加強多元表征策略研究，提升幾何直觀核心素養

摘要：基于“如何充分利用多元表征策略，不斷提升學生幾何直觀核心素養”的研究分析，主要從豐富語言情境表征、加強動態展示表征、強化數形結合表征、開展實踐操作表征、構建數學模型表征五個方面，充分體現學生幾何直觀的“五度”.

關鍵詞：初中數學；多元表征；幾何直觀；核心素養；策略研究

在初中階段數學知識的學習過程中，充分利用多元表征理論進行學生幾何直觀能力培養，可以多方面引導學生對數學問題的理解與研究，也更容易幫助學生理解把握一些數學問題的本質.采用多種表征轉換，更有助于學生深入學習，可以達成更好的學習效果.本文中就多元表征的應用策略進行研究，以更好地提升學生的幾何直觀核心素養.

1 豐富語言情境，提升幾何直觀的“純度”

在解答一些數學問題的過程中，往往會遇到很多以文字為主的問題，特別是涉及到數學古代文化知識問題，需要對這些問題進行語言轉化，有時還需要將相關的問題情境利用圖形語言或者符號語言表達出來，這樣才能更容易把握問題的本質.利用幾何圖形展示問題特征，會使得問題更加直觀形象，能激發學生的學習興趣，更能引導學生對問題的探究分析，充分彰顯文化特色.

例1" 我國古代著名的數學家劉徽著有《海島算經》．內有一篇：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問島高及去表各幾何？”請你計算出海島高度為步．（提示：三丈二5步.）

分析：此類問題，不光在語言上給學生們設置了障礙，在分析解決問題的過程中還有更多的難點.針對此類問題，單純從字面上來理解，學生很難入手計算，這就需要教師幫助學生轉化語言描述，用更簡單、更直接的文字將題意表述出來，再借助相關的數據提示，如兩根標桿高均為5步、前后相距1 000步、退行123步等.這樣的轉化，學生起碼在閱讀上沒有了障礙，而如何解答計算此問題，又成了學生突破的難點.因此，再根據題意，將文字語言轉化為圖形語言，使復雜的問題簡單化，最終轉化為相似三角形對應邊成比例的問題，從而可根據數量之間的關系列出分式方程，即可求出島高．

2 加強動態展示，提升幾何直觀的“維度”

在一些有難度的數學問題中，有時很難發現它的切入點，特別是涉及最值的問題，在什么情形下才能達到最小或最大呢？有些問題光靠觀察分析很難解決，如果將靜態問題轉化為動態問題來分析，將問題從“一維”轉化為“多維”來思考，將平面問題轉化為立體問題來觀察，這樣問題會更加生動直觀，能更加吸引學生的注意力，便于解決問題［1］.

例2" 矩形ABCD滿足ABAD＝k（k＞1），在邊DC上截取線段DE使得△ADE∽△ABC，F是線段EC的中點，如圖1.若AC＝1，將△ADE繞點A旋轉．求BF在旋轉過程中的最小值（用含k的代數式表示）．

分析：本題單純地求解BF的值，學生很難入手，更不用說探究其最小值了.但是我們根據知識經驗可知，由F為中點，此時很大程度上可考慮利用中位線定理.如圖2，取AC的中點O，連接OF，OB．OB交⊙O于點F′．由OC＝OA，CF＝FE，推出OF＝12AE，則OF是定值.這樣可以推出點F在以O為圓心、OF為半徑的圓上運動.利用幾何畫板，將靜態問題轉化為動態問題，引導學生借助動態旋轉，體會點F的變動過程，從而借助相關數據確定當點F運動到與F′重合時，BF取的值最小，此時再求出OB，OF的表達式即可解決問題．

3 強化數形結合，拓展幾何直觀的“深度”

“數”與“形”相輔相成，二者在某種程度上可以互相轉化，借助圖形來表示數之間的某種關系，借助數的精確性來闡明圖形特點.只有在解決問題的過程中不斷深入強化數形結合的表征，才能更好地引導學生進行數形思維轉化，從而更好地把握數形規律，拓寬學生幾何圖形的直觀辨別度.

例3" （1）已知兩個正數x，y滿足x+y＝7，求x2+4+y2+9的最小值；

（2）如圖3，正方形網格中小正方形的邊長為1，在格點上有兩個點，分別為A，B，且滿足AB＝7．請在線段AB上找一個點P，使AP的長為（1）中所求的x，并在圖形中畫出點P位置，寫出結論即可．

分析：對于第（1）小題，咋看起來似乎無法解決，對學生來說甚至有超綱的嫌疑.假如我們將代數問題看作幾何問題，借助網格或坐標系，就可以從數形結合的角度思考分析，問題就變得簡單了.例如，可以把32+42看做邊長為3和4的直角三角形的斜邊，將x2+4看成是直角邊分別為x和2的直角三角形的斜邊.這樣，求x2+4+y2+9的最值問題就可轉化為學生熟悉的幾何最短路徑問題.

對于第（2）小題，通過作圖，得到圖4，這樣可證明△APC′∽△BPD，列比例式即可求出x的值．

我國著名的數學家華羅庚曾說過：“形缺數時難入微，數缺形時少直觀.”這句話很明顯點出了數形結合的特點，“數”與“形”缺少哪一方面都不是完美的數學，并且告訴我們，解決數學問題要注意利用“數形結合”法，注意“數”和“形”的互相轉化.根據實際問題所描述的情境，將數與形有機聯系在一起，可將復雜問題簡單化，將抽象問題直觀化.

4 開展實踐操作，拓展幾何直觀的“寬度”

數學學習活動離不開實際操作.在數學教學中重視動手實踐操作活動的開展，能更有利于發展學生的創新思維，增強數學問題的直觀性，能更好地拓展學生幾何直觀的寬度，讓學生在操作中探究問題的本質，從而更容易接收相關知識，解答也會變得更加容易［2］.

例4" 現有如圖5所示的若干個邊長為a的小正方形紙片①，長為b、寬為a的長方形紙片②，以及邊長為b的大紙片③．請解決下列相關問題.

（1）如果小正方形①的紙片有1張，大正方形③的紙片有1張，長方形②的紙片有3張，利用這些紙片你能否將它們拼成一個大長方形（如圖6所示）？結合各個紙片表示的面積之間的大小關系將多項式a2+3ab+2b2分解因式.

（2）如果現有上面所描述的三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），那么可以拼成多少種邊長不同的正方形？

分析：實際上，這樣的問題對于學生來說既抽象又難以理解，本來整式問題對他們來說就感覺摸不著頭腦，解決此類應用問題更是難上加難.如果將問題轉化為實際操作問題，讓學生準備類似的硬紙片，剪成相對應的形狀，再操作擺放，并在擺放過程中引導學生不斷總結擺放的一些方法或技巧，讓學生在操作中分析，在操作中思考、總結，借助剪切的動態設計，引導學生對問題進行研究.這樣不僅加強了學生的空間想象力，更提高了他們的幾何直觀能力，在擺放過程中找到了邊與邊的關系，找到了多項式與圖形之間的關系，找到了面積與圖形之間的關系，從而順利突破難題.

綜上所述，可以發現只有充分調動數學的多元表征，關注公式、概念、性質的“數”的特點以及數學模型、幾何圖形的“形”，將“數”與“形”完美結合，充分體現幾何直觀的優勢，才能讓學生在提高直觀能力的基礎上，進一步提升數學核心素養，真正體現幾何直觀的價值.

參考文獻：

［1］孫紅強.圖形：培養直觀想象素養的關鍵要素［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2020（3）：50.53.

［2］嚴玲.借助多元表征" 促進深度學習——以七年級“數與代數”的教學為例［J］.初中數學教與學，2022（6）：1.3.