新高考評價體系下數學壓軸題的價值導向

【摘要】本文以2023年新高考Ⅰ卷22題為載體，分析高考改革下函數與導數部分內容出題特點、解決策略和失誤原因，進一步發揮高考數學試題的潛在價值，明確新高考評價體系下對學生核心素養的要求和價值指引，并提出相應的教學建議.

【關鍵詞】高中數學；函數與導數；核心素養

.函數與導數在高考考查中具有舉足輕重的地位，其知識性綜合，眾多學生即使平時大量刷題掌握了一定的套路模式仍然止步不前.由此，本文立足于《中國高考評價體系》，針對2023年新高考數學Ⅰ卷22題的考查意圖、解法特點及典型錯誤，進行如下分析.

1" 立意剖析

2023年新高考一卷數學22題如下：

在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，記動點P的軌跡為W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

學科知識視角：函數是數學教育的靈魂，是貫穿高中數學內容的一條主線.本題主要考查拋物線定義、軌跡方程、去絕對值、導數、不等式放縮等問題，利用拋物線的性質對矩形的鄰邊所在直線設參或者對三個臨點設參，以此表示出矩形的周長，思維過程比較常規，符合大部分學生的思維習慣，突出考查代數變形、推理論證等數學能力.

數學能力視角：題目以求曲線解析式為切入點，讓學生更容易聯想到利用拋物線性質以及方程思想，用數學思維分析問題并解決問題.解題全過程要求有全面的數學技巧儲備；尋找化簡無關聯的雙變量、雙絕對值結構的方法；將目標化為一元函數最值問題，又需要學生具備靈活變通的創新能力.對學生的思維運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力等進行綜合考查.

學科素養視角：數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六個方面，本題以邏輯推理為主線，以數學抽象、數學運算等為落腳點，在利用導數研究函數最值的過程中，考查學生熟練掌握導數運算和不等式放縮的方法，涉及換元、分類、化歸、構造、分析、綜合等思想.總的來說，本題有較大的區分度，立意深遠，有較好的選拔功能.

2" 解法探究

2.1" 第（1）小問的解法分析

本小題立足于教材核心知識，主要考查學生對軌跡方程的求解，涉及拋物線的定義、軌跡方程的求法、方程思想等基本知識.主要有以下三種解法.

方法1" 直接法，方程思想.

設P（x，y），根據題意列出方程

y=x2+y－122，

即x2+y－122=y2，

化簡即可得W的軌跡方程為y=x2+14.

方法2" 定義法，化歸思想.

由題意知，點P的軌跡是以0，12為焦點，以x軸為準線的拋物線，

設拋物線方程為x2=2py+t，

則焦準距p=12，頂點坐標為0，14，

所以t=－14，

所以W的軌跡方程y=x2+14.

方法3" 平移法，轉化思想.

由題意知，點P的軌跡是以0，12為焦點，以x軸為準線的拋物線，因為以0，14為焦點，以y=－14為準線的拋物線方程為y=x2，所求拋物線是由其向上平移14個單位得到，所以W的軌跡方程為y=x2+14.

2.2" 第（2）小問的解法分析

此問主要考查學生對函數最值問題的求解，涉及坐標法求弦長、不等式問題、絕對值函數、雙元變量消元等知識點，要求學生具備數形結合、化歸等數學思想，以及邏輯推理、數學運算等核心素養，有較好的區分度，充分體現了從知識立意到素養立意的進階過程.

方法1" 設線法，用斜率參數表示弦長.

不妨設點A，B，D在W上，且BA⊥DA，

依題意可設Aa，a2+14，

易知直線BA，DA的斜率均存在且不為0，

則設直線BA，DA的斜率分別為k和－1k，

直線AB的方程為y=k（x－a）+a2+14，

則聯立y=x2+14y=k（x－a）+a2+14，

得x2－kx+ka－a2=0，

Δ=k2－4ka－a2=k－2a2gt;0，

則k≠2a，

則|AB|=1+k2|k－2a|，

同理|AD|=1+1k21k+2a，

設矩形ABCD的周長為L，

所以L2=AB+AD=1+k2|k－2a|+1+1k21k+2a，

其中k≠2a且k≠－12a.

這里得到了無關聯的雙變量、雙絕對值函數，為了方便計算，轉化成一元函數最值問題，可以采用以下幾種方式處理該雙變量、雙絕對值函數.

思路1：由對稱性，不妨設k≤1，先進行放縮，再對絕對值三角不等式進行消元.

得L2≥1+k2k－2a+1k+2a≥1+k2k+1k=1+k23k2" （*），

令k2=m，則m∈0，1，

設f（m）=（m+1）3m=m2+3m+1m+3，

求導，通過研究單調性得

f（m）min=f12=274，

所以|AB|+|AD|≥332，

此處（*）取等條件為k=1，與最終取等時k=22不一致，故Lgt;33.

思路2：利用雙絕對值函數的性質.

記L=h（a），不妨設klt;0，

則h（a）在－∞，k2單調遞減，

在k2，－12kh單調遞增，

在－12k，+∞h單調遞增，

故h（a）gt;minhk2，h－12k，

hk2=2（1+k2）3k4，

h－12k=2（1+k2）3k2，

這兩個式子關于k的值域相同，故只需證明（1+k2）3k2≥332即可，證明過程如上，

或者采用二元基本不等式法，

（1+k2）3k2=k4+3k2+1k2+3≥

k2－122+4+114≥332，

也可以用三元均值不等式法

（1+k2）3k2=12+12+k23k2≥

33k243k2=332.

思路3：主元法去絕對值，分類討論，

由圖形對稱性不妨設klt;0，a≤0，

則L2=1+k2k－2a－

1+1k21k+2a，

可以先看成關于參數a的函數，

當kgt;2a時，L（a）2=1+k2（k－2a）－1+1k21k+2a，關于a單調遞減，

故L（a）2≥Lk22=（1+k2）3k4，

當klt;2a≤0，L（a）2=1+k2（2a－k）－1+1k21k+2a，

L′（a）2=21+k2－1+1k2，

從而只需要Lk22≥332且L（0）2≥332，即可.

方法2" 設點法，用含參數的點表示弦長.

設矩形的三個頂點Aa，a2+14，

Bb，b2+14，Cc，c2+14在W上，

且alt;blt;c，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

令kAB=b2+14－a2+14b－a=a+b=mlt;0，

同理kBC=b+c=ngt;0，

則mn=－1，

由對稱性不妨設|m|≥|n|，

則L2=|AB|+|BC|=（b－a）1+m2+（c－b）1+n2≥（c－a）1+n2=n+1n1+n2.

令f（x）=（x+1x）2（1+x2），xgt;0.

通過研究f（x）的單調性得出結論.

方法3" 設點法，用含參數的點表示弦長.

圖1""""""""" 圖2

為了計算方便，我們將拋物線向下移動14個單位得拋物線W′：y=x2，

矩形ABCD變換為矩形A′B′C′D′，則問題等價于矩形A′B′C′D′的周長大于33.

設B′t0，t20，A′t1，t21，C′t2，t22，

根據對稱性不妨設t0≥0.

從而 kA′B′=t1+t0，kB′C′=t2+t0，

由于 A′B′⊥B′C′，

則 t1+t0t2+t0=－1.

設|t1+t0|lt;1，則|t2+t0|gt;1，

則 A′B′+B′C′=1+t1+t02t1－t0+

1+t2+t02t2－t0.

≥1+（t1+t0）2［（t0－t1）+（t2-t0）］

=1+（t1+t0）2－1t1+t0－t0－t1.

令x=t1+t0，

得L2=21+x21x+x，由上文知結論成立.

方法4" 直線的參數方程.

為了計算方便，我們將拋物線向下移動14個單位得拋物線W′：y=x2，

設Bb，b2），直線BA的傾斜角為θ0lt;θlt;π2，直線BC的傾斜角為θ+π2，

直線BA的參數方程x=b+tcosθ，y=b2+tsinθ，

代入W′：y=x2，

得sinθ－2bcosθ=tcos2θ.

AB=t=sinθ－2bcosθcos2θ=tanθ－2bcosθ，

同理CB=1tanθ+2bsinθ，

為了統一系數，我們將做以下處理.

ABcosθ+CBsinθ=tanθ+1tanθ

=1sinθcosθ（**），

當sinθlt;cosθ，（**）≤（|AB|+|CB|）·cosθ，

即|AB|+|CB|≥1sinθcos2θ，

當sinθ≥cosθ，（**）≤（|AB|+|CB|）·sinθ，

即|AB|+|CB|≥1sin2θcosθ.

考查函數y=t（1－t2）最值即可得出結論.

3" 常見錯誤歸因

通過學生的解題分析和課堂表現，并與部分同事進行深入交流探討，發現學生們的錯誤主要涉及以下幾點.

3.1" 基礎知識與概念把握不清

在本題解答中，有很多學生對拋物線的焦準距把握不清，導致第（1）問就出現計算錯誤.第（2）問由于題干精煉，假設的參數過多，已知條件重復利用，不能合理篩選未知變量以便準確地表達出矩形周長.

3.2" 分類、化歸思想掌握不佳

第（2）問中，根據已知條件我們自然地得到了目標函數L=21+k2k－2a+1+1k21k+2a，

為了方便推導，對參數k與a的范圍進行討論，若不討論k與2a，－12a的大小關系，直接得出結果，則解答過程不嚴謹甚至錯誤.

3.3" 數學運算能力比較薄弱

本題計算法則比較常規，計算量因選用解題思路而異，如用雙絕對值函數性質處理目標函數L=h（a）時，疲于討論函數在三個區間的單調性，得到h（a）gt;minhk2，h－12k結論后，對（1+k2）3k2≥332的推導掣肘，不能進行超過兩個的函數單調性分析.

在描述目標函數的過程中，有的學生能夠將其轉化為雙元變量與雙絕對值形式，但由于知識儲備不足，個人綜合分析能力薄弱，對函數表達式的聯系能力不高，應變創造能力匱乏.再就是，構造的函數比較復雜，不能成功化簡為一元函數，增加計算難度，導致運算錯誤.

4" 教學反思與目標指引

正本清源，2023年的新高考壓軸題具有以下幾個方面的指引.

4.1" 注重回歸教材

不少學生對定義把握不準，對基本公式定理掌握不牢.這就需要教師在教學中講清基本概念的內涵，講明基本概念的發生、發展過程，講好與基本概念強相關的知識網絡.比如通過創設情境、多媒體展示等多種方式帶領學生揭示數學過程，引導學生自主探究問題.

4.2" 提升運算能力

提高數學運算效率是學好數學的基礎.首先要熟悉運算法則，掌握公式定理，重視對基礎概念的記憶；審題時，觀察題目特點，弄清題意，確定運算順序，選擇恰當的解題方式，這就需要教師在平時的課堂中加強運算步驟分析的講解；在題目求解運算的過程中或者結束時，對運算數據進行檢驗，以便及時糾正運算錯誤，提醒學生運用各種驗證技巧；題目千變萬化，但是題型分類有限，教師要注重歸納不同題型的解題套路，既要“一題多解”也要“多題一解”；最后做好總結，給予學生及時的反饋練習，加強筆記整理.

4.3" 抓住問題本質

數學思想是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括，分別包含函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、特殊與一般、有限與無限、或然與必然等思想，很多學生在這方面的意識和能力比較淺薄.教師可以在課堂教學環節中，加強這些數學思想的滲透，比如對人教B版選擇性必修三《6.2.1導數與函數的單調性》例5出現的分類思想進行強調聯系.

5" 結語

高考壓軸題是重點大學的分水嶺，但是縱觀歷年題目，我們發現壓軸題都是在課程標準要求下，對基礎知識進行情境和式子的適當變形.在今后的數學教學中，教師要善于引導學生把一個題目中相近的知識不斷進行聯系和整合，加強學生數學運算能力的訓練，這樣才能更好地培養學生分析問題、解決問題的能力，更加從容地應對高考戰場.