數(shù)形貫通，相得益彰

朱妍橙

【摘 要】幾何直觀作為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，十分重要。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)形成幾何直觀意識(shí)和能力，并靈活運(yùn)用幾何直觀分析和解決問(wèn)題，以此提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而這有賴于教師對(duì)學(xué)生幾何直觀能力有效培養(yǎng)。文章基于小學(xué)數(shù)學(xué)特征與幾何直觀教學(xué)特點(diǎn)，主要分析幾何直觀在小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 幾何直觀 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注意培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要。而數(shù)形結(jié)合幾何直觀，又是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要舉措和必備目標(biāo)。

一、關(guān)注幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)是數(shù)學(xué)新課標(biāo)的既定要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出11個(gè)核心素養(yǎng)：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、空間觀念、幾何直觀、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。這些核心素養(yǎng)要點(diǎn)代表著數(shù)學(xué)課程的特有價(jià)值，成為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的著力點(diǎn)。教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)日常的教學(xué)活動(dòng)，持續(xù)不斷地予以落實(shí)。而幾何直觀作為數(shù)學(xué)新課標(biāo)所劃定的11個(gè)核心素養(yǎng)之一，也凸顯其重要性。

筆者在小學(xué)數(shù)學(xué)低年級(jí)課堂上曾問(wèn)過(guò)學(xué)生，你們喜歡什么樣的數(shù)學(xué)題？大多數(shù)學(xué)生都回答：“最喜歡看圖寫(xiě)數(shù)，因?yàn)橐豢淳蜁?huì)！”“一看就會(huì)”讓筆者陷入了思考，低年級(jí)學(xué)生的思維以具體、直觀、形象占主導(dǎo)地位。如果能在教學(xué)中融入幾何圖形，建立形與數(shù)的聯(lián)系，幫助學(xué)生減少或降低數(shù)學(xué)認(rèn)知在知識(shí)和能力方面的難度，這便能合理提升小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展有著積極意義。對(duì)此，筆者做了較深入的研究和思考，并將研習(xí)心得付諸實(shí)踐。

二、核心素養(yǎng)視域下低年級(jí)幾何直觀的教學(xué)實(shí)踐策略

（一）利用幾何圖形直觀感知與理解數(shù)與數(shù)量關(guān)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用幾何圖形直觀，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量關(guān)系的感知與理解。教學(xué)中學(xué)生進(jìn)行分析、綜合等一系列活動(dòng)，來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是在“形”的基礎(chǔ)上，借助幾何圖形載體對(duì)數(shù)學(xué)思維的感知和理解過(guò)程。

在教學(xué)“8的乘法口訣”一課時(shí)，不同畫(huà)圖之間的轉(zhuǎn)化，能夠更好地促進(jìn)學(xué)生理解，使其思維可視化。如果只注重單一的教學(xué)模式，學(xué)生的思維只會(huì)停留在知識(shí)具體化的層面，思維缺乏進(jìn)階提升和發(fā)展。

一般來(lái)說(shuō)，小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)需要經(jīng)歷“從具體直觀到一般抽象、再回歸思維具體”的認(rèn)知思維路徑，以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與效度與學(xué)習(xí)深度。其間認(rèn)知操作，經(jīng)歷“實(shí)物操作—圖像操作—符號(hào)操作”的三次轉(zhuǎn)化與提升，符合學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律。

小學(xué)生處于形象思維到抽象思維的關(guān)鍵時(shí)期，學(xué)習(xí)較為抽象的內(nèi)容，特別是理解較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要借助具體事物或圖形的支持。“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，幾何直觀恰恰能將“形”與數(shù)“貫通”，利用直觀的“形”呈現(xiàn)抽象的“數(shù)”。這既符合小學(xué)生的年齡特征，也符合他們的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

（二）關(guān)注形的認(rèn)識(shí)和數(shù)與形的聯(lián)系，孕育以形表數(shù)

1.以“三角形數(shù)”（如圖1）展示數(shù)與形的直觀聯(lián)系

數(shù)的概念源自集合屬性的提煉，幾何圖形是大自然中各種規(guī)則形狀的提取。教師要引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)形的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)數(shù)與形的聯(lián)系，孕育以形表數(shù)的意識(shí)。

2.畫(huà)圖表征小數(shù)、分?jǐn)?shù)，實(shí)行以“形”表數(shù)

在教學(xué)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，從課堂里呈現(xiàn)的學(xué)生作品（如圖4）可以看出，他們都是把一個(gè)圖形看成1元，把它平均分成10份，取出其中的1份，用分?jǐn)?shù)表表示為十分之一元，小數(shù)為0.1元。通過(guò)畫(huà)圖表示后，學(xué)生能充分理解0.1的含義，十分之一是分?jǐn)?shù)單位，而0.1是小數(shù)單位。學(xué)生在充分理解小數(shù)單位后，就能近一步了解其余一位小數(shù)都是建立在其圖形平均分示意理解上的。學(xué)生運(yùn)用數(shù)描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象，以了解日常生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，愿意參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，能夠從中懂得數(shù)學(xué)的作用，體會(huì)數(shù)學(xué)之美。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課中，教師可以為學(xué)生建立初步的分?jǐn)?shù)模型（如圖3）。當(dāng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)有一定的了解后，教師可以組織“涂紙片”活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)折一折、涂一涂加深對(duì)分?jǐn)?shù)的含義的理解，這可以為其后續(xù)深入學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)做好鋪墊。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾指出，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的探索，不應(yīng)該停留在簡(jiǎn)單的公式和定理之上，更應(yīng)懂得如何靈活運(yùn)用知識(shí)，只有深入探索才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的沉淀。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)當(dāng)注重理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合。

（三）加強(qiáng)數(shù)與形結(jié)合，用圖來(lái)解釋數(shù)學(xué)規(guī)律

1.借助圖形來(lái)探索數(shù)字規(guī)律

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要引發(fā)學(xué)生自己的思考，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖像結(jié)合在一起，進(jìn)而來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。圖形可以使抽象的問(wèn)題變得形象，運(yùn)用圖形可輕巧地找出一些文字中未經(jīng)解釋的有用信息，促進(jìn)問(wèn)題的解決。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視運(yùn)用圖形教學(xué)，以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，如運(yùn)用圖形顯示變化，可以讓學(xué)生探索相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，以此提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解、分析和解決能力；引導(dǎo)學(xué)生觀察相應(yīng)圖形，對(duì)比相應(yīng)的數(shù)據(jù)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

例如：

在理解“單數(shù)+單數(shù)=雙數(shù)”時(shí)，低年級(jí)的學(xué)生無(wú)法從數(shù)的本身去探索，平時(shí)要加強(qiáng)構(gòu)造直觀的訓(xùn)練。

例：如果一個(gè)很大的單數(shù)和一個(gè)很大的雙數(shù)相加，和一定是單數(shù)？為什么？

方法1：用各位相加說(shuō)明。

方法2：用幾何模型說(shuō)明（結(jié)論具有一般性），學(xué)生看圖可以一目了然。（如圖6）

2.借用幾何圖形表示運(yùn)算的意義與規(guī)則

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于四則運(yùn)算的意義和筆算中的規(guī)則，都是可以運(yùn)用幾何圖形的示意來(lái)表示算理的。當(dāng)運(yùn)用幾何圖示來(lái)呈現(xiàn)算理和步驟時(shí)，就能給學(xué)生以直觀的感受，使之從中看清這么計(jì)算的意思，理解為什么要這么算，其合理性在哪里。因此，可以說(shuō)圖示是把計(jì)算的意義、規(guī)則與算理外化，讓學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著。借用幾何圖形不但可以表示計(jì)算的意義和規(guī)則，而且可以用它來(lái)表示運(yùn)算的定律和性質(zhì)。如對(duì)于乘法的分配律運(yùn)用圖形外化，能夠讓學(xué)生理解用一個(gè)數(shù)去乘兩個(gè)數(shù)的和，學(xué)生能夠通過(guò)圖形的等積變形或者點(diǎn)子數(shù)的不變，理解算式變化規(guī)律和性質(zhì)。如“乘法分配律”包含了加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，學(xué)生一時(shí)無(wú)法接受復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算，在具體運(yùn)用時(shí)容易發(fā)生記憶錯(cuò)亂。教師可以借助幾何直觀的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在幾何直觀的背景下觀察總結(jié)算式之間的規(guī)律和關(guān)系，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解運(yùn)用。

3.借助圖形分析，厘清思路解決問(wèn)題

借助幾何圖形讓學(xué)生直觀地顯示數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生明確思考對(duì)象及其之間的關(guān)系。這樣學(xué)生就能厘清思路，學(xué)會(huì)分析，有利于其正確把握和解決相關(guān)問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，最為便捷的是線段圖。它是以線段的長(zhǎng)短來(lái)區(qū)分?jǐn)?shù)量的大小，及其關(guān)系的。學(xué)生在繪制圖形要注意長(zhǎng)短大小，以及相關(guān)數(shù)量間的位置關(guān)系和比較關(guān)系。

小明爸爸比小明大24歲，今年爸爸的年齡是小明的3倍，爸爸今年多少歲？

錯(cuò)解：不理解3倍與24之間的關(guān)系，直接列式24÷3=8

在教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖解題，他們會(huì)呈現(xiàn)出直條圖、線段圖等見(jiàn)圖。

通過(guò)畫(huà)圖（如圖5），不難分析出題中的24對(duì)應(yīng)的是多出的2份，而不是3份。厘清了這一點(diǎn)，題目也就迎刃而解了。教師在教學(xué)中滲透畫(huà)圖時(shí)，要熟悉教材，要統(tǒng)籌設(shè)計(jì)，關(guān)注安排學(xué)生用幾何直觀表示思想的學(xué)習(xí)過(guò)程，并且逐漸提高學(xué)生畫(huà)線段圖和示意圖的水平，激發(fā)其用圖促進(jìn)分析思考、進(jìn)而解決問(wèn)題的能力。

綜上所述，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。“數(shù)”“形”貫通是培育幾何直觀的重要節(jié)點(diǎn)和舉措。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生高度重視幾何直觀的意義和價(jià)值，要經(jīng)常在文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間靈活地切換，以發(fā)掘數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何直觀因素，能根據(jù)所教內(nèi)容貼切地創(chuàng)造出抽象知識(shí)的直觀表達(dá)，有意識(shí)地要求學(xué)生用圖清楚地表達(dá)交流自己的想法。面對(duì)學(xué)生的差錯(cuò)，要有意識(shí)地退到直觀層面引導(dǎo)學(xué)生剖析錯(cuò)誤原因。本次實(shí)踐研究，將“形”與“數(shù)”進(jìn)行勾連，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，有效地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，啟發(fā)其數(shù)學(xué)思維。學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考、分析、探索、解決中，不斷地提高了自身的學(xué)習(xí)能力。

注：本文系2021年度南京市重點(diǎn)教研課題“數(shù)學(xué)表達(dá)：指向思維進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂變革研究”（編號(hào)：2021NJJK14—Z12）的階段研究成果。