探究高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的解題方法

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，總結(jié)出導(dǎo)數(shù)壓軸題型并提出解題策略，可以提升學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的效率.文章中從六個(gè)典型的導(dǎo)數(shù)例題入手，對(duì)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析，提煉出常用的思想方法，對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)提供一定的幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題方法

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）04-0013-03

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是高考數(shù)學(xué)的命題重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力要求比較高［1］.熟練掌握導(dǎo)數(shù)解題方法，可以完善學(xué)生的知識(shí)框架、提高應(yīng)用能力、培養(yǎng)自主探究習(xí)慣［2］.本文以不同類型的數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題為例，探究、分析導(dǎo)數(shù)的解題方法，更好地發(fā)揮導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的作用.

1 求切線方程

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是“切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于切線斜率”.這一特征是求解函數(shù)切線方程的基礎(chǔ).求切線，需要兩個(gè)要素.其一，切點(diǎn)坐標(biāo)；其二，切線斜率.

例1 已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程.

分析 這道題的知識(shí)點(diǎn)是求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）.

先求出導(dǎo)函數(shù)，由k=f ′（0）得到切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)即可得到切線方程.

由題意f ′（x）=cosx+xsinx-1，所以f ′（0）=0，即切線的斜率k=0，且f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程為y=0.

在解決切線方程的過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：

（1）已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程：

已知切點(diǎn)（x0，y0），求出切點(diǎn)處的切線斜率f ′（x0）；

（2）過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程：

過(guò)已知曲線上一點(diǎn)求切線方程，應(yīng)注意到曲線上這一點(diǎn)，分為是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況.

（3）過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程：

這種情況和“過(guò)曲線上一點(diǎn)求切線方程”相似，都是先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再進(jìn)行切線方程的求解.

2 研究函數(shù)的單調(diào)性

在利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，一般流程如下：首先求出函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，接著判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，最后通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出單調(diào)區(qū)間.

例2 已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax2，f ′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論f ′（x）的單調(diào)性.

分析 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，通常歸結(jié)為求含參不等式的解集問(wèn)題.含參一元二次不等式問(wèn)題著重考查分類討論思想，是高考命題中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，而對(duì)含有參數(shù)的不等式問(wèn)題，需要注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論［3］，解題時(shí)需要關(guān)注定義域及分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

4 研究函數(shù)的圖象

一般而言，作函數(shù)圖象有以下流程：先求出函數(shù)的定義域，接著判斷函數(shù)的周期性和奇偶性，求出函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與y軸的交點(diǎn)等特殊點(diǎn)，之后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，最后根據(jù)上述結(jié)論精細(xì)繪制函數(shù)的大致圖象.

例4 函數(shù)f（x）=xsinx+cosx的導(dǎo)數(shù)f ′（x）的部分圖象大致為（）.

導(dǎo)數(shù)作為解決函數(shù)的一個(gè)重要工具，其主要目的就是判斷并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)增減的大致情況，再依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)踐問(wèn)題，才能更好地理解以后的放縮問(wèn)題.

5 求參數(shù)取值范圍

解決參數(shù)取值范圍問(wèn)題可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極（最）值，大致繪制函數(shù)圖象的趨勢(shì)，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題（或結(jié)合圖象特征分析零點(diǎn)的位置）轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組，通過(guò)解不等式組求出參數(shù)的取值范圍.

例5 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f ′（x）=a（x+1）·（x-a），若f（x）在x=-1處取到極大值，則a的取值范圍是多少？

分析 這道題分a=0，a>0和a<0三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與極值的定義即可判斷.由題意當(dāng)a=0時(shí)不成立，當(dāng)a≠0時(shí)f ′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x=-1與x=a.

①當(dāng)a>0時(shí)，f ′（x）開口向上，且-1

②當(dāng)a<0時(shí)，f ′（x）開口向下.當(dāng)a=-1時(shí)，f ′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，f（x）無(wú)極大值；當(dāng)a<-1時(shí)，在區(qū)間x∈（a，-1）上f ′（x）>0，x∈（-1，+∞）上f ′（x）<0，故f（x）在x=-1處取到極大值；

當(dāng)-10，故f（x）在x=-1處取到極小值.

綜上有a>0或a<-1.

6 解不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式通常有如下流程：首先，構(gòu)造新函數(shù)F（x），接著通過(guò)導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，最后通過(guò)判斷定義域內(nèi)F（x）與0的大小關(guān)系來(lái)證明不等式.這類題目重點(diǎn)在于靈活準(zhǔn)確地構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)解不等式.

例6 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f ′（x），且（x+1）f（x）+xf ′（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，則下列不等式一定成立的是（）.

A.f（1）>2ef（2） B.3f（2）>2ef（3）

C.2f（1）

分析 這道題的考點(diǎn)為用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)g（x）=xexf（x），則g′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf ′（x）]≥0，所以函數(shù)g（x）單調(diào)遞增.g（2）=2e2f（2）>g（1）=ef（1），即f（1）<2ef（2），故A，C錯(cuò)誤；

g（2）=2e2f（2）

故選D.

從上述解題步驟可看出，構(gòu)造新函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式最重要的環(huán)節(jié)，之后在相應(yīng)區(qū)間上判斷單調(diào)性，最后形成結(jié)論.事實(shí)上，解題過(guò)程中常會(huì)綜合用到多種方法，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，樹立運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題的意識(shí)，能夠把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

7 結(jié)束語(yǔ)

綜上可知，導(dǎo)數(shù)涵蓋了多元化的邏輯思維，可以豐富學(xué)生的解題思路，解答題目更便捷，促進(jìn)學(xué)習(xí)效率提升.若要使導(dǎo)數(shù)的價(jià)值和作用發(fā)揮至最大，學(xué)生必須深入理解導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和變換形式，在不斷練習(xí)中鞏固技能，切實(shí)做到活學(xué)活用，提升解題效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 紀(jì)定春，周思波，蔣紅珠.對(duì)2017年文科卷Ⅱ?qū)?shù)壓軸題的思路探析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2021（06）：14-17.

［2］ 教育部考試中心.2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明（理科）[M].北京：高等教育出版社，2018.

［3］ 葉土生，吳小五.利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)取值范圍方法賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（11）：27-29.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡(jiǎn)介：林超良（1984.4-），男，福建省泉州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.