上“講道理”的數學課：培養代數推理能力的策略與路徑

*本文系江蘇省十四五規劃課題“初中數學課程中的代數推理及教學策略研究”（SJMJ/2022/02）、“走向整體設計：初中數學結構化教學的實踐研究”（E/2022/05）的研究成果。

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：胡松，南京市鼓樓區教育局副局長，正高級教師，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象，南京市學科教學帶頭人。

摘要：傳統教學中，教師常把推理能力的培養交給“圖形與幾何”，忽視了“數與代數”對于培養學生推理能力的價值與作用。其實，代數推理是數學中的重要推理類型，也是啟發思維的重要載體。代數教學中，要促使學生真正學習，開發學生潛能，教師不僅要講授知識，更要點明其算理，即在課堂上“講道理”。教師可以從講清知識的來龍去脈、破解代數中的“規定”之疑、厘清例習題道理三個方面入手，分析教材結構、改造教學內容，培養學生的代數推理能力。

關鍵詞：初中代數；代數推理能力；數學思維

中圖分類號：G633.62 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）22-0089-04

數學道理是指數學中的概念、法則、定理等知識背后蘊含的算理，包括產生之理、本源之理、呈現之理及隱性之理。數學教學中，要促使學生真正學習，開發學生潛能，教師不僅要講授知識，更要點明其算理，即在課堂上“講道理”。學生通過教師“講道理”的過程，經歷、感知、體驗知識的產生和發展過程，由淺入深、由易到難地學習知識、理解知識，主動發現數學知識的萌芽點、連接點和生長點，建立新舊知識的聯系，提高數學創造力，培養和強化數學思維，形成系統性的推理能力。推理能力的培養一直是認知心理學和教育學的熱門話題。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”）將“會用數學的思維思考世界”作為數學課程要培養的學生核心素養之一，并指出數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力。學生經歷獨立的思維過程，具備推理意識或推理能力，有助于形成實事求是的科學態度和理性精神[1]6。

一、培養推理能力的教學現狀

推理是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。培養推理能力是數學學習的核心價值所在，學生推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。初中階段，“數與代數”“圖形與幾何”都是培養學生推理能力的數學知識體系。在傳統教學中，教師常把推理能力的培養交給“圖形與幾何”，忽視了“數與代數”對于培養學生推理能力的價值與作用。其實，代數推理是數學中的重要推理類型，而代數運算是代數推理的重要形式，是得到結論的重要途徑，也是啟發思維的重要載體。“數與代數”的學習有助于學生認識數量關系、探究數學規律、建立數學模型，有利于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發展幾何直觀和運算能力。依托“數與代數”的內容，教師可以通過情境、活動、問題串的設計，在歸納的過程中引導學生依次計算或嘗試，尋找探索事物變化規律的方法，從而養成有條理地思考的習慣，讓學生在代數邏輯論證的過程中，逐漸提升自身的推理能力。

在2022版課標的指引下，關于幾何邏輯推理能力的研究與成果百花齊放，但針對“數與代數”推理能力的研究仍很薄弱。在教學實踐中，目前的教學設計也弱化了代數推理的作用。3年來筆者跟蹤了區域內近百節代數領域的課，發現：35％的代數課上，教師直接拋出概念或法則，然后根據概念、法則進行鞏固訓練，對概念、法則的生成缺乏必要的闡述與探究；55％的代數課上，教師由特殊情形或大量的實例類比得到概念或法則，然后根據概念、法則進行直接應用，對概念、法則的生成同樣缺乏從算理角度進行論證的過程；只有10％的代數課，教師在概念、法則的教學過程中，融入豐富的類比、歸納、猜想、驗證的環節。因此，加強代數推理的理論研究和實踐探索是擺在廣大教師面前的重要課題。

推理的本質是有條理地思考和表達，即建立思維的條理性和邏輯性[2]。在“數與代數”教學中，培養學生的代數推理能力，關鍵是在課堂上“講道理”，即揭示概念、法則的生成邏輯。

二、培養代數推理能力的教學策略

數學課堂是培養學生核心素養的主戰場，相較于知識、結論的呈現與記憶，每個概念、法則的感知、抽象、概括、驗證等過程更為重要。代數課程的價值在于讓學生理解算理，熟練計算，善用推理。一堂好的代數課應讓學生在掌握知識技能的過程中，學會理性思考，提升代數推理能力。教師要創造性地使用教材，積極開發、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。教師明理，課堂方能講理；課堂講理，學生方能悟理。

（一）講清知識的來龍去脈

數學教材中呈現的概念、法則等是前人對數學知識產生和形成過程進行的概括，抽象性較高。“講道理”的數學課要還原知識的形成過程，讓學生了解知識的形成軌跡，避免死記硬背性學習，從理解的角度去學習知識，提升數學學習的效率。在教學設計中，教師要將數學的基本思想、基本經驗落實到基礎知識、基本技能的教學過程中去，要設計出體現數學知識整體性、邏輯連貫性、思想一致性、方法普適性、思維系統性的系列化數學活動，引導學生對現實問題進行數學抽象，發現值得研究的數學問題，構建研究數學對象的基本路徑，獲得有價值的數學結論，建立數學模型，解決現實問題，以實現從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。

（二）破解代數中的“規定”之疑

代數課堂有許多“規定”。遇到一些難以理解的知識點，教師則告訴學生，這是“規定”。久而久之，學生不再問“為什么”，數學課堂也逐漸變得不講道理。而我們倡導“講道理”，就要破除課堂“規定”之風，解決學生心中的疑惑。具體怎么做呢？要學生猜想如何“規定”，從知識的連續性理解“規定”的合理性，從體系的完整性體驗“規定”的必要性，從驗證的角度推導“規定”的科學性。如“0的絕對值、相反數是0，一個數與0相加仍得這個數，任何數與0相乘都得0”等代數知識的教學均應遵循上述四個步驟。

（三）講解例習題時厘清道理

代數的研究對象不僅是數字，而且是各種抽象的結構。代數推理是使用代數的定義、性質，從已知的數學式子推導出新的數學式子的過程。例習題講解是代數教學的重要環節，從“講道理”的角度看，我們對例習題的講解不能停留在熟能生巧的層面，也無須過多地強調技巧。“講道理”的教學要把每一道例習題看成一種代數模型，嘗試從分析問題、發現問題、提出問題、解決問題的角度去講解例習題，在講解過程中要多追問，厘清每一個步驟的依據。講解過程中也要滲透數學的常見思想方法，如歸納類比、分類討論、數形結合等，培養學生數學思考的品質。

三、培養代數推理能力的教學探索

在代數學習的起始階段，教師就應重視如何在代數課中講好道理。越“簡單”的課，越應該挖掘其內在的原理，將“理”貫穿在學習的始終。蘇科版數學七年級上冊“去括號”這節課在很多教師眼中就是這樣一節“簡單”的課。他們認為，在學生的認知里，很容易得到去括號法則，學生運算出現錯誤，也不是不明白法則導致的。但學生是否明白法則的合理性和邏輯性，大部分教師是忽略的。所以，本文就以這一課為例，從分析教材結構、改造教學內容兩方面，在教學實踐中探索如何上好“講道理”的數學課。

（一）分析教材結構

教材從情境引入、活動建構、例習題講解三個方面呈現了“去括號”一課的教學內容。首先，教材在“議一議”環節創設了小亮在假期勤工儉學活動中賣報紙的學習情境，引出如何合并多項式同類項的問題：

在假期的勤工儉學活動中，小亮從報社以每份0.4元的價格購進a份報紙，以每份0.5元的價格賣出b份（b≤a）報紙，剩余的報紙以每份0.2元的價格退回報社，小亮贏利多少元？

小亮購進a份報紙支出0.4a元，售出b份報紙收入0.5b元，退回剩余報紙收入0.2（a-b）元。這樣，小亮贏利[-0.4a+0.5b+0.2（a-b）]元。

如何合并多項式-0.4a+0.5b+0.2（a-b）中的同類項？

在此基礎上，教材在“試一試”環節展開“填表”與“討論”的建構活動，通過反復代入不同的數值，引導學生構建對概念、法則的初步認知，由此引出去括號法則：

括號前面是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號去掉，括號里各項的符號都不改變。括號前面是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉，括號里各項的符號都要改變。

接著，教材通過典型例習題講解，進一步鞏固并拓展去括號法則的運用。

教材內容從現實情境引入，體現了數學的應用價值，設計的目的是為了引導學生聯系生活實際感受去括號的必要性及價值。“試一試”環節的操作與討論活動，設計的目的是引導學生通過數值計算，尋找到相等的式子，然后通過不完全歸納得到法則。但從實際教學效果來看，“議一議”環節，多數學生能直接得到實際結果，弱化了此環節的設計目的；“試一試”環節，大多數學生根據已有的經驗，也能直觀得到a+（-b+c）＝a-b+c或a-（-b+c）＝a+b-c。從代數推理的角度看，這兩個環節未能充分展示去括號的必要性和去括號法則的數學道理。

（二）改造教學內容

從內容維度上看，學習本課時前，學生已經經歷了數與代數的兩次蛻變，一是“從正數到負數”的數的擴充過程，二是“從數到字母”的演變過程，學生已初步掌握了有理數、代數式的相關概念和計算，理解了它們的價值。從經驗維度上看，學生在三個方面已具備括號的應用經驗：通過用式子表示“加法的交換律、結合律，乘法的分配律、結合律、交換律”，體會了括號表達的便捷性；通過用式子表示有理數的運算法則（如，減去一個數等于加上這個數的相反數），體會了括號表達的簡約性；通過“程序運算”，體會到括號應用的一般性。

首先，我們將情境問題改造為兩個問題：

（1）某汽車4S店倉庫中原有車輛32輛，第二天又入庫12輛，并賣出8輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

（2）某汽車4S店倉庫中原有車輛32輛，第二天賣出12輛，第三天賣出8輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

設計這兩個問題，更加直接地指向去括號法則，以問題（1）為例，既可以列式：32+12-8，也可以列式：32+（12-8），讓學生在“數”的運算中發現結論，從而遷移到“式”的運算。

然后，在建構環節中，我們設計了兩個活動。第一個活動是上述情境問題的延伸：

（1）某汽車4S店倉庫中原有車輛a輛，第二天又入庫b輛，并賣出c輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

（2）某汽車4S店倉庫中原有車輛a輛，第二天賣出b輛，第三天賣出c輛，那么倉庫中還剩多少輛車？

2022版課標提出：“教材在初中階段也需要設計相應內容，讓學生經歷從數的具體計算過渡到式的抽象運算的過程……”[1]93有了前面的討論，學生已經有了感性的認識，也就能夠過渡到抽象的形式化規則。

第二個活動是“講道理”的環節，是探究“去括號法則”的主要活動，意在引導學生將經驗上升為規律，抽象為符號。符號作為一種特殊的語言，有其自身的獨特之處。數學符號是現代數學的基礎。2022版課標提出：“在小學階段，學生只需要感悟數學的說理；到了初中階段，學生要會用數學的符號表達數學道理。”[1]93學生不僅要能發現規律，還要從學會數學本身的邏輯出發，“講出道理”，解釋規律的合理性，才真正實現了思維的升華。在“講道理”的環節，教師要追問學生如何解釋自己的發現是正確的。在解釋規律的基礎上，教師還要引導學生用文字描述法則，加深對法則的理解，在文字語言、符號語言、圖形語言方面完善數學概念。

最后，在“小結與思考”環節，我們設計了兩道練習題：

（1）說明：兩個連續正整數的和不能被2整除。

（2）說明：若一個兩位數，十位數和個位數的和能夠被3整除，那么這個兩位數也能被3整除。

2022版課標指出，數學課程的核心素養主要包括會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界[1]5-6。本節課的“小結與思考”沒有使用常規的回憶課堂學習過程的方式，而是再次提出挑戰性的問題，讓學生在數學情境中自覺養成用數學的語言進行推理和運算的習慣。這里不僅用到了本節課學習的“去括號法則”，還需要學生創造性地衍生出“添括號法則”，從而達到真正內化本節課內容，并更上一層樓的目標，發展學生的代數推理能力。

數學源于對現實世界的抽象，數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數學思維與客觀事物發生和發展的規律具有同構性，是現實生活中數學內容的邏輯性在人的大腦中的反映。因此，數學教學應該以數學的內容邏輯為基本線索，將“心理邏輯”和“內容邏輯”有機地融合為一體。“講道理”的數學課將合情推理和演繹推理融合在代數的教學中，從而提升學生的代數推理能力。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]喻平.數學學科核心素養要素析取的實證研究[J].數學教育學報，2016（6）：3.

責任編輯：殷偉