二元一次方程組在實際問題中的應用

葉建耀

［摘 要］二元一次方程組的應用是中考考查的重點內容。文章結合幾則典例，探索二元一次方程組在實際問題中的應用策略，旨在提高學生解決實際問題的能力，培養學生的思維品質和核心素養。

［關鍵詞］二元一次方程組；實際問題；初中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0016-03

二元一次方程組是刻畫現實世界數量關系的重要數學模型。通過二元一次方程組解決實際問題，可以讓學生學會分析實際問題中所蘊含的數量關系，認識到方程組這種數學模型應用的廣泛性與有效性，可以培養學生把實際問題模型化的數學思想。本文結合幾則典例，探討二元一次方程組在幾類實際問題中的應用，以提高學生解決實際問題的能力，培養學生的思維品質和核心素養。

一、二元一次方程組在數字問題中的應用

數字問題中，要學會用各個數位上的數字乘以相應的計算單位表示一個多位數，如一個三位數，百位、十位、個位上的數字分別是a、b、c，則這個三位數應表示為[100a+10b+c]。通常已知兩個數位的數之間的和差關系，及原多位數與新多位數之間的和差關系，求這個多位數，則可以用二元一次方程組解決。

［例1］小明和小華在一起玩數字游戲，他們每人取了一張數字卡片，拼成了一個兩位數。小明說：“哇！這個兩位數的十位數字與個位數字之和恰好是9。”他們又把這兩張卡片對調，得到了一個新的兩位數，小華說：“這個兩位數恰好也比原來的兩位數大9?！蹦敲?，你能回答以下問題嗎？（1）他們取出的兩張卡片上的數字分別是幾？（2）第一次，他們拼出的兩位數是多少？（3）第二次，他們拼成的兩位數又是多少呢？

得[y=5]，[x=4]，所以他們取出的兩張卡片上的數字分別是4、5。

（2）根據（1）得十位數字是4，個位數字是5，所以第一次他們拼成的兩位數為45。

（3）根據（1）得x、y的位置調換，所以十位數字是5，個位數字是4，所以第二次拼成的兩位數是54。

點評：本題分別從兩個數字之間的數量關系、新兩位數與原兩位數之間的數量關系這兩個角度列方程組。需要注意的是，用兩個字母如a、b表示兩位數時，應為[10a+b]或[10b+a]。

二、二元一次方程組在詩歌問題中的應用

我國民間流傳著很多詩歌，這些詩歌里包含著數學問題，這樣的問題敘述生動、活潑，且大部分都是關于方程或方程組的應用題。因為詩歌語言通俗易懂，雅俗共賞，所以給數學注入了生機與活力，讓人耳目一新。

［例2］下面幾個詩歌問題能通過列方程組算出來嗎？

（1）官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺無零數，四兵才得布一尺，請問官兵多少數？

（2）魚肉價錢：老頭提籃去趕集，一共花去七十七，滿滿裝了一菜籃，十斤大肉三斤魚，買好未曾問單價，只因回家心發急，道旁行人告訴他，九斤肉錢5斤魚，有勞各位高才生，幫幫算算此難題。

（3）一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一個，一人兩個少倆梨。請問君子知道否，幾個老頭幾個梨？

點評：在分析題意的過程中，要抓住其中的詞語找出數量關系，如“一官四尺無零數”也就剛好分完，沒有剩余；“請問官兵多少數？”問的是官與兵各多少人，不是僅指兵；“九斤肉錢5斤魚”九斤的肉與5斤魚放在一起，只能是錢數相等；“一人兩個少倆梨”意思是如果每人分兩個梨將少兩個梨。

三、二元一次方程組在銷售問題中的應用

與銷售有關的問題常伴隨這樣一些概念，如利潤、利潤率、成本、標價、售價、打折等。兩種商品的數量關系包括一種是另一種的幾倍，或兩種商品的數量之和是多少，兩種商品的價格關系包括單價之間的數量關系，進價之間的數量關系，售價之間的數量關系，利潤之間的數量關系，其數量關系無外乎兩種，一種是倍數關系，另一種是和差關系。

為市民對這兩種商品仍有需求，于是該商店又以與上次相同的價格購進了A商品和B商品共若干件，購進A商品的件數比上次減少10件，購進B商品的件數與上次相同。由于市場原因，該商店調整了這兩種商品的銷售單價，A商品每件售價下調了[3a]元，B商品每件售價上調了a元，若要求銷售完第二次購進的A、B這兩種商品的總利潤不得低于3900元，求a的最大值。

解：（1）設該商店此次購進A商品x件，B商品y件，根據題意得：

四、二元一次方程組在行程問題中的應用

在行程問題中，常用的三個量及相互關系：時間×速度=路程，在相遇問題中，兩者所走的路程之和=他們原來相距的距離，在追及問題中，快者所走的路程-慢者所走的路程=他們原來相距的距離。船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流的速度，船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流的速度。

［例4］唐朝開元年間，大詩人李白從四川白帝城出發，坐木船順流東下，直到采石磯，這次行程，他共用了5天；過了幾天，他有事回四川去，也同樣乘坐這只木船，一切條件都和上次一樣，只不過這一次是逆流而上，他卻用了55天。李白忽然想到一個問題，如果從白帝城放一只木排順流而下，那么，到達采石磯一共需要多少天呢？（設定木船的船速與水流速度都是均勻的）

五、二元一次方程組在方案選擇問題中的應用

二元一次方程組在解決方案選擇問題時，應先運用二元一次方程組求得問題中的兩個基礎未知量，然后應用一元一次不等式求得自變量的取值范圍，最后應用一次函數的性質選擇最佳方案，一般為費用最少或者最省時的方案。這樣的問題將二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數結合在一起，考查了學生綜合運用知識解決實際問題的能力。

［例5］（1）【閱讀理解】倡導垃圾分類，共享綠色生活。為了對回收的垃圾進行精準分類，某垃圾處理廠計劃向機器人公司采購一批包含A、B兩款不同型號的垃圾分揀機器人。已知1臺A型機器人和1臺B型機器人同時工作10小時，可處理垃圾5噸；若1臺B型機器人先工作5小時后，再加入1臺A型機器人同時工作，則還需工作8小時才能處理完5噸垃圾。問：1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各處理垃圾多少噸？可以用如下圖所示的線段圖來分析本題中的數量關系。

由圖可得如下的數量關系：①1臺A型機器人10小時的垃圾處理量+1臺B型機器人10小時的垃圾處理量=5噸；② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =5噸。

（2）【問題解決】請你通過列方程（組）解答（1）中的問題。

（3）【拓展提升】據市場調研，機器人公司對A、B兩款機器人的報價如下表所示。若垃圾處理廠采購的這批機器人（A、B兩款機器人的總臺數不超過80臺）每小時共能處理垃圾20噸，請利用（2）中的數據回答：如何采購才能使總費用最?。孔钌儋M用是多少萬元？

解：（1）根據第二個線段圖可得1臺A型機器人8小時的垃圾處理量+1臺B型機器人13小時的垃圾處理量=5噸。

點評：本題求B的采購臺數時，不能應用不少于80臺去求，這是一個取值范圍，只能用來列不等式，不能用來確定B的采購臺數。只有確定了t的取值范圍，才能根據一次函數的性質求得費用最低的方案。前面一步的計算是后面運算的基礎。

總之，二元一次方程組應用廣泛，還可以用于解決雞兔同籠問題、產品配套問題等。當問題中有兩個未知量時，列方程要從兩個不同的角度找到兩個相等關系。不同類型的問題有不同的相等關系，因此，將應用題分類也是很重要的一步。