基于逆向設計理論的高中數學教學

【摘 要】逆向設計是一種先確定學習的預期結果，再明確預期結果達到的條件，最后設計教學活動的教學設計模式。教師利用逆向設計理論設計教學，能夠促進學生自主有效學習，落實數學核心素養的培養要求。

【關鍵詞】高中數學；逆向設計；函數的零點；教學實踐

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）07-0055-04

【作者簡介】周星月，南京市中華中學（南京，210019）教師，一級教師。

一、逆向設計理論概述

逆向設計是一種以學習目標為起點，教學評價設計先于教學活動設計，指向目標達成的教學設計模式。其主要有三個階段：階段一，明確預期的學習結果，即確定學習目標；階段二，確定合適的評估證據，即設計教學評價；階段三，設計教學活動。逆向設計與傳統教學設計最大的不同在于：“學習評價”在先，“教學活動”在后，利用“評價優先”將學生評價納入教學活動中，關注學生需要什么及如何獲得，有利于學生生成可供后續發展的深層次理解。

下面筆者以蘇教版高中數學必修一“函數的零點”教學為例，闡述如何將逆向設計理論應用于高中數學教學實踐。

二、逆向設計理論下的“函數的零點”教學設計與實踐

（一）學習目標設計

逆向設計理論強調以預期結果為導向，在教學設計之初，教師要先依據課標要求、學生學情和教材內容確定學習目標。

1.教學內容分析

“函數的零點”作為函數應用的開篇，從不同的角度將數與形、函數與方程聯系在一起。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）將“從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式”作為主題一“預備知識”的一個單元，借助一元二次函數的圖象，讓學生了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系。本節課是在此基礎上，對一般函數零點的整體性的認識，同時為后續“二分法求方程的近似解”的學習提供認知基礎。

2.學情分析

授課對象為江蘇省四星級普通高中學生，學生學習數學的基礎扎實、興趣濃厚。根據教材安排，學生已經學習了二次函數的零點與方程根的關系，又經歷了函數概念及其性質、基本初等函數的學習，具備一定的用數形結合思想解決問題的能力。但高一學生仍處于經驗性邏輯思維階段，從直觀到抽象的概括歸納能力較弱，自覺運用數形結合思想解決問題的意識不強，因而自主探究發現函數零點存在的判定方法并歸納總結出函數零點存在定理相對較難。

3.學習目標設置

逆向設計理論下的教學，通常從行為主體、行為動詞（了解、理解、掌握）、行為條件和表現程度四個方面設置學習目標，讓學習者知道“學什么”“能做什么”“需要發展什么”。本節課學習目標如下：

（1）通過對二次函數零點概念的復習，掌握一般函數零點的定義，了解一般函數的零點、方程的根與圖象交點之間的聯系，能夠進行簡單的函數與方程的相互轉化。

（2）通過對特殊函數的研究，探究零點存在定理條件，歸納出一般函數的零點存在性分析方法，體會從特殊到一般的數學研究思路，激發學生的探究興趣和求知欲，提升其數學抽象和直觀想象素養。

（3）通過概念辨析，體會零點存在定理條件的完備性和定理的不可逆性，培養學生的批判性思維能力；通過例題練習鞏固用零點存在定理對一般函數的零點情況的定性判斷方法，提升學生的數學運算素養。

（二）教學評價設計

逆向設計理論下的教學，先依據學習目標，制訂目標達成的評價標準，為后續教學活動的設計提供方向和依據，使評價滲透在教學的整個過程中。評價既要關注學生對數學知識、數學技能的掌握，還要關注學生的學習態度、學習方法和學習習慣，更要關注學生數學核心素養的發展。本節課學習評價設計如表1所示。

（三）教學設計與活動過程

1.復習回顧，新知引入

師：前面，我們從函數的角度研究過一元二次方程，把二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）值為0時自變量x的值稱為二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的零點。

【問題1】函數y=x2-4x+3是否存在零點？如果存在，能否求出來？

生1：由△＞0可知函數存在零點，求解方程x2-4x+3=0得零點為1和3。

師：很好，這是從代數的角度，利用對應一元二次方程有解判斷的。還可以怎么判斷？

生2：畫圖，零點就是函數圖象與x軸交點的橫坐標值。

師：非常好！這位同學注意到了零點是一個值，而不是一個點。二次函數的零點，對應一元二次方程的解，也是函數圖象與x軸交點的橫坐標值。函數不只有二次函數，那么如何定義一般函數y=f（x）的零點？

教師給出零點的定義：一般，我們把使函數y=f（x）的值為0的實數x稱為函數y=f（x）的零點。

【設計意圖】教學從一個具體的二次函數入手，引導學生從數、形兩方面認識函數零點，歸納得到：方程f（x）=0有解?函數y=f（x）有零點?函數y=f（x）的圖象與x軸有交點。

2.探究歸納，概念生成

【問題2】以下函數是否存在零點，你是如何判斷的？①f（x）=lnx+2x-6；②f（x）=x3-4x+1。

生3：因為y=lnx與y=6-2x圖象有交點，所以函數①有零點。

師：你怎么想到這么做的？

生3：函數有零點，等價轉化為方程lnx=6-2x有解，再轉化為兩函數圖象有交點。

師：非常好，將陌生的問題轉化為熟悉的函數問題，數形結合，利用圖象直觀判斷出有零點。那函數②呢？

生3：因為f（1）＜0，f（2）＞0，所以我判斷函數有零點。

師：為什么沒像函數①那樣畫圖判斷了呢？

生3：y=x3圖象畫出后，我不是很確定與直線y=4x-1有沒有交點，就想找其他辦法。

師：很好，函數①借助“形”足以直觀判斷零點存在，但當幾何直觀不夠精確時，要學會從代數角度尋找判斷零點存在的條件。那函數②零點所在區間是什么呢？

生3：（1，2）。

師：其他同學贊同他的結論嗎？

生4：我認為要加上一個條件——函數在［1，2］連續，否則函數不一定有零點。

師：你能舉例說明嗎？

學生板書畫出滿足f（1）＜0，f（2）＞0，但函數圖象在［1，2］斷開的分段函數圖象。

師：非常棒，看來需要加上函數在［1，2］上圖象不間斷。函數①也能用函數值判斷零點是否存在嗎？

生5：可以。因為f（1）＜0，f（3）＞0，函數f（x）=lnx+2x-6在［1，3］圖象不間斷，所以存在零點。

師：很好，但是老師剛才看到有同學寫“f（x）在［1，3］單調遞增”你認為用哪個合適？

生5：單調不行，圖象可能斷開。

師：非常棒！你們不僅判斷出了函數有零點，更進一步給出了零點的范圍。你們能否推廣到一般，給出函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點的條件呢？

生6：若函數y=f（x）在區間（a，b）上的圖象不間斷，且f（a）f（b）＜0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點。

師：其他同學贊同嗎？

生7：我認為要改成函數y=f（x）在區間［a，b］上圖象不間斷，否則圖象可能在區間端點斷開。

學生板書畫圖舉反例，強化條件中應是“閉區間［a，b］”，同時辨析結論中要用“開區間（a，b）”。

師：什么叫“有”零點，有幾個？

生眾：至少一個。

師：能舉出不止一個的例子嗎？

學生畫圖。

追問1：對于一般函數，能否加一個條件，使零點唯一？

追問2：是否一定要單調？能舉例嗎？

【問題3】判斷以下命題是否正確：若函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）＞0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上沒有零點。

學生畫出滿足條件的二次函數圖象作為反例，論證上述命題錯誤。

追問：閉區間［a，b］上的連續函數y=f（x），f（a）f（b）<0是函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點的? ? ? ? ? ? 條件。

【設計意圖】教學從具體的函數存在零點條件的討論開始，通過師生對話、生生對話，讓學生充分經歷零點存在定理的生成過程，自主探究歸納出零點存在定理。教學中反復從“數”“形”角度認識函數的零點問題，使學生最終從數、形兩方面獲得對零點存在定理的全面理解，培養學生的理性思維、辯證思維、分析和解決問題的能力、創新意識和探究能力。

3.例題精講，知識應用

師：函數①有幾個零點？如何判斷？

生眾：一個零點，因為函數①單調。

師：函數②呢？如何判斷？

生8：對應三次方程x3-4x+1=0，我覺得函數有三個零點。

教師用GeoGebra軟件展示函數f（x）=x3-4x+1的圖象，請學生板書證明函數f（x）=x3-4x+1在區間（-3，-2）上有零點。

例1：求證函數f（x）=2x+2x-3有零點。

【設計意圖】上述教學旨在培養學生學會利用零點存在定理證明函數有零點。教師通過請學生板書，規范學生解答過程。同時，教師追問：如何縮小零點范圍？留待課后思考，為下節課“二分法”的學習埋下伏筆。

4.歸納總結，練習鞏固

課堂小結：今天這節課你有什么收獲？

【設計意圖】教師引導學生從知識（函數零點和函數零點存在定理）和思想方法（特殊到一般、函數與方程、數形結合、轉化化歸）兩方面進行課堂小結。

三、教學反思

新課標指出，高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，提升數學學科核心素養。新課標對學生數學素養提出的要求，也是對教師在教學上的要求，創新教學手段、改革學生評價方式、變革教學組織形式，自然成為應有之義。逆向設計正是順應新課程改革和新高考形勢，指向數學核心素養提升的一種教學設計形式，其特點主要體現在以下幾方面。

（一）立足學情，以學習目標落實課標要求

“逆向設計”在教學設計之初，就依據學生實際將上位的課程目標轉化為針對性強、可操作的課時學習目標，實現由基于經驗的教學向基于課程標準的教學的轉變，增強教學的指向性。在分析學情時，不僅考慮學生已有的知識和能力基礎、慣用的思維方式等智力因素，同時兼顧學習態度、學習習慣、學習興趣等非智力因素。在上述教學中，教師統觀“函數的應用”此章大單元教學要求，把握新課標要求與學生已有基礎的落差，剖析函數零點的概念形成及零點存在定理的生成過程中分別體現的數學核心素養，在學生的最近發展區內設計學習目標，幫助學生形成可供后續發展的深層次理解，促進他們數學核心素養的發展。

（二）注重過程，以學習評價促進學習效果

傳統教學設計將評價設計放在教學活動設計之后，甚至不出現在教學設計文案中，常只以終結性評價檢測學生的掌握情況，忽視了評價的診斷和促進作用。而“逆向設計”的評價設計先于教學活動，先確定目標達成的證據，進而判斷學生已有學習經驗和目標的距離，再根據證據的需要設計教學活動。上述教學設計借助學生已知的二次函數零點，將一般函數零點的概念納入到學生原有的知識體系。問題2的探究過程中，以教師、學生本人以及同學作為評價主體，以課堂評價為主要形式，讓評價貫穿整個教學過程，真實反映了學生認知和思維的發展，幫助教師及時監控學習目標的達成情況，反思、調整教學行為，提高教學質量。

（三）動態調整，不斷完善教學評系統

教學設計的有效性最終取決于學生學習的成果，而教學中學情常常不能直接朝著理想狀態發展，學習目標的達成可能出現參差不齊、停滯、反復的情況，因而“逆向設計”也并非是一種線性的過程，而是一個循環往復、不斷調整和完善的過程。在逆向設計理論中，目標指導評價和教學互動，評價是判斷目標是否落實的標準，活動是評價進行的載體，三者相互制約，彼此聯動。因此，教師應該根據教學實際情況調整和修改三個環節，以保證教學的各要素協調一致、前后連貫，尤其是教學活動既要和評價保持一致，又要符合教學目標的要求。

【參考文獻】

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