趣味性 從HPM的視角看來，教育中選擇的史料應(yīng)該是能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、激發(fā)探尋想法的材料，只有史料真實(shí)有效，才可以激發(fā)學(xué)生對史料的歸屬感 有效性 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合要具有實(shí)際效果，能夠切實(shí)促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握，旨在確保學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，也能夠獲得更全面的發(fā)展 可學(xué)性 教育需要考慮到學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展趨勢特點(diǎn)，從學(xué)生認(rèn)知能力考慮，選擇學(xué)生容易掌握的歷史資料，這樣才可以做到歷史資料融進(jìn)教育的最好實(shí)際效果 科學(xué)性 要確保所融入的數(shù)學(xué)史內(nèi)容準(zhǔn)確無誤，且與教學(xué)目標(biāo)和課程內(nèi)容緊密相關(guān)。通過科學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能夠引導(dǎo)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念和原理的歷史演變，培養(yǎng)他們的科學(xué)精神和批判性思維 人文性 史料的選擇要以人物為感情橋梁，反映人文情懷，發(fā)揚(yáng)中華民族感情，滲入與其他知識領(lǐng)域的聯(lián)系，體現(xiàn)課程的文化價(jià)值 ]

四、HPM理論運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的優(yōu)勢

一是有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在新的教學(xué)理念下，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生從被動學(xué)習(xí)變成自主學(xué)習(xí)，早已成為教學(xué)的目的之一。在數(shù)學(xué)教育中適度融合歷史，可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、活躍教學(xué)課堂。二是有利于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)。在傳統(tǒng)教育中，教師重視高效率，重視學(xué)生的應(yīng)考能力，缺乏對理論背后的深度挖掘。而將歷史教育融入課堂教學(xué)，不但會使學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)觀念有深入的了解，還會將其掌握得更牢固。在這個(gè)過程中，可以激起學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生感受到解決困難的樂趣，進(jìn)而推動學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)。三是有利于學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。在數(shù)學(xué)快速發(fā)展的歷史進(jìn)程中，成百上千的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者為了開拓?cái)?shù)學(xué)事業(yè)不畏艱辛、勇于挑戰(zhàn)困難的故事也能影響學(xué)生，從德育角度促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心。四是有利于學(xué)生發(fā)展思維創(chuàng)新能力。一代又一代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)歷史上突飛猛進(jìn)，勇于懷疑目前一些故步自封的觀念，敢于跳出框架進(jìn)行創(chuàng)造性思考。這種歷史資料能讓學(xué)生感受到勇于提出問題、追求真理、與時(shí)俱進(jìn)的精神實(shí)質(zhì)，也可以塑造學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

五、HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂現(xiàn)狀

1. 教師對HPM知識的掌握水平參差不齊。對小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，在HPM視角下進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一件知易行難的事情。一是大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師未接受過數(shù)學(xué)史教育。二是大多數(shù)教師缺乏HPM知識，很多教師對“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)”的認(rèn)知甚至停留在把數(shù)學(xué)題講成故事的層面。因此，教師必須開展進(jìn)一步的教育史科學(xué)研究。數(shù)學(xué)歷史故事能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓他們感受到數(shù)學(xué)并不枯燥無聊。所以教師最好講述一些引人注目的故事。但也需注意，必須遵循歷史的規(guī)定，不能為達(dá)到課堂效果隨意編造，必須符合嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，并且令人眼前一亮，具有創(chuàng)造性的意義。

2. 教師把HPM融入課堂的效果有所欠缺。歷史資料融進(jìn)教育過程需要時(shí)間，這給教學(xué)環(huán)節(jié)產(chǎn)生了一定的工作壓力。對學(xué)生而言，假如歷史資料的融合阻礙了教育進(jìn)展，學(xué)生可能認(rèn)為數(shù)學(xué)史與他們的學(xué)習(xí)無關(guān)，會影響他們正常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。從教師的角度看來，因?yàn)閷逃M(jìn)程的統(tǒng)一規(guī)定，如何把歷史資料列入正常的教育進(jìn)程是教師要面對的重要問題。而一些教師沒有接受過專門的培訓(xùn)，不知道如何有效地將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)。在有限的課堂時(shí)間內(nèi)，可能難以平衡傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)史的介紹。

六、HPM視角下小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)策略

（一）合理選擇HPM視角下的教學(xué)方法

基于HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，教師需考慮學(xué)生的年齡、認(rèn)知水平和興趣愛好等因素，以及教學(xué)內(nèi)容的難易程度和教學(xué)目標(biāo)的要求，一般而言可選用如下教學(xué)方法：

1. 情境化教學(xué)法。通過創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的情境，將學(xué)生引入數(shù)學(xué)問題的探索中。例如，可以講述古代數(shù)學(xué)家如何解決某個(gè)問題，或者介紹某個(gè)數(shù)學(xué)概念的歷史背景，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。2. 探究式教學(xué)法。鼓勵(lì)學(xué)生通過自己動手操作、觀察、思考和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而深入理解數(shù)學(xué)概念和方法。教師可以設(shè)計(jì)一些與數(shù)學(xué)史相關(guān)的探究活動，如讓學(xué)生模擬古代數(shù)學(xué)家的計(jì)算方法或解決某個(gè)歷史數(shù)學(xué)問題。3， 合作學(xué)習(xí)法。通過小組討論、合作學(xué)習(xí)等方式，讓學(xué)生在互動中分享彼此的想法和見解，從而加深對數(shù)學(xué)知識的理解。教師可以組織一些與數(shù)學(xué)史相關(guān)的合作項(xiàng)目，如讓學(xué)生分組研究某個(gè)數(shù)學(xué)家的生平或某個(gè)數(shù)學(xué)概念的演變歷程。4. 跨學(xué)科整合法。將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相結(jié)合，如科學(xué)、藝術(shù)、文學(xué)等，從而拓寬學(xué)生的視野和思維方式。例如，可以介紹數(shù)學(xué)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，或者讓學(xué)生通過藝術(shù)創(chuàng)作來展現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的理解。

（二）教師需提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)

HPM視角下，教師提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)不僅有助于自身的教學(xué)和發(fā)展，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維能力，提高教學(xué)質(zhì)量。首先，教師可以閱讀數(shù)學(xué)史相關(guān)書籍和文獻(xiàn)，了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和重要人物的思想貢獻(xiàn)。將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容整合到日常教學(xué)中，通過案例、故事等形式展示數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值。其次，教師可以參加與數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育相關(guān)的培訓(xùn)和研討會，與其他教師交流心得和經(jīng)驗(yàn)，提升個(gè)人教學(xué)水平。

（三）轉(zhuǎn)變重“知”輕“識”的功利化觀念

HPM視角下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，注重提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，為其未來的學(xué)習(xí)和生活奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。為此，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，包括邏輯推理、問題解決和創(chuàng)新能力。通過設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動思考和探索，而不僅僅是記憶答案。要鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，培養(yǎng)他們的好奇心和探究精神。另外，教師要重視數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)踐，建立多元化的評價(jià)體系，可以將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題相結(jié)合，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，教師還可以組織實(shí)踐活動和數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生在動手操作中鞏固知識，提高解決問題的能力。除筆試外，還可以采用口頭表達(dá)、小組合作、實(shí)踐報(bào)告等多種方式評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

（四）需運(yùn)用數(shù)學(xué)史開展活動豐富課堂

數(shù)學(xué)史不僅提供了數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷程，還揭示了數(shù)學(xué)背后的思想、方法和文化。通過融入數(shù)學(xué)史，教師可以使課堂更加生動有趣，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和熱愛。

1. 講述數(shù)學(xué)家的故事。如開展歷史角色扮演游戲，讓學(xué)生扮演著名的數(shù)學(xué)家，如阿基米德、歐拉等，通過表演他們的生平故事和數(shù)學(xué)成就，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的智慧和魅力。又如故事分享會活動，定期舉辦數(shù)學(xué)史故事分享會，邀請學(xué)生或教師講述數(shù)學(xué)家的趣聞軼事，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

2. 探究數(shù)學(xué)概念的起源。引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)概念的起源和發(fā)展，如分?jǐn)?shù)的表示、幾何圖形的演變等，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。也可以設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)概念起源的拼圖游戲，讓學(xué)生在游戲中了解數(shù)學(xué)概念的演變過程。

3. 感受數(shù)學(xué)在不同文化中的應(yīng)用。教師引導(dǎo)學(xué)生比較不同文化背景下的數(shù)學(xué)應(yīng)用和發(fā)展，如古埃及的分?jǐn)?shù)表示、印度的數(shù)字系統(tǒng)等，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化多樣性的認(rèn)識。在班級活動中設(shè)立國際數(shù)學(xué)日，讓學(xué)生了解和分享來自不同國家的數(shù)學(xué)文化和傳統(tǒng)，拓寬他們的數(shù)學(xué)視野。

七、HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

文章選取人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第九章“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這一教學(xué)片段來作為案例分析。教師出示課件，如圖1所示。

這一問題的解題思考方法跟《孫子算經(jīng)》中“雉兔同籠”的“半足法”的思考方法相同。教師可利用PPT將此案例展示給學(xué)生，讓學(xué)生討論并總結(jié)，讓學(xué)生感受我國數(shù)學(xué)文化歷史悠久。“雞兔同籠”的題目讓學(xué)生能結(jié)合生活中的實(shí)際情況，讓問題抽象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)有效掌握，最后應(yīng)用所學(xué)知識解決問題。教師要根據(jù)該案例，正確引導(dǎo)學(xué)生提煉出問題的實(shí)質(zhì)，隨后獲取出簡易的同類問題模型。然后結(jié)合自身認(rèn)知，運(yùn)用模型進(jìn)行推理，最終理解和內(nèi)化知識。

教學(xué)速度不是最主要的，一個(gè)典型的例題解析比做習(xí)題集更有效。這一案例能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)史的魅力。教師可以利用這樣的方式加強(qiáng)教學(xué)，能使數(shù)學(xué)變得通俗易懂、趣味橫生。把數(shù)學(xué)史融進(jìn)課堂教學(xué)，輔助文化教育，讓學(xué)生真正感受數(shù)學(xué)史的影響，這也是HPM角度下小學(xué)數(shù)學(xué)教育的魅力所在。

HPM理論是從數(shù)學(xué)史視角研究和開展課堂教學(xué)，即從歷史角度看待數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢。對小學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)知識和發(fā)展思維的同時(shí)，能對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更深厚的情感。對教師而言，HPM觀念可以革新他們的知識觀和教學(xué)觀。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)推動了師生對知識的深刻領(lǐng)會，可以做到以史為鏡，讓小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具實(shí)際意義。當(dāng)下，HPM觀念逐漸在教育中獲得重視，從某種程度上說，它不但展現(xiàn)了知識發(fā)展和進(jìn)步的全過程，并且強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到底是怎樣發(fā)生的。因而，在學(xué)生核心素養(yǎng)課堂教學(xué)改革的背景下，從HPM的角度研究小學(xué)教學(xué)具備實(shí)際意義。

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（責(zé)任編輯：鄒宇銘）