巧借導(dǎo)函數(shù)解決高中數(shù)學(xué)不等式壓軸難題

摘 要：文章結(jié)合自身教學(xué)和解題經(jīng)驗(yàn)，以實(shí)際例題為例，談?wù)剳?yīng)如何結(jié)合函數(shù)思想解決高中數(shù)學(xué)不等式壓軸難題.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)函數(shù)；不等式；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）04-0025-03

不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是重難點(diǎn).高中數(shù)學(xué)不等式的壓軸難題主要出現(xiàn)在解答題最后一題的第二小問(wèn)中，與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系較為緊密，考查形式多為不等式的證明或恒成立問(wèn)題，難度較大.在求解時(shí)，我們可以根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)與方程思想，巧借導(dǎo)函數(shù)解決高中數(shù)學(xué)不等式壓軸難題.

1利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式證明問(wèn)題

在利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式證明問(wèn)題時(shí)，需要結(jié)合構(gòu)造法.根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值加以證明[1].高中階段，常見(jiàn)的構(gòu)造方法包括：

（1）直接構(gòu)造法.將需要證明的不等式f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）-g（x）>0或f（x）-g（x）<0，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）并證明函數(shù)F（x）與0的關(guān)系進(jìn)而證明原不等式；

（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造函數(shù).根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，或利用常見(jiàn)的放縮結(jié)論，如

題后反思 本題主要考查函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題.在求解時(shí)需要利用構(gòu)造法將不等式問(wèn)題與函數(shù)結(jié)合起來(lái)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)與零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而證明.構(gòu)造函數(shù)展開(kāi)討論是解決本題的關(guān)鍵和突破點(diǎn)，思路要重點(diǎn)把握.

2 利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題

在利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，有兩種常見(jiàn)思路：一種是先利用綜合法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)之間的大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn).分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性得到最值，進(jìn)而證明不等式[3].另一種，則是直接通過(guò)導(dǎo)函數(shù)，確定其與零點(diǎn)之間的關(guān)系，并以此劃分分類標(biāo)準(zhǔn)證明不等式恒成立.通常，若a>f（x）對(duì)x∈D恒成立，則只需要a>［f（x）］max；若af（x0）成立，則只需要a>［f（x）］min；若存在x0∈D，使a

題后反思 本題主要考查的是不等式的恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.第一小問(wèn)比較簡(jiǎn)單，直接對(duì)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可順利求解.第二小問(wèn)中涉及了不等式的恒成立問(wèn)題，求解時(shí)，首先需要將不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并判斷出在已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性情況，找出極值，綜合求解.本題主要考查同學(xué)們的推理能力和計(jì)算能力，屬于高中數(shù)學(xué)壓軸題中的中等難度題，思路和方法要重點(diǎn)掌握.

3 結(jié)束語(yǔ)

雖然不等式問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)壓軸題中較為常見(jiàn)，但在求解時(shí)也是有具體的方法和思路可循的.在解決高中數(shù)學(xué)的不等式壓軸難題時(shí)，我們需要利用函數(shù)與方程思想，將原不等式進(jìn)行適當(dāng)變形或直接利用構(gòu)造法將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.再利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關(guān)系綜合求解.當(dāng)然，高中階段不等式壓軸問(wèn)題中還常涉及含參變量問(wèn)題、求取值范圍問(wèn)題，同學(xué)們都需要在日常的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練過(guò)程中，及時(shí)對(duì)不等式壓軸問(wèn)題進(jìn)行歸納和總結(jié)，保證自己在考場(chǎng)上能做到游刃有余.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉海洋，張玲敏.導(dǎo)數(shù)綜合題之謀略[J].中學(xué)生數(shù)理化， 2019（03）：6-8.

［2］ 鐘柏舟.淺析“求導(dǎo)法”在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究， 2017（01）：61.

［3］ 石建春.如何用導(dǎo)數(shù)法解題[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)， 2021（06）：51.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡(jiǎn)介：李強(qiáng)（1981.9-），男，江蘇省揚(yáng)州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.