關注尺規作圖 發展核心素養

陳文勝 楊娜

［摘 要］《義務教育數學課程標準（2022年版）》（文章簡稱《課程標準》）在圖形與幾何領域增加了尺規作圖的內容。然而，部分教師對尺規作圖的教學價值認識不夠，只重視讓學生掌握具體的畫法，忽視了其育人價值。教師關注《課程標準》中對尺規作圖的教學要求，研究其蘊含的育人價值，對實現素養導向的課程目標具有重要意義。

［關鍵詞］小學數學；尺規作圖；核心素養

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）11-0048-04

尺規作圖是指運用無刻度直尺和圓規，在有限的使用次數下解決平面幾何問題的操作方法。尺規作圖是古希臘數學研究的重要課題之一，數學家歐幾里得在《幾何原本》中進行了系統性的研究。從《幾何原本》中的幾何命題到古希臘著名的“三等分任意角”“立方倍積”“化圓為方”三大作圖難題，尺規作圖有著悠久的歷史，能提高學生的幾何直觀、數學量感、推理意識、創新意識與應用意識，并深刻影響著他們核心素養的發展。

一、概念可視化，凸顯幾何直觀

《課程標準》從第二學段開始，便在圖形與幾何領域呈現與尺規作圖有關的學習內容，具體為“會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段”和“用直尺和圓規將三角形的三條邊畫到一條直線上”，學業要求分別是“感知線段長度與兩點間距離的關系”與“感知線段長度的可加性，理解三角形的周長”。到了第三學段，與尺規作圖相關的內容是“基于給定線段用直尺和圓規畫三角形”“探索并說明三角形任意兩邊之和大于第三邊的道理”。從學業要求中的“感知”“直觀感受”“感悟”等行為動詞，可以看出尺規作圖的教學必須凸顯幾何直觀。尺規作圖中直尺的主要功能是畫線段、直線和射線，圓規的主要功能是畫圓或圓弧，以及截取等長的線段。通過尺規作圖，可以將一些抽象的、枯燥的數學概念及性質以具象的形式展現出來，如周長、平行、垂直、角度、比例等，幫助學生更好地理解與掌握知識。

例如，有教師通過尺規作圖教學“三角形的周長”時，在學生初步感知三角形的周長，即三角形三條邊的長度和之后，教師便逐步引導學生運用尺規作圖的方法解決“三角形的周長”問題。具體操作步驟為：用圓規分別取三角形的三邊長度，并將其長度順次刻畫在一條直線上，再用直尺測量對應線段的長度，即可得到三角形的周長。在整個測量過程中，學生能夠清晰、準確、直觀地感受到三角形三邊與通過尺規作圖得到的線段之間的關系。

通過上述教學，既能讓學生了解尺規作圖測量的精確性，將三角形的周長概念可視化，又能讓學生厘清周長的概念，將周長的概念內化于心、外化于行，為后續深入探究其他圖形的周長奠定基礎。通過繪制幾何圖形，可以增強學生對幾何關系和性質的直觀感受，幫助他們逐漸形成幾何直覺。通過這樣的教學，學生可以更深入地思考和研究不同圖形之間的關系，感知幾何圖形的特點和變化，從而在抽象的數學內容與具體圖式之間建立密切聯系。

二、問題具象化，發展數學量感

問題具象化是將抽象的問題或概念轉化為具體、可操作的形式或表達方式的過程。它可以將復雜或抽象的問題分解成更簡單、更明確的子問題，或將抽象的概念轉化為具體的圖像、實例或實際情況，將問題對象分解，使問題更易于解決。通過問題具象化，教師可以更加清楚地定義問題的范圍和要求，并找到解決方案的途徑。數學量感指的是將個體置身于具體學習探究活動中，注重身體的虛實感知，從而結合已有經驗表達主體對于客體的感覺的過程。可見，量感的獲得和發展與學生個體的體驗密切相關。培養學生的量感就需要學生個體積極參與到這個持續、螺旋上升的學習探究之中，從而達到逐步解決問題的目的。

例如，有教師教學“比長短——初識尺規”時，將教學分為三個環節——眾說尺規、比較長短、應用尺規。課堂一開始，教師便出示直尺與圓規的圖示，引導學生積極思考兩個工具的作用，使學生在和同伴的交流中激發對直尺與圓規的認識興趣。緊接著，教師出示不同位置的兩條線段的長度，并讓學生進行觀察、猜想、驗證，引導學生借助直尺與圓規將問題具象化。學生通過測量比較了兩條線段的長短后，便總結出：①線段長短的比較可以通過直尺與圓規完成；②運用圓規定點、半徑定長比較線段長度的結果更為精確。最后，教師通過設置“運用尺規比長短”的練習挑戰，幫助學生鞏固課堂收獲，讓學生在猜想與驗證線段長短關系的過程中，積累尺規作圖的基本活動經驗和逐步發展量感。

量感的培養有利于學生養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，同時也是他們形成抽象能力和應用意識的經驗基礎，促進他們數學建模思想的形成與建模能力的提升。在上述教學過程中，對于學生量感的培養主要表現為：①明白度量的客體是長度而非面積；②能夠選用合適的度量單位進行長短比較；③能夠正確地選擇測量工具和方法，從而較為精確地比較兩條線段的長短。在整個教學過程中，教師通過讓學生觀察、猜測、驗證、推理等活動，借助直尺與圓規將抽象的問題具體化，使問題的解決具有可操作性。活動期間，學生通過動手實踐對問題進行了深入探討，激發了主觀能動性，發展了量感。

三、思維外顯化，發展推理意識

思維外顯化是指將內在的思維過程和概念借助尺規作圖清晰地呈現出來，幫助學生思考、理解，并進一步展開推理。在進行尺規作圖的過程中，根據已知條件進行分析，選擇對應的構圖方法與步驟表達數學關系與性質，這個過程可令學生將抽象的思維過程轉換為具體的操作，通過觀察和實踐來驗證他們的推理。思維過程的外顯化，突出了思維的可視化，使學生可以更清晰地觀察及分析問題，輔助他們解決實際問題，并逐步發展推理意識。

例如，有教師在教學“任意三條線段能圍成一個三角形嗎”時，先讓學生用手中1 cm～9 cm長的小棒圍一圍三角形。學生動手操作并展示成果后，教師給出4組數據（3 cm、4 cm、8 cm）（3 cm、5 cm、8 cm）（4 cm、5 cm、8 cm）（3 cm、4 cm、5 cm），讓學生借助直尺以每組最大的數據畫線段，并以線段兩端點為圓心，運用圓規以剩余2個數據的長度為半徑畫2個圓弧。學生觀察圖形的變化（如圖1-1、圖1-2、圖1-3、圖1-4），并借助外顯的思維過程總結出：三角形的兩邊之和大于第三邊。

在教學這一內容時，教師讓學生借助尺規作圖感知三角形的三邊關系，從而保留作圖痕跡，連續呈現整個構圖過程的變化，突出思維過程的外顯化。借助直觀圖示進行推理活動，通過思維過程外顯化，學生可以觀察和比較不同的構圖方法，形成初步的推理意識；通過對推理過程的觀察和分析，學生可以逐步形成自己的推理習慣和策略；通過手腦并用的推理探究活動，將“做中學、做中用、做中求進步”的理念落到實處，有助于學生核心素養的發展，為終身學習打下堅實的基礎。

四、解法多樣化，開拓創新意識

問題沒有唯一解，卻有最優解，正所謂思路千變萬化，解題百般方法。尺規作圖亦是如此，同一個圖形可以有多種不同的呈現方式。學生可以通過選擇不同的作圖步驟和順序來完成目標圖形，而不同的方法和順序會產生不同的圖形效果。在尺規作圖時，通過多樣化的解題方式可以使學生感受不同的思維方式和解題策略，有利于他們開拓創造性思維與意識，提升問題解決的能力。

例如，有教師在教學“測量三角形的周長”時，給定任意三角形、無刻度的直尺與圓規，讓學生借助給定的用具以及身邊的學具測量三角形的周長。學生自主動手操作后分享成果。

①先借助無刻度的直尺畫1條直線，再通過圓規確定三角形每兩個點之間的距離，最后在直線上做標記（如圖2-1）。

②利用圓規分別取三角形的三邊為半徑畫半圓（如圖2-2）。

③先用鉛筆在直尺上做一個標記（視為0刻度），用直尺測量三角形每邊的長度后，在直尺上用鉛筆進行標記（視為終點刻度），再通過直尺上的標記將線段移到直線上，從而測得三角形的周長（如圖2-3）。

④借助結繩記事的方法測量三角形的周長。先在繩子一端打結，然后將繩子打結的位置與點A重合，再將繩子繞三角形一周，當繩子與三角形的頂點重合時就打一個結。繩子的第一個結到第四個結之間的長度即為三角形的周長（如圖2-4）。

從上述學生的測量方法來看，學生的思維并不局限于某一種固定模式，而是發散的，學生能盡可能地借助身邊可使用的物品，探究出不同的測量三角形周長的方法。操作過程不僅體現了學生對于解決問題的靈活變通，也表明學生突破了傳統思維的束縛，打開了問題解決的新視角——學會從多角度出發、創造性地解決問題。上述尺規作圖教學過程中，通過多樣化的解題方式使學生嘗試不同的構圖思路、探索多途徑的解決辦法，開拓了學生的創造性思維、發散性思維，培養了學生靈活運用知識的能力，使學生在未來的學習道路中能夠主動采用不同的解題思路、嘗試創新，以求更加高效地解決更為復雜的數學問題。

五、圖形趣味化，落實應用意識

要激發學生的學習動力，培養他們自主探究的意識和能力，興趣就是他們保持學習持久的內在驅動力。學生對于感興趣的內容會主動花費時間和精力去深入學習。在數學活動中，通過尺規作圖，可以將抽象的數學知識轉化為有趣的具體圖示，使學生能夠輕松理解。而在解決實際問題的過程中，通過尺規作圖，學生能夠準確地建構簡潔有趣的數學模型，靈活地運用數學知識，并逐漸形成應用意識，發展應用能力。

在大多數人的眼中，圓規和直尺只能畫簡單的圓和直線，實際上并非如此。生活中許許多多的建筑設計、平面展示與廣告宣傳中都巧妙地運用了尺規作圖。在教學中，教師可以引導學生利用尺規完成一些圖案，如風車、瓷磚花紋、八卦圖（如圖3）。為了讓學生進一步感受尺規作圖的應用價值，可將數學與美術相融合，即教師給學生提供相應的繪畫“支架”，引導學生運用尺規作圖感悟數學圖形之美；在綜合實踐課中，結合實際情況，針對愛護動物的主題，引導學生運用尺規作圖繪制動物保護標識；在生活中，教師、家長積極引導學生將尺規作圖的相關知識加以實踐，如為餐廳的桌布繪制圖案、設計花園的外墻瓷磚花紋等。

尺規作圖能夠在學生繪制具體的幾何圖形時提供一種準確、系統的方法，使他們能夠將抽象的數學概念轉化為有趣且直觀的圖示，以解決實際問題。同時，趣味化的圖示有利于激發學生的學習興趣，吸引他們主動探索相關的數學知識。上述列舉的操作活動，不僅可以激發學生的學習興趣，充分調動學生的自主性，還可以讓學生在具體繪制圖形過程中感悟尺規作圖與實際生活之間的聯系，使學生持續將學到的數學技能加以實踐與鞏固，逐步養成理論結合實踐的習慣，并對數學始終保持興趣與熱愛，從而促進應用意識的不斷發展和應用能力的不斷提升。

綜上所述，小學階段學生的思維范式基本上是從形象思維逐步過渡到抽象思維，是持續發展、螺旋上升的過程。而尺規作圖是這一過程中的“助力器”，不僅能夠將抽象問題具象化，幫助學生進行初步的思維判斷，還可以將思維結果圖示化，輔助學生更加直觀、輕松地解決實際問題。

在使用尺規作圖過程中，學生可能會出現把玩圓規、不跟隨課堂節奏走等影響課堂質量的情況。另外，也存在部分教師忽視尺規作圖真正的育人價值的現象。這些都會使課堂出現“為了教而教”的狀況，影響尺規作圖育人價值的發揮。在實際教學中，數學教師要針對學生核心素養的培養與發展給學生提供多樣性、融合性、創新性的教學資源，以興趣引導為主，提供示范與指導，鼓勵學生主動實踐應用尺規作圖的相關知識。課后，數學教師還要及時反饋學生的學習表現與反思自身的不足，及時做出策略調整，輔助學生牢固尺規作圖的基礎，并為后續深入學習提供經驗。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 駱文娟.從《原本》與“課標”談尺規作圖教學［J］.數學通報，2022，61（12）：17-21.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］ 林丹，翟羽佳，古德英，等.大單元結構化背景下量感的培養策略：以北師大版三年級上冊“什么是周長”為例［J］.教育科學論壇，2023（5）：28-31.

［4］ 李雪峰，朱春雷.融入尺規作圖 ?發展數學思維：“三角形三邊的關系”教學片斷與思考［J］.小學數學教育，2023（10）：43-45.

【本文系福建省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“‘雙減背景下教師教學決策能力培養研究”研究成果（課題編號：FJJKBK22-020）。】

（責編 覃小慧）