考查數學思維，引導有效教學

劉再平 劉祖希 羅新兵

【作者簡介】劉再平，陜西師范大學教育博士，陜西省教學能手，主要從事高考和數學教學研究；劉祖希，副編審，華東師范大學出版社培訓部（教師進修中心）主任，主要從事數學教育研究；羅新兵，教育學博士，陜西師范大學教授，博士生導師，主要從事數學課程與教學、數學教師教育研究。

【基金項目】陜西省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“新高考背景下高考數學研究、展望與教學建議”（SGH23Y1834）

【課堂聚焦·評價研究】

【摘 要】2023年全國乙卷數學試題立足基本知識與基本思想，拓寬解題入口，打破常規套路，通過少算多想，注重知識的融合，分別考查了數學思維的深刻性、嚴密性、發散性、靈活性、批判性與創新性，落實素養立意的理念，突出關鍵能力的考查，實現人才的選拔。文章在理論上首先闡述了數學思維的含義、品質與表現；然后，結合具體試題對數學思維的考查進行評析；最后，在問題命制、學生學法和教師教法三個層面提出了相應的建議。

【關鍵詞】高考數學；全國乙卷；試題評析；數學思維；引導教學

一、問題的提出

數學教育的主要目的應該是促進學生數學思維的發展［1］，通過數學教學幫助學生更清晰、全面、深入、合理地學會思考，并從低階的具體數學知識、基本技能和各種解題技巧層面上升到高階的數學思維層面，促進普遍性思維策略和思維品質的提升，并能由“理性思維”走向“理性精神”。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）［2］在課程性質部分指出：數學教育要引導學生會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界（以下簡稱“三會”），促進學生數學思維能力的發展，并在《課程標準》中首次界定了數學核心素養，數學教育改革也正式過渡到素養立意時代。《中國高考評價體系》（以下簡稱《評價體系》）［3］也指出：新時代高考數學試題的命題理念是以價值引領、素養導向、能力為重、知識為基，關鍵能力是高考重要的考核目標，也是測試和評價的核心指標和因素。然而，不論《課程標準》還是《評價體系》，數學思維能力是“三會”和諸多關鍵能力的核心，各種數學核心素養的培養都離不開數學思維能力。

要體現《課程標準》理念和落實《評價體系》要求，實現素養立意、人才選拔和變革機械教學，高考在考查學生數學思維方面作出了很多努力。因此，本文擬對以下問題進行探討和分析：（1）數學思維的含義、品質與表現是什么？（2）2023年全國乙卷高考數學試題對數學思維的考查有什么要求？（3）在教學上，對試題的命制、學法與教法有什么啟示？

二、數學思維的含義、品質與表現分析

數學思維從屬于一般思維，一般思維指具有意識的人腦對客觀事物的本質屬性和相互聯系的概括和間接的反映［4］。而數學思維指人腦與空間形式、數學關系、結構關系等數學對象交互作用，并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。數學思維的深刻性、嚴密性、發散性、靈活性、批判性與創新性等是數學思維的重要品質，直觀感知、觀察發現、歸納類比、符號表達、運算求解、數據處理、空間想象、抽象概括、演繹與證明、反思與構建等思維活動是數學思維能力的具體表現［5］。其邏輯關系如圖1。

三、高考數學思維的考查評析

（一）挖掘基本知識，考查思維的深刻性

思維的深刻性主要指思維活動的抽象程度、邏輯水平，以及思維活動的廣度、深度和難度等。而數學思維的深刻性是指在分析與解決數學問題時，能夠抓住問題的實質以及問題間的相互聯系的一種思維品質。數學思維的深刻性既表現在嚴謹的數學思維活動過程中，又表現在數學思維活動結果的廣度和深度上，并能經受數學實踐活動的檢驗，達到舉一反三、觸類旁通的效果。數學思維深刻性的反面是思維的表面性，它表現為認識的膚淺性，思維活動的淺嘗輒止，只知其現象而不知其本質。在數學教學中，教師要加強學生數學語言的表達能力，提高學生的邏輯思維能力，引導學生深入挖掘基本知識的本質，培養學生數學思維的深刻性。如2023年全國乙卷理科第16題深入挖掘了指數函數的性質，考查了數學思維的深刻性。

例1 （2023年全國乙卷理科第16題）設a[∈（0，1）]，若函數f（x）=ax+（1+a）x在（0，[+∞]）上單調遞增，則a的取值范圍是? ? ? 。

例1需要對指數函數求導，然而含參指數函數的求導是比較繁雜的，并且求一次導并不能解決問題，若不深入挖掘，停留于表面，思維停滯不前，很容易導致解題失敗，所以需要透過表面，繼續深入求導，然后小題小做，再用端點效應解決。當然，也可以另辟蹊徑，深入挖掘構成f（x）的兩個指數函數的增減趨勢，即g（x）=（1+a）x在（0，[+∞]）上的增加速度一定大于y=ax在（0，[+∞]）上的減少速度，則將y=ax沿直線y=1對折統一單調性后，得出函數h（x）=2-ax在x=0處的導數g′（0）≥h′（0）即可解決。本題雖然表面上只是考查了最基本的函數性質，但是深入挖掘了指數函數的單調性，扎實考查了數學思維的深刻性，對教師的教學來說具有很好的導向作用。

（二）立足基本思想，考查思維的嚴密性

數學思想是數學的精髓，是對數學規律的本質和理性認識，是在數學認知過程中從具體的數學內容提煉上升的觀點。數學思想在數學認知活動中應用廣泛，具有普遍的指導意義，是構建數學體系和解決數學問題的指導思想［6］。數學是一門高度抽象與邏輯嚴密的科學，數學思維的嚴密性是數學的重要特點，數學思維的嚴密性表現為思維過程服從于嚴格的邏輯規則，解決數學問題時規范、準確，進行數學運算和推理時精確無誤。高考中常見的分類討論思想和數形結合思想等都對數學思維的嚴密性有較高要求，如2023年全國乙卷文科第7題和第20題等。

例2 （2023年全國乙卷文科第7題）設O為平面坐標系的坐標原點，在區域[x，y|1≤x2+y2≤4]內隨機取一點A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（? ）

A.[18]? ?B.[16]? ?C.[14]? ?D.[12]

例2考查了幾何概型的相關計算，若緊扣題意直線OA的傾斜角在0到之間，那么很容易只考慮到第一象限的陰影部分，從而錯選A，然而當學生運用數形結合思想畫出如圖2所示的圖象后，則會很精準地找到兩個陰影部分，從而獲得正確答案C。

例3 （2023年全國乙卷文科第20題）已知函數[f（x）=1x+aln1+x]。

（1）當[a=-1]時，求曲線[y=f（x）]在點[1，f（1）]處的切線方程；

（2）若函數[f（x）]在[0，+∞]單調遞增，求[a]的取值范圍。

例3轉化為[f（x）]的導數[f ′（x）≥0]恒成立后，還需要局部構造函數[g（x）]。當對[g（x）]第一次求導后，需要展開第一層分類討論，即a[≤0]和a[>0]；當對[g（x）]第二次求導后，需要展開第二層分類討論，即a[≥12]和0[<]a[<12]。分類討論要求有序，并不重不漏。

綜上所述，例2、例3都需要立足基本數學思想，才能減少很多不必要的失誤，考查了數學思維的嚴密性。

（三）拓寬解題入口，考查思維的發散性

發散思維是20世紀50年代，由美國心理學家吉爾福特在研究智力結構模型時提出來的，發散思維是從同一對象中產生多種分化因素，或者揭示同一本質所表現出來的現象、形式之間的差異性思維過程。發散性思維要求思維流暢、獨特與開闊，對已知信息進行多方向、多角度的聯想，從而幫助問題的解決。在日常教學中，一題多解、一題多用往往有益于培養學生數學思維的發散性，如2023年全國乙卷文科第11題等解答方法多樣，入口寬，有利于考查學生數學思維的發散性。

例4 （2023年全國乙卷文科第11題）已知實數x，y滿足x2+y2-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（? ）

A. 1+[322]? B. 4? C. 1+3[2]? D. 7

例4雖然處在選擇題次壓軸位置，但是這道高考試題解答入口寬，學生容易上手，其主要解答方法如下：方法一先換元令x-y=t，即將x=y+t代入條件獲得主元為y的一元二次方程，且方程有解，判別式非負，建立關于t的不等式，解得其范圍即可。方法二將條件化為圓的標準形式（x-2）2+（y-1）2=9后，運用圓的參數方程，令x=3cos[α]+2，y=3sin[α+1]，即x-y=3[2cos]+1，然后再運用三角函數的有界性即可解決。方法三將條件化為圓的標準形式（x-2）2+（y-1）2=9后，圓心到直線x-y=t的距離小于等于圓的半徑，建立關于t的不等式，即可解得其范圍。

綜上所述，例4的三種解法分別基于一元二次方程、三角函數、解析幾何視角，這些解法都很常規，相關內容學生比較熟悉，較好地考查了學生數學思維的發散性。

（四）打破常規套路，考查思維的靈活性

學生的成績受試題的難度和分布順序等因素的影響，在以前的高考數學中，特別是每道解答題的考試內容、解法和難易程度都是相對固定的。通常來說六道解答題的內容順序是：解三角形或數列、立體幾何、概率統計、圓錐曲線、導數、選考（極坐標參數方程或不等式）。六道解答題的難度順序是：前三道試題和最后的選考題簡單；圓錐曲線試題第一問簡單，第二問難度中等偏上，是次壓軸點；導數試題第一問簡單或中等難度，第二問難度較大，是真正的壓軸點。這種試題固化的局面很容易造成高考考什么有的教師就只教什么、學生也就只學什么的機械學習態勢，不利于國家選才。因此，2023年的全國數學乙卷在試題順序方面打破了連續四年的“第四題效應”，并把概率統計放在了解答題第一題。在考查內容與解題方法上，試題也打破了固有套路，如理科第9、19題求線面角和二面角時，教師常教的、學生熟悉的建系、利用空間向量的解答套路失去了應有的效果。這種從試題順序與解法等多方面打破試題套路和固化的現象，不僅有利于培養學生良好的心理素質，而且考查了思維的靈活性，還引導教學摒棄猜題、押題和疲勞刷題的高三復習模式［7-8］。

例5 （2023年全國乙卷理科19題）如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2[2]，PB=PC=[6]，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=[5DO]，點F在AC上，BF⊥AO。

（1）證明：EF∥平面ADO；

（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值。

例5是2023年全國乙卷理科試題中典型的“反套路”題。首先，證明F為AC的中點是解決第（1）（2）問的關鍵，然而用常見證明中點的平面幾何方法基本失效，學生雖然熟悉，但是在立體幾何中運用得較少。若學生分別以BA、BC建立x、y軸的解析幾何方法和平面向量的方法則不難解答。其次，第（3）問在求二面角時，由于題目條件的限制，建立空間直角坐標系，運用空間向量的解法套路很難展開。最后，運用二面角的定義，轉化為平面幾何也可以求解二面角的正弦值，然而要找到二面角D-AO-C的平面角卻很困難，且計算量較大，比較恰當的解法是將其轉化為[DO]與[BF]的夾角，然后再用基底向量[BA]、[BP]、[BC]解答。顯然，該題打破了立體幾何在求角時的固有套路，深入考查了學生數學思維的靈活性。

（五）通過少算多想，考查思維的批判性

數學批判性思維能力是指面對各類數學問題情境，運用已有數學知識經驗進行嚴密思考、分析推理和評價重構的多種思維能力，是學生優化問題解答的重要能力［9-10］。批判性思維能力也是國家培養創新人才的迫切需要。在數學學習過程中，發現問題、提出問題、思辨問題、優化問題策略，對數學結論進行大膽猜測和通過邏輯推理驗證猜想的心路歷程就是批判性思維的具體表現，然而學生要在高考短時間內充分展開上述批判性思維過程，就需要高考數學試題適當的減少運算量，增加思維含量，讓學生少算多想，為學生批判性思維的蔓延提供空間，從而才能達到真正考查學生思維批判性的目的。如2023年全國乙卷理科第12題就需要學生認真分析、自主探究，不斷辨析和優化思維策略，增加思維含量，實現對學生批判性思維能力的深入考查。

例6 （2023年全國乙卷理科第12題）已知[⊙O]的半徑為1，直線PA與[⊙O]相切于點A，直線PB與交于B、C兩點，D為BC的中點，若[PO]=[2]，則[PA]·[PD]的最大值為（? ）

A.[1+22] B.[1+222] C.1+[2] D.2+[2]

例6是一道選擇壓軸題，若按常規引入角分類討論后，再利用三角函數的有界性解決比較麻煩。因此，學生需要積極思辨和及時優化思維策略，聯系初中平面幾何知識與高中投影概念，獲得如下簡解：由OD⊥PD，即動點D在以OP的中點E為圓心，[22]為半徑的圓弧上運動，[PA]·[PD]=

|[PA]|[×]|[PD]|cos<[PA]，[PD]>=|[PD]| cos<[PA]，[PD]>，根據向量投影的概念只需求[PD]在[PA]上的最長投影即可，如圖4，當點D運動到最左F點的位置時，投影最長為|EF|+[|PA|2=22+12]。因此，只有當學生具備這種少算多想的能力后，解題思維才會自然地流淌，批判性思維才得以充分的考查。

（六）注重知識的融合，考查思維的創新性

數學創新能力是數學實踐研究活動中不斷提供具有原創價值、學術價值、發展價值的新思想、新理論和新方法的能力。當今社會的競爭，與其說是人才的競爭，不如說是人的創造力的競爭，加強對創新能力的考查是社會進步和民族振興對高考改革的迫切要求，也是高考數學作為工具學科和基礎學科的重要體現。高考數學對創新能力考查的主要特點有：一是借助試題相對的新穎性，即考查的對象不是學生沒見過的，而是學生不熟悉的，對學生來說相對新穎；二是注重知識的融合，在考查學生解決綜合問題的過程中，突出學生數學思維的創新能力，如2023年全國乙卷理科第21題。

例7 （2023年全國乙卷理科第21題）已知函數[f（x）=1x+aln1+x]。

（1）當[a=-1]時，求曲線[y=f（x）]在點[1，f（1）]處的切線方程。

（2）是否存在a，b，使得曲線y=[f1x]關于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由。

（3）若[f（x）]在[0，+∞]存在極值，求a的取值范圍。

例7綜合了導數的幾何意義、函數的對稱性與函數的極值等核心知識，不僅考查了學生的問題分析能力、運算求解能力、邏輯思維能力等關鍵能力與核心素養，更重要的是綜合考查了學生的創新思維能力，即在解決這種壓軸題的思維瓶頸之處，學生能夠表現出積極的心理狀態，運用所學數學知識、思維策略，獨立思考與頑強探索，創造性地突破思維的障礙，使得問題的解決柳暗花明。因此，這種知識綜合、能力綜合、思維跨度大、區分度明顯的高考壓軸題，不僅考查了學生數學思維的創新性，而且還實現了人才的選拔。

四、教學啟示

綜上所述，2023年全國乙卷文理科兩套數學試題既有創新，又保持穩定。2023年全國乙卷數學試題立足基本知識與基本思想，拓寬解題入口，打破常規套路，通過少算多想，注重知識的融合分別考查了數學思維的深刻性、嚴密性、發散性、靈活性、批判性與創新性，落實了《課程標準》素養立意的理念，突出了《評價體系》關鍵能力的考查，實現了人才的選拔，在引導數學教學方面得到以下啟示。

一是在問題命制方面，創設問題情境，注重問題情景的熟悉與陌生的思辨性，激發思維動機，構建良好的思維場域。教師在教學中可以嘗試命制一些跨學科和學科融合的新題型，為發展學生的數學思維能力提供良好的載體，培養學生的高階思維能力。

二是在學生學法方面，引導學生“三個重視”：重視數學概念的生成過程，因為概念不僅是思維的細胞，還是數學思維創新的基礎；重視數學思想方法，提高學生思維策略水平；重視暴露解決典型問題的思維歷程，積累從有限道題目中獲取解決無限道題的思維活動經驗［11］，促進學生深度學習。

三是在教學方式方面，關注問題驅動與數學探究，深入到數學思維層面，鼓勵學生對問題進行反復、深入的思考，探究離不開合作，但也少不了獨立思考，應該將兩者有機融合起來，實現深度教學，提升數學思維品質。當然，數學探究要把握好度，以避免表面的熱鬧掩蓋學生思維貧乏的現象［12-13］。

參考文獻：

［1］鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐［J］. 數學教育學報，2019（5）：24-32.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］中華人民共和國教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］涂榮豹，季素月. 數學課程與教學論新編［M］. 南京：江蘇教育出版社，2007.

［5］王建磐. 中國數學教育：傳統與現實［M］. 南京：江蘇教育出版社，2009.

［6］劉再平. 高考壓軸題中的數學思想研究與教學建議：以2010—2019年高考數學全國卷為例［J］. 中國數學教育，2021（1-2）：65-69.

［7］胡鳳娟. 促進“學會學習”：基于2022年高考數學試題的分析［J］. 基礎教育課程，2022（8）：11-19.

［8］胡鳳娟. 走出“機械刷題”：基于2021年高考數學試題的分析［J］. 基礎教育課程，2021（8）：19-26.

［9］趙軒，任子朝，陳昂. 高考數學科批判性思維考查研究［J］. 數學通報，2019（12）：38-42.

［10］劉再平. 淺析新高考對數學關鍵能力的考查：以2022年全國高考數學為例［J］. 中小學課堂教學研究，2022（9）：62-65.

［11］羅增儒. 數學解題學引論［M］. 2版. 西安：陜西師范大學出版社，2001.

［12］李祎. 別被理念綁架了教學［J］. 數學通報，2019（2）：18-20，25.

［13］李祎. 高水平數學教學到底該教什么［J］. 數學教育學報，2014（6）：31-35.

（責任編輯：陸順演）