高中數學的主要最值問題及解題方法探討

鄭菊萍

【摘要】“求最值”問題是高中數學考試中學生容易失分的一類題型，其對學生基礎知識的掌握情況和邏輯思維能力具有較高的要求.學科教學中，教師應注重此類問題的歸納總結，引導學生掌握解題規律和方法，以此幫助學生更好地應對此類題型.本文對不等式、解析幾何、向量三個知識板塊中最值問題的求解方法進行歸納和闡述，以供參考和借鑒.

【關鍵詞】高中數學；最值問題；解題方法

1? 不等式最值問題的解題方法

1.1? 添項構造法

此方法的解題思路為：觀察題目已知條件特征，思考已知條件、求解代數式、不等式基本性質之間的關系，在此基礎上，通過增添項目的方式，對求解代數式進行轉化變形，使式子滿足使用不等式基本定理的條件，從而利用不等式基本定理完成最值的求解［1］.

例1? 已知：x＜15，求函數y=5x+15x－1的最大值.

由x＜15可知5x＜1，即1－5x＞0.

又因為y=5x+15x－1

=1－1－5x+11－5x，

根據不等式基本定理a+b≥2ab可知，

y=1－1－5x+11－5x≤

-121－5x×11－5x=－1，

當且僅當1－5x=1，1－5x時取等號，

由此解得函數y=5x+15x－1的最大值為-1.

1.2? 換元法

此方法的解題思路為：創造一個單一變量，利用其替代題目中的某個較為復雜的表達式，以此實現求解題目的轉化變形，使其滿足使用某種性質或定理的條件，從而完成最值的求解.

例2? 已知－6≤a≤3，求3－aa+6的最大值.

令tx=3－aa+6=－ a+322+814，a∈－6，3.

由二次函數的基本性質可知，

tamax=t－32=814，

故3－aa+6的最大值為tamax=814=92.

2? 解析幾何最值問題的解題方法

2.1? 利用三角函數有界性求解

在解答解析幾何知識板塊最值問題時，若題目中存在“圓與直線相交”“圓與三角形之間存在特殊位置關系”等信息時，可優先考慮利用三角函數的有界性進行解題［2］.

例3? 已知圓C：x－12+y－22=2，若等邊三角形PAB的一條邊AB為圓C的一條弦，求PC的最大值.

圖1

根據已知條件，在直角坐標系中繪制出圓C與等邊三角形PAB的位置關系示意圖（見圖1）.連接AC、BC、PC，PC與AB交于點D.

因為AC、BC均為圓C的半徑，

所以AC=BC.

又因為△PAB為等邊三角形，

所以D為AB的中點，且PC⊥AB.

由圓C：x－12+y－22=2，

可知半徑R=2，

則AD=2cosθ，CD=2sinθ，

等邊△PAB中，

PD=32AB=6cosθ，

故PC=CD+PD=2sinθ+6cosθ=22sinθ+π3.

根據三角函數的有界性可知

22sinθ+π3≤22，

由此得出PCmax=22.

2.2? 構造函數進行求解

此方法的解題思路為：分析已知條件，找出問題中的變量，根據數值、圖形兩方面的關系，寫出目標式，構造出函數.然后，根據函數的基本性質完成最值的求解.

仍以上述題目為例.

設AD=x，x∈0，2，

則PC=3x+3－x2.

記fx=3x+3－x2，

則f′x=3－x2－x2，

令f′x=0，可解得x=62∈0，2，

當x∈0，62時，f′x≥0，函數單調遞增；

當x∈62，2時，f′x＜0，函數單調遞減.

故當x=62時，fx取最大值，

即f62=22，由此可知，PCmax=22.

3? 向量最值問題的解題方法

向量最值求解也是高考中常見的題型.針對此類題型，解題時應先結合一致條件，細心梳理出各向量之間的關系，然后基于投影定義、向量模公式、數量積公式、數乘運算法則等知識的整合運用，建立關于x、y、z的關系式，以此減少目標式中變量的個數，將向量最值求解轉化為代數式最值求解，在此基礎上靈活運用以下方法進行求解［3］.舉例（略）.

3.1? 數形結合法

該方法的解題思路為：分析、挖掘題目中已知條件和目標式的幾何意義，在此基礎上建立直角坐標系，將反映已知條件的圖形畫在坐標系中，通過圖形位置關系的分析，明確目標式獲取最值的情形，完成解題.具體解題方法（略）.

3.2? 導數法

此方法的解題思路為：根據已知條件確定自變量和取值范圍，然后將目標式視為一個函數，對其進行求導，在此基礎上根據導函數與“0”的大小關系，判斷函數的單調性和單調區間，進而確定出函數的極值，完成解題.運用該方法解答向量最值問題時的關鍵點為構造出合適的函數式.具體解題方法（略）.

參考文獻：

［1］苗祥磊，王德朋.關于解決高中數學中最值問題的分析［J］.數理化解題研究，2023（28）：19-21.

［2］宮里華.高中數學常見最值問題及解題策略探究［J］.數理天地（高中版），2023（15）：4-5.

［3］軒愛成.高中數學最值問題求解策略教學探討［J］.高考，2021（24）：73-74.