基于數(shù)學核心素養(yǎng)的問題探究活動及教學思考

候懷有 張恩軍

【摘要】從一道數(shù)學問題說起，通過問題解答以及變式探究，設計豐富多彩的數(shù)學探究活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，最后提出幾點自己的教學思考與同仁商榷.

【關鍵詞】數(shù)學核心素養(yǎng);問題探究活動;包書問題

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：探索在不同的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學和其他學科的知識從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法，能運用幾何直觀、邏輯推理等方法解決問題，形成模型觀念和數(shù)據(jù)觀念.關注社會生活中與數(shù)學相關的信息，主動參與數(shù)學活動；在解決數(shù)學問題的過程中，能夠克服困難，樹立學好數(shù)學的信心，感受數(shù)學在實際生活中的應用，體會數(shù)學的價值，欣賞并嘗試創(chuàng)造數(shù)學美；養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑的學習習慣[1].

數(shù)學與實際生活聯(lián)系密切，許多數(shù)學知識來源于生活，在進行日常教學時，尤其有關數(shù)學知識的應用時，要主動選取貼近生活、學生熟悉的數(shù)學情境，設計豐富多彩的數(shù)學探究活動，引導學生從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).本文就一節(jié)數(shù)學活動課的教學設計以及教學思考與同仁商榷.

1問題提出

如圖1（1）的矩形包書紙示意圖中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進去的寬度．

（1）如圖1（2），數(shù)學課本長為26cm，寬為18.5cm，厚為1cm．小明用一張面積為1260cm2的矩形紙包好了這本書，展開后如圖1（1）所示，求折疊進去的寬度；

（2）現(xiàn)有一本長為19cm，寬為16cm，厚為6cm的字典．你能用一張41cm×26cm的矩形紙，按圖1（1）所示的方法包好這本字典，并使折疊進去的寬度不小于3cm嗎？請說明理由．

設計意圖?每學期開學時，只要課本發(fā)下來，學生做的第一件事常常就是給新書包上書皮.包書皮是一種富有趣味的動手操作活動，是數(shù)學活動課的良好素材.本題以包書皮為背景，以“這張矩形紙能不能包好這本書”為思維的契入點，立刻將學生帶入實際生活中，深刻感受實際生活與數(shù)學的密切聯(lián)系.

2背景搜索

實際生活中的包裝隨處可見，五花八門，其中的設計學問很大.有些外包裝看上去很美觀，讓人感覺氣勢恢宏，但實際上容量卻很小，如某些飲料瓶、糖果包裝的設計；有些外包裝要求外觀小巧，而容量要盡可能地大，如保鮮盒的生產等.包書問題雖然簡單，操作容易，但也是包裝設計中的一種，每個學生都是非常熟悉的.

為了包好每本書，需要講究方法，認真操作.先將選好的圖案估量著放在封面的正中，然后把紙對折，將書夾在中間，在四周輕壓一下，壓出書的大概樣子，再沿著剛剛壓出的痕跡將紙仔細折好.如果折疊過去的寬度較寬，可將多余的紙邊裁掉.最后將書的封面和封底折進去，再用硬物壓上一段時間使其更加平整.這樣一本嶄新的書就包好了.我們常見的包書方式一般有兩種，一種是形如某些較厚的字典，沿書的長分別折進去，展開后如圖2所示；另一種是常見的書，沿書的長和寬分別折進去，展開后如圖3所示（虛線是折痕，折進去的長度不一定相等）.

設計意圖?通過對包書皮的背景搜索，使學生了解包書皮實際上就是包裝設計，進一步體會包裝設計在實際生活中的廣泛應用，并通過包書皮的具體操作喚起對這一活動的美好記憶，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，調動學生學習數(shù)學的積極性.

3問題解答與延伸

矩形包書紙的面積大于書平展后的面積，就能包書嗎？

顯然，要矩形包書紙能包書，它的面積一定要大于書平展后的面積；但矩形包書紙的面積大于書平展后的面積，也不一定能包書.如一張10cm×140cm矩形包書紙就不能包一本平展后為30cm×40cm的書.那么，矩形包書紙的長和寬分別滿足什么條件才能包書呢？理論上，“矩形包書紙的長＞書的寬×2+書的厚，且矩形包書紙的寬＞書的長”就能包書.可見，包書中蘊涵了很多數(shù)學知識.

3.1包書問題中的代數(shù)式

問題1?一本精裝版《成語大詞典》長、寬、厚如圖4所示（單位：cm），如果按圖2的包書方式，將封面和封底各折進去3cm，試用含a、b、c的代數(shù)式分別表示《成語大詞典》封皮的長與寬.

解?封皮長（2b+c+6）cm，封皮寬acm.

設計意圖?在初中數(shù)學中，“數(shù)與式”是“數(shù)與代數(shù)”領域的重要基礎內容，它包括有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、整式、分式等.這部分內容知識點多，技能性強，難度一般不大，而利用包書皮的設計，學習回顧相關代數(shù)式的知識，對滲透學生的“數(shù)感”和“符號感”是非常直觀、有效的，有利于培養(yǎng)學生的運算能力、應用意識等核心數(shù)學素養(yǎng).

3.2包書問題中的方程

問題2?“問題提出”中的第（1）問

解?設折疊進去的寬度為xcm，根據(jù)題意，得（26+2x）（18.5×2+1+2x）=1260，化簡，整理得x2+32x-68=0，解得x1=2，x2=-34（不合題意，舍去），所以，折進去的寬度為2cm．

解答本題需要將實際問題轉化為一個方程模型，需要學生將平面示意圖與立體圖形結合，通過觀察分析、思考，建立一元二次方程模型.方程是初中數(shù)學的核心內容之一，用方程解決實際問題，需要把實際問題轉化為數(shù)學問題，同時得出解后又要回到實際向題中檢驗其解是否合理.在初中數(shù)學中，很多代數(shù)問題、幾何圖形問題，只要是求未知量數(shù)值，一般都要借助于方程.

設計意圖 通過問題的第（1）問，使學生經歷觀察、分析、轉化、建模等思維過程，鞏固學生綜合運用一元二次方程，以及靈活運用轉化與化歸、方程等數(shù)學思想解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生的運算能力、模型觀念、幾何直觀等數(shù)學核心素養(yǎng).

3.3包書問題中的不等式（組）

問題3?“問題提出”中的第（2）問.

解?【方法1】分兩種情況：

①當字典的長與矩形的寬方向一致時，若要包好這本字典，所需矩形紙的寬為19+3×2=25＜26，長為16×2+3×2+6=44＞41.所以不能包好這本字典.

②當字典的長與矩形紙的長一致時，因為44＞26，所以不能包好這本字典.綜上，所給的矩形紙不能包好這本字典．

【方法2】設折疊進去的寬度為xcm.分兩種情況：

①當字典的長與矩形紙的寬方向一致時，根據(jù)題意，得19+2x≤26，16×2+6+2x≤41，解得x≤1.5.所以，不能包好這本字典.②當字典的長與矩形紙的長方向一致時，根據(jù)題意，得19+2x≤41，16×2+6+2x≤26，解得x≤-6.所以，不能包好這本字典.

綜上，所給矩形紙不能包好這本字典.

本題需要學生對信息作出判斷，理解按圖1（1）的包書方式需滿足“矩形包書紙的長＞書的寬+書的厚+折進去的長度×2，矩形包書紙的寬＞的長+折進去的長度×2”的不等關系.生活中存在大量不等關系，不等式是刻畫現(xiàn)實世界的一種數(shù)學模型.本題的設計有效復習了不等式（組）的應用.此外，問題的解決中又涉及分類討論的數(shù)學方法，有利于培養(yǎng)學生思維的完備性.

設計意圖?問題的第（2）問，需要學生經歷閱讀、分析、判斷、建模、計算等數(shù)學思維活動，鍛煉學生運用一元一次不等式（組）知識以及分類討論的數(shù)學思想解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生的抽象能力、運算能力、模型觀念以及應用意識等數(shù)學核心素養(yǎng).

3.4包書問題中的相似

問題4現(xiàn)有1張一角污損的矩形包書紙，如圖5，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm.使用沒有污損的部分按圖3方式包一本長為19cm，寬16cm，厚為6cm的字典.試畫出一種合適的剪裁法，并寫出剪裁后矩形的長和寬.

為了使剪裁后的矩形盡可能大，也能夠包書，那么矩形的一個頂點落在EF上是較好的剪裁方法.如圖6（1），點P1為線段EF上一點，過點P1作P1H⊥CD，則需要P1H＞（16×2+6）cm，即P1H＞38cm；如圖6（2），點P2為線段EF上的一點，過點P2作P2G⊥BC，則需要P2G＞19cm；顯然落在EF上的點P一定在線段P1P2之間（如圖6（3））.

問題4要求寫出剪裁后矩形的長和寬，就是要分別寫出PG，PH的長，即分別求出PM，PN的長.如果PH的長設為40cm，則PM=10cm，由△EPM∽△EFA，得PMFA=EMEA，則1016= 12-PN12，所以PN=4.5cm，所以PG=22.5cm＞19cm，符合題意要求，因此剪裁后矩形的長為40cm，寬為22.5cm.

兩個三角形相似，由對應邊構成的比例等式，使其成為初中數(shù)學中有關線段長度計算的重要途徑和工具.通過包書這個載體，利用三角形的相似，解決了預設問題，又讓學生感受了數(shù)學的應用價值.

設計意圖?設計的問題情境可以讓學生更加關注數(shù)學探究活動，在觀察、操作、分析、比較、判斷、計算中體驗數(shù)學探究活動的樂趣，鍛煉運用相似三角形解決實際問題的能力，培養(yǎng)抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力等數(shù)學核心素養(yǎng).

3.5包書問題中的函數(shù)

問題5?針對問題4，是否存在剪裁后面積最大的矩形也能包這本書，并說明理由.

由問題4知存在剪裁后的矩形能夠包書.但要解決面積最大的矩形是否能包這本書問題，答案好像是“當然可以”的.事實果真如此嗎？

設PM=x，由△EPM∽△EFA，得PMFA=EMEA，則x16=12-PN12，所以PN=12-34x，所以S矩形PGCH=（50-x）（30-12+34x）=-34x2+392x+900=-34（x-13）2+30934，當x=13時，S最大，此時PG=27.5cm＞19cm，但PH=37cm＜38cm，所以不存在剪裁后面積最大的矩形也能包這本書.

函數(shù)是表示數(shù)量之間關系以及變化規(guī)律的數(shù)學模型.問題5通過包書這個載體，將與運動相關的幾何圖形問題與二次函數(shù)問題結合，體現(xiàn)了函數(shù)是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的紐帶和橋梁.

設計意圖?新課程理念要求在實際問題中追求最優(yōu)化思想，要求學生經歷思考、分析、建模，判斷等思維過程，利用二次函數(shù)模型解決問題，做出最恰當?shù)呐袛啵囵B(yǎng)學生抽象能力、運算能力、推理能力、應用意識和模型觀念等數(shù)學核心素養(yǎng).

4教學思考

4.1對已有教學素材的利用

教學素材是知識的載體.初中生的生活經驗和知識背景已比較豐富，相對小學生，他們更關心周圍的人和事，更關注用數(shù)學知識解決問題.因此選擇符合初中生生理、心理特點的教學素材對教育工作者，尤其對一線的教師來說任重道遠.而對已有的教學素材，需要教師引導學生分析、整合、拓展、創(chuàng)新素材，從而發(fā)展學生解決問題的能力.

包書問題只是學生應用數(shù)學知識解決問題的一個例子.通過“包書問題→數(shù)與式”“包書問題→方程”“包書問題→不等式（組）”“包書問題→相似”“包書問題→函數(shù)”等形式，將相關知識進行串聯(lián)，讓學生經歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程，體驗數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系，初步形成對數(shù)學整體性的認識.

4.2對特定問題變式的思考

變式教學主要是指對特定內容進行變通推廣，讓學生能從不同角度、不同層次，重新認識已有問題.變式要循序漸進，要符合學生的已有認知規(guī)律.只有這樣，才能調動學生學習的積極性，提高學生參與、創(chuàng)新和解決問題的能力.

包書問題中，原情境要求學生利用方程、不等式組解決問題，而問題的延伸則需要學生從數(shù)與式、方程、不等式（組）、相似、函數(shù)等立體化的交叉網絡提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.學生需要動腦思考解決問題的思路，動手探究解決問題的策略，動口敘述解決問題的方法.如解決問題3還有沒有其他方法？問題4怎樣敘述更有條理？問題4僅憑直觀想象是否正確等等.通過這些變式問題獲得一些研究問題的方法和經驗，發(fā)展思維能力，加深對相關數(shù)學知識的理解.

4.3對數(shù)學活動課中“活動”的認識

數(shù)學活動的教學也是數(shù)學思維的教學.數(shù)學活動課包含學生動手實踐、合作交流等形式的活動，這些活動更注重學生的數(shù)學思維，讓學生在活動過程中多動腦筋，勤于思考，從中悟出規(guī)律與道理.包書是一種常見的勞動，它是一種技能，它的教學價值不僅僅在于保護圖書這一淺顯的功能，更重要的是通過包裝文化體現(xiàn)數(shù)學應用的價值.通過對包書的認識，把課堂所學知識運用到實踐中，使理論聯(lián)系實際，發(fā)展數(shù)學應用能力，使學生的數(shù)學素養(yǎng)得到全面的提高.

包書問題可延伸至包裝、設計等問題，能給師生帶來更多的思考與探究的空間.數(shù)學與現(xiàn)實生活是密切相關的，因此，有價值的數(shù)學更多地體現(xiàn)在學生用數(shù)學的眼光和思維去觀察、認識日常生活現(xiàn)象，去解決生活中的問題，獲得并提高適應生活的能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準：2022年版[M]．北京：北京師范大學出版社，2022：15.

作者簡介侯懷有（1973—），男，山東陵縣人，教育碩士，中學高級教師;主要從事數(shù)學教育教學研究.

張恩軍（1975—），男，山東陵縣人，中學高級教師;主要從事教育教學研究.