高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源開(kāi)發(fā)之高中生數(shù)學(xué)寫作

潘文超

摘要：本文旨在探討如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)寫作來(lái)促進(jìn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。文章介紹了數(shù)學(xué)寫作的概念和作用，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)寫作對(duì)于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力、增強(qiáng)批判性思維和創(chuàng)造性思維能力等方面的積極作用。數(shù)學(xué)寫作可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。通過(guò)將數(shù)學(xué)知識(shí)用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，學(xué)生可以更深入地理解和消化所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶和掌握程度。通過(guò)數(shù)學(xué)寫作，可以更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，提高數(shù)學(xué)表達(dá)和批判性思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和學(xué)習(xí)熱情。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)寫作 數(shù)學(xué)表達(dá)能力 批判性思維 創(chuàng)造性思維

隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，高中數(shù)學(xué)教學(xué)資源愈加豐富，覆蓋了微小的知識(shí)點(diǎn)和專題視頻講座等。然而，作為教育工作者，我們應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生能力，而非僅僅傳授知識(shí)。自新高考改革實(shí)施以來(lái)，高考數(shù)學(xué)命題理念已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟r(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”，要求學(xué)習(xí)者具備更高層次的能力，例如獨(dú)立思考、探索和研究。為了適應(yīng)新課程改革，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)提升，教師應(yīng)該鼓勵(lì)高中生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作，以此提高他們的能力水平，并為高中數(shù)學(xué)資源的開(kāi)發(fā)和建設(shè)注入新的活力。

高中生數(shù)學(xué)寫作的范疇涉及以下幾個(gè)方面。

首先，數(shù)學(xué)感悟類文章，包括讀后感、數(shù)學(xué)理解、課堂學(xué)習(xí)、解題感悟等，圍繞數(shù)學(xué)教材或課外讀物中某一節(jié)，也可以就印象較深、思考較多的某一課、某一題或某種方法等，談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)體會(huì)，用具體的事例與反思表達(dá)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心路歷程、思維過(guò)程。

其次，數(shù)學(xué)探究類論文涵蓋數(shù)學(xué)建模和純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題探究。鼓勵(lì)運(yùn)用現(xiàn)代科技手段和實(shí)地探究相結(jié)合的方法，利用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題。文章要提供現(xiàn)實(shí)背景材料、具體數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)模型、解答過(guò)程和實(shí)際結(jié)果。純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題探究可以基于教材中或感興趣的問(wèn)題和知識(shí)，并通過(guò)類比、推理、運(yùn)算等思維活動(dòng)得出“新成果”。

再次，數(shù)學(xué)科普、文藝類作品，包括中學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的數(shù)學(xué)科普文章、數(shù)學(xué)文藝作品、數(shù)學(xué)游戲設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)方法、解題思維等。

最后，數(shù)學(xué)問(wèn)題辯論類論文涵蓋對(duì)某個(gè)問(wèn)題獨(dú)特的理解、對(duì)某道試題的獨(dú)特解法、對(duì)某些知識(shí)的爭(zhēng)論和分析等方面。以下是一些學(xué)生研究的案例，進(jìn)行分析。

一、探尋高考題在書中的根源

人教A版選擇性必修第一冊(cè)136頁(yè)例5一道課本例題引發(fā)的探究思考。

原題再現(xiàn)：過(guò)拋物線焦點(diǎn)[F]的直線交拋物線于[A，B]兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)[A]和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)[D]，求證：直線[DB]平行于拋物線的對(duì)稱軸。（如圖1）

分析：課本中例題通過(guò)坐標(biāo)法證明了一個(gè)結(jié)論，具體做法是建立拋物線和直線DB的方程，然后通過(guò)研究直線和拋物線對(duì)稱軸之間的位置關(guān)系來(lái)得到這個(gè)結(jié)論。但是課本對(duì)于直線[AB]方程做了斜率存在、斜率不存在兩種情況的分析，計(jì)算量稍大，稍作改動(dòng)證明如下。

證明：以拋物線的對(duì)稱軸為[x]軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系[xOy].

設(shè)拋物線的方程為[y2=2pxp>0]? ①

設(shè)直線[AB]方程為[x=my+p2]? ? ? ?②

設(shè)[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，

則直線[OA]的方程為[y=2py1x]

聯(lián)立①②得：[y2-2pmy-p2=0]，[y1+y2=2pm]，[y1y2=-p2]

于是：[y2=-p2y1]

設(shè)點(diǎn)[D（-p2，yD）]，將其代入直線[OA]方程得：[yD=-p2y1]于是[yD=y2].因此，直線[DB]平行于拋物線的對(duì)稱軸。

得：[yD=-p2y1]于是[yD=y2]，因此，直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸。

推論1.一條經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)[F]的直線與拋物線相交于點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B]，通過(guò)點(diǎn)[B]作一條平行于拋物線對(duì)稱軸的直線，這條直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)[D]，則[AD]過(guò)拋物線的頂點(diǎn).

證明：同上建坐標(biāo)系設(shè)方程[y1y2=-p2]

設(shè)[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，則點(diǎn)[D（-p2，y2）]

因?yàn)閇y2=-p2y1]? ?所以[D（-p2，-p2y1）]

所以[kOA=2py1，kOD=2py1]? ?即[kOA=kOD]

因此，直線[AD]過(guò)拋物線的頂點(diǎn)。

推論2.過(guò)拋物線上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)[A]作經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[D]平行于拋物線對(duì)稱軸的直線交拋物線于點(diǎn)[B]，則直線[AB]過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。

證明：[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，[D（-p2，yD）]

直線[OA]的方程：[y=2py1x]? ?①

準(zhǔn)線[x=-p2]? ? ? ? ? ? ? ? ②

聯(lián)立① ②得：[yD=-p2y1]

于是[D（-p2，-p2y1）]，[y2=-p2y1，所以y1y2=-p2]

[A（y212p，y1），B（y222p，y2），F(xiàn)（p2，0），]所以[FA=FB]

于是[A，B，F(xiàn)]三點(diǎn)共線

因此直線[AB]過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。

“題在書外，根在書中”，下面就2029年北京理科卷說(shuō)明該結(jié)論的應(yīng)用。

（2019年北京理18題）已知拋物線[C：x2=-2py]經(jīng)過(guò)點(diǎn)[2，-1]．（Ⅰ）求拋物線[C]的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）假設(shè)[O]為原點(diǎn)，過(guò)拋物線[C]的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線[l]交拋物線[C]于兩點(diǎn)[M，N]，直線[y=-1]分別交直線[OM，ON]于點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B.]求證：以[AB]為直徑的圓經(jīng)過(guò)[y]軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

解：（Ⅰ）如圖2，將點(diǎn)[2，-1]代入拋物線方程：[22=2p×-1]可得：[p=2]，故拋物線方程為：[x2=-4y]，其準(zhǔn)線方程為：[y=1].

（Ⅱ）很明顯直線[l]的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為[0，-1]，

設(shè)[Mx1，y1，Nx2，y2]，

設(shè)直線[l]方程為[y=kx-1]①

與拋物線方程[x2=-4y]②

聯(lián)立①②可得：[x2+4kx-4=0].故：[x1+x2=-4k，x1x2=-4].

則[kOM=-x14，kON=-x24]

所以[kOM=-x14，kON=-x24]，

直線[OM]的方程為[y=-x14x]與[y=-1]聯(lián)立可得：[A4x1，-1]，同理可得[B4x2，-1]，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：[2x1+2x2，-1]，圓的半徑為：[2x1-2x2]，且：[2x1+2x2=2x1+x2x1x2=2k]，[2x1-2x2=2×x1+x22-4x1x2x1x2=2k2+1]，

則圓的方程為：[x-2k2+y+12=4k2+1]，

令[x=0]整理可得：[y2+2y-3=0]，解得：[y1=-3，y2=1]，

即以[AB]為直徑的圓經(jīng)過(guò)[y]軸上的兩個(gè)定點(diǎn)[0，-3，0，1]

利用推論得到如下解法：

如圖3，設(shè)直線[OM]與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)[C]，直線[ON]與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)[D]，由推論得[C（x2，1），D（x1，1）]

又因?yàn)閇A（-x2，-1），B（-x1，-1）]

[AB中點(diǎn)（-x1+x22，-1），半徑為x1-x22=（x1+x2）2-4x1x22=2k2+1]

則圓的方程為：[x-2k2+y+12=4k2+1]，

令[x=0]整理可得：[y2+2y-3=0]，解得：[y1=-3，y2=1]，

即以[AB]為直徑的圓經(jīng)過(guò)[y]軸上的兩個(gè)定點(diǎn)[0，-3，0，1]

點(diǎn)評(píng)：將教材例題的結(jié)論拓展推廣，對(duì)歷年高考題追根溯源，利用推廣的結(jié)論以簡(jiǎn)馭繁。題目作法始終貫徹“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決”的策略，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)方程、坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題。

二、創(chuàng)設(shè)生活情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

《高中學(xué)生研究性學(xué)習(xí)課題報(bào)告疫情形勢(shì)下的數(shù)學(xué)建模》中涉及如下情境。“傳染病傳播過(guò)程”的數(shù)學(xué)模型是通過(guò)控制感染人群來(lái)實(shí)現(xiàn)的。由于傳染病在新病例的研究中具有重要意義，所以應(yīng)該用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，并制訂相應(yīng)的解決方案和治療方法。另一方面，根據(jù)傳染病動(dòng)力學(xué)的基本原理，在爆發(fā)初期，累計(jì)病例數(shù)的增長(zhǎng)呈現(xiàn)的是指數(shù)式增長(zhǎng)，這就為建模提供了理論基礎(chǔ)。通過(guò)指數(shù)型函數(shù)模型，對(duì)爆發(fā)初期的數(shù)據(jù)做一次數(shù)學(xué)建模，通過(guò)該模型我們希望能夠預(yù)測(cè)之后的發(fā)展趨勢(shì)，并最終解釋措施的合理性。

（一）初期數(shù)據(jù)處理

下表是某一疾病累計(jì)的確診病例數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可以看出，確診病例數(shù)逐日增加，而且增加得越來(lái)越快。為了更加直觀地反映數(shù)據(jù)的變化情況，將下表數(shù)據(jù)制成如下散點(diǎn)圖，并觀察數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)情況，選用合適的函數(shù)進(jìn)行擬合。

根據(jù)圖像的發(fā)展變化趨勢(shì)，我們決定采用指數(shù)型函數(shù)[y=kert]進(jìn)行擬合，將此非線性回歸，經(jīng)過(guò)變形得到[lny=lnk+rt]，進(jìn)而得到線性回歸方程[y=rt+k]，運(yùn)用以上十組數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到[y=291e0.59t]，經(jīng)檢驗(yàn)前八組數(shù)據(jù)擬合效果較好，后兩組擬合效果差，增長(zhǎng)不再是馬爾薩斯增長(zhǎng)模型，而這個(gè)變化在指數(shù)型函數(shù)模型中很難體現(xiàn)。

（二）模型預(yù)測(cè)

如何有效控制住病毒的傳播，減少感染人數(shù)，是建立傳染病模型后我們需要考慮的首要問(wèn)題。其中，控制住增長(zhǎng)率是關(guān)鍵。那么，如何控制增長(zhǎng)率？

對(duì)策一：保持感染者的增長(zhǎng)率不變，對(duì)疫情不加控制，僅對(duì)患者進(jìn)行救治。但由于醫(yī)療條件限制，治愈率遠(yuǎn)低于感染率，假設(shè)每天只能治愈2000人，得到新的函數(shù)模型[y=291e0.59t?2000t]，這樣能否控制住？

顯然不行。僅靠救治是無(wú)法控制的，必須通過(guò)措施來(lái)降低增長(zhǎng)率。如果不及時(shí)采取措施，感染人數(shù)將會(huì)呈指數(shù)型增長(zhǎng)。

對(duì)策二：在積極救治患者的同時(shí)，切斷傳播途徑，降低傳染率，同時(shí)降低增長(zhǎng)率。同樣假設(shè)每天只能治愈2000人，同時(shí)增長(zhǎng)率變?yōu)閞=0.59-0.01t，得到新的函數(shù)模型[y=291e（0.59?0.01t）t?2000t]，這樣能否控制住？

顯然可以。不僅疫情得到了有效控制，后期病例數(shù)更是趨近于零。

（三）對(duì)策分析

實(shí)踐證明，采用控制傳染源、切斷傳播途徑、保護(hù)易感人群的方法，能夠有效控制疫情傳播。其中，控制增長(zhǎng)率是關(guān)鍵因素。因此，執(zhí)行嚴(yán)格的隔離措施、加強(qiáng)個(gè)體自我保護(hù)（如接種疫苗等），都是降低增長(zhǎng)率的有效措施。

此外，雖然應(yīng)用指數(shù)型函數(shù)對(duì)疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合可以在疫情初期取得不錯(cuò)的效果，但隨著各種防控措施的實(shí)施，該模型將逐漸失去適用性。因此，我們需要考慮更加精準(zhǔn)的函數(shù)模型，例如SI模型、SIR模型或SEIR模型。這些模型不僅能夠預(yù)測(cè)疫情“拐點(diǎn)”的出現(xiàn)時(shí)間，還能夠預(yù)測(cè)整體的發(fā)展趨勢(shì)和病例數(shù)的變化，從而指導(dǎo)我們采取更加有效的應(yīng)對(duì)措施。

（四）模型反思

數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為21世界科學(xué)研究的必備手法之一。但上述指數(shù)型函數(shù)模型有很多不足之處，考慮的因素過(guò)于單一，沒(méi)有將很多具體的因素如境外輸入、接種疫苗、人口流動(dòng)、病毒毒性減弱等考慮在內(nèi)。若要將更多因素考慮在內(nèi)，需要建立更加復(fù)雜的函數(shù)模型，但無(wú)論何種函數(shù)模型，都不能毫無(wú)誤差地描述真實(shí)的過(guò)程。這也表明，數(shù)學(xué)建模不是萬(wàn)能的，模型難免會(huì)有不足之處，但是當(dāng)我們盡可能多的考慮主要因素時(shí)，模型的預(yù)測(cè)功能對(duì)我們后期做預(yù)測(cè)和決策是有很大幫助的。研究醫(yī)學(xué)等自然學(xué)科中，采用數(shù)學(xué)工具往往能使問(wèn)題得到科學(xué)有效的解決，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在自然科學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)性作用。

數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是高中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分。在高一的函數(shù)教學(xué)中，有很多數(shù)學(xué)建模的實(shí)例，函數(shù)應(yīng)用更是課本中的重要章節(jié)，要結(jié)合生活中的熱點(diǎn)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生利用大數(shù)據(jù)，建立統(tǒng)計(jì)模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的魅力。

三、結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)手段讓知識(shí)“活”起來(lái)

2019人教A版數(shù)學(xué)必修一課本146頁(yè)有一道例題，題為：借助信息技術(shù)，用二分法求方程[2x+3x?7=0]的近似解（精確度為0.1）。

若是通過(guò)普通的計(jì)算，需要利用取中點(diǎn)的方法，逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍。解題過(guò)程如下：題中求方程[2x+3x?7=0]的近似值即求函數(shù)[fx=2x+3x?7]的零點(diǎn)，列表如下：

因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）=2x+3x?7]在定義域R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，然后取區(qū)間中點(diǎn)當(dāng)[x=1.5]時(shí)，[fx]的值約為0.33，因?yàn)閇f1?f1.5<0]，所以該零點(diǎn)所在區(qū)間縮小至區(qū)間（1，1.5），再取區(qū)間的中點(diǎn)當(dāng)[x=1.25]時(shí)，[f（x）]的值約為-0.87，因?yàn)閇f1.25?f1.5<0]，所以該零點(diǎn)所在區(qū)間縮小至區(qū)間（1.25，1.5），同理可得該零點(diǎn)在區(qū)間（1.375，1.5），（1.375，1.4374）內(nèi)，因?yàn)?.4375-1.375=0.0625<0.1，所以原方程的近似解可取為1.375.

通過(guò)對(duì)以上的過(guò)程分析可知，該求解過(guò)程具有重復(fù)性，且所求的函數(shù)的值較為難算，而我們所學(xué)的信息技術(shù)中恰好進(jìn)行過(guò)循環(huán)程序的教學(xué)，因此本題就可通過(guò)一定的計(jì)算程序，借助信息技術(shù)完成計(jì)算[7]。該程序（c++語(yǔ)言），如下：

#include

#include

using namespace std;

double f（double x）

{double s=0;

s=pow（2，x）+3*x-7;

return s;}

int main（）

{double o，a，b;//o為精準(zhǔn)度，a，b為零點(diǎn)存在的整數(shù)區(qū)間

cin>>o>>a>>b;

while（fabs（a-b）>=o）{

double c=（a+b）*1.0/2;

if（f（a）*f（c）<0）b=c;

else if（f（c）==0）{

a=c;

break;}

else a=c;}

cout<

return 0;}

通過(guò)此程序，該問(wèn)題僅需輸入原始整數(shù)區(qū)間和精確度，就能快速求解，節(jié)省了大量時(shí)間。用二分法解決方程的近似解的時(shí)候過(guò)程比較繁瑣，如果學(xué)生有良好的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)，可以利用信息技術(shù)所學(xué)的C++語(yǔ)言簡(jiǎn)化過(guò)程，體現(xiàn)了思維的深度，很好地展現(xiàn)了一位高中生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和計(jì)算機(jī)素養(yǎng)，在剖析的過(guò)程中，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)和信息技術(shù)之間的聯(lián)系。

結(jié)束語(yǔ)：資源的開(kāi)發(fā)和建設(shè)必須關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知和觀點(diǎn)，以便更好地適應(yīng)新高考的趨勢(shì)。這需要教師鼓勵(lì)廣大中學(xué)生積極參與，培養(yǎng)他們的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新能力。為了讓學(xué)生更好地參與資源的開(kāi)發(fā)和建設(shè)，如教師需要提供具有挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性的任務(wù)和項(xiàng)目，以激發(fā)他們的創(chuàng)造力和創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)與行業(yè)合作、引入新技術(shù)和新方法、組織團(tuán)隊(duì)競(jìng)賽等方式實(shí)現(xiàn)。在這個(gè)過(guò)程中，應(yīng)基于學(xué)生充分的支持和指導(dǎo)，以便他們能夠?qū)W習(xí)和掌握必要的技能和知識(shí)。教師還需要注重學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)，以便他們能夠深入探究資源開(kāi)發(fā)和建設(shè)過(guò)程中的各種問(wèn)題，并提出有建設(shè)性的解決方案。