從一道大小比較題目的解決看數學思維之美

劉愛峰

【摘要】從一道大小比較題目的解決，可以領略數學技巧、數學思想、數學方法等數學思維之美，從而體會到較復雜的大小比較問題是培養學生數學思維能力的重要載體.

【關鍵詞】大小比較；高中數學，數學思維

題目? 對于n>1，n∈N+，試比較logn（n+1）與logn+1（n+2）的大小.

這是經常見到的大小比較問題，通常有以下三種解法.

解法1? 作差比較法

logn（n+1）－logn+1（n+2）

=1logn+1n－logn+1（n+2）

=1－logn+1n·logn+1（n+2）logn+1n>

1－logn+1n+logn+1（n+2）22logn+1n

=1－logn+1（n2+2n）22logn+1n>

1－logn+1（n+1）222logn+1n=0.

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

解法2? 作商比較法

由已知得logn（n+1）>0，logn+1（n+2）>0.

logn+1（n+2）logn（n+1）=logn+1（n+2）·logn+1n

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

解法3? logn（n+1）－logn+1（n+2）=logn（n+1）－logn（n+2）logn（n+1）

=log2n（n+1）－logn（n+2）logn（n+1），

而logn（n+2）=logn（n+2）·lognn

=logn（n2+2n）22

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

點評? 以上三種解法，看似不同，實質相同：基本思路都是作差或作商，先化為同底的對數，然后再進行不等式的放縮變換，體現了數學技巧的靈活運用.特別是解法3中將logn（n+2）化成logn（n+2）·lognn達到了與log2n（n+1）次數相同，然后進行放縮變換也體現了對數學式的較高感悟能力，有初步的構造思維.然而，以上三種解法都體現了對數學知識的工具性理解：比較大小通常的辦法就是作差、作商，然后逢山開路、遇水架橋.這種比較大小的最初體驗在小學：兩個分數的大小比較方法就是作差—化同分母，或作商—看比值.這種認識的固化就是這三種解法的思路來源.

下面的解法會讓你耳目一新，然追根溯源又在情理之中.

解法4? 由已知得logn（n+1）>1，logn+1（n+2）>1.

所以可設logn（n+1）=1+α，logn+1（n+2）=1+β（α，β為正常數），

所以n+1=n1+α，n+2=n+11+β，

所以1+1n=nα，1+1n+1=（n+1）β.

易得1+1n>1+1n+1，

于是nα>（n+1）β>nβ，

所以α>β，

故logn（n+1）>logn+1（n+2）.

點評? 通過巧妙設元，將對數形式轉化成了一邊是整式另一邊是冪函數形式，下一步又將其轉化為一邊是1+1n和1+1n+1，另一邊為nα和（n+1）β的形式，有多少學生能夠想到呢？追根溯源，這種想法也應該能想到，對數與指數本來就是可以互化的，化成冪函數形式毫不稀奇，然而轉化成一邊是1+1n和1+1n+1則有直覺思維的成分，需要較高的數學素養.

解法5? 由已知得logn（n+1）>1，logn+1（n+2）>1.

logn（n+1）－1=ln（n+1）lnn－1=ln1+1nlnn，

logn+1（n+2）－1=ln（n+2）ln（n+1）－1

=ln（1+1n+1）ln（n+1）.

因為0

所以1lnn>1ln（n+1）.

又ln1+1n>ln1+1n+1>0，

所以ln1+1nlnn>ln1+1n+1ln（n+1）.

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

點評? 這個解法是不是更新奇？該思路的產生是基于：logn（n+1）和logn+1（n+2）都只比1大“一點點”，它們都減去1，只比較剩下的部分就行了.追根溯源，就像是小學生比較54和65的大小，有的學生是這樣思維的：假設有5個蘋果平均分給4個人，當然是每人先分一個蘋果，然后再分剩下的那1個蘋果，每人分14；假若有6個蘋果分給5個人，則每人先分一個蘋果后，再分剩下的一個蘋果每人再得15.顯然54>65.只是讓人興奮的是：logn（n+1）和logn+1（n+2）減1后形成的分式恰好分子與分母的單調性是相反的.

通過以上五種解法，領略了數學思維之美.對上述內容進行概括，logn（n+1）與logn+1（n+2）的大小比較問題實質上就是函數f（x）=logx（x+p）（x>1，p為正常數）的單調性問題，由解法5我們不難證明函數f（x）=logx（x+p）（x>1，p為正常數）為單調遞減函數.

證明? 設1

則f（x1）=logx1（x1+p）=ln（x1+p）lnx1－1+1=ln1+px1lnx1+1，

f（x2）=logx2（x2+p）

=ln（x2+p）lnx2－1+1=ln1+px2lnx2+1.

由10，

知1+px1>1+px2>1，

ln1+px1>ln1+px2>0，

由lnx2>lnx1>0，

知1lnx1>1lnx2>0，

所以ln1+px1lnx1>ln1+px2lnx2.

所以f（x1）>f（x2）.

所以函數f（x）=logx（x+p）（x>1，p為正常數）為單調遞減函數.

當然，也可以用導數證明該函數的單調性.至此類似logn（n+1）與logn+1（n+2）的大小比較問題可以說得到了較完美的解決.