高中數學學習資源開發之高中生數學寫作

潘文超

摘要：本文旨在探討如何引導學生通過數學寫作來促進高中數學學習。文章介紹了數學寫作的概念和作用，強調了數學寫作對于加深學生對數學知識的理解、提高數學表達能力、增強批判性思維和創造性思維能力等方面的積極作用。數學寫作可以促進學生對數學知識的理解和掌握。通過將數學知識用自己的語言表達出來，學生可以更深入地理解和消化所學的數學內容，提高對數學知識的記憶和掌握程度。通過數學寫作，可以更好地促進學生對數學知識的理解和掌握，提高數學表達和批判性思維能力，增強學生的創造性思維能力，激發學生的數學興趣和學習熱情。

關鍵詞：高中數學 數學寫作 數學表達能力 批判性思維 創造性思維

隨著互聯網的普及，高中數學教學資源愈加豐富，覆蓋了微小的知識點和專題視頻講座等。然而，作為教育工作者，我們應該注重培養學生能力，而非僅僅傳授知識。自新高考改革實施以來，高考數學命題理念已經轉變為“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”，要求學習者具備更高層次的能力，例如獨立思考、探索和研究。為了適應新課程改革，促進學生的學科素養提升，教師應該鼓勵高中生進行數學寫作，以此提高他們的能力水平，并為高中數學資源的開發和建設注入新的活力。

高中生數學寫作的范疇涉及以下幾個方面。

首先，數學感悟類文章，包括讀后感、數學理解、課堂學習、解題感悟等，圍繞數學教材或課外讀物中某一節，也可以就印象較深、思考較多的某一課、某一題或某種方法等，談談自己的學習體會，用具體的事例與反思表達自己數學學習的心路歷程、思維過程。

其次，數學探究類論文涵蓋數學建模和純粹數學問題探究。鼓勵運用現代科技手段和實地探究相結合的方法，利用所掌握的數學知識解決現實生活中的實際問題。文章要提供現實背景材料、具體數據、數學模型、解答過程和實際結果。純粹數學問題探究可以基于教材中或感興趣的問題和知識，并通過類比、推理、運算等思維活動得出“新成果”。

再次，數學科普、文藝類作品，包括中學生喜聞樂見的數學科普文章、數學文藝作品、數學游戲設計、學習方法、解題思維等。

最后，數學問題辯論類論文涵蓋對某個問題獨特的理解、對某道試題的獨特解法、對某些知識的爭論和分析等方面。以下是一些學生研究的案例，進行分析。

一、探尋高考題在書中的根源

人教A版選擇性必修第一冊136頁例5一道課本例題引發的探究思考。

原題再現：過拋物線焦點[F]的直線交拋物線于[A，B]兩點，通過點[A]和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點[D]，求證：直線[DB]平行于拋物線的對稱軸。（如圖1）

分析：課本中例題通過坐標法證明了一個結論，具體做法是建立拋物線和直線DB的方程，然后通過研究直線和拋物線對稱軸之間的位置關系來得到這個結論。但是課本對于直線[AB]方程做了斜率存在、斜率不存在兩種情況的分析，計算量稍大，稍作改動證明如下。

證明：以拋物線的對稱軸為[x]軸，頂點為原點建立平面直角坐標系[xOy].

設拋物線的方程為[y2=2pxp>0]? ①

設直線[AB]方程為[x=my+p2]? ? ? ?②

設[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，

則直線[OA]的方程為[y=2py1x]

聯立①②得：[y2-2pmy-p2=0]，[y1+y2=2pm]，[y1y2=-p2]

于是：[y2=-p2y1]

設點[D（-p2，yD）]，將其代入直線[OA]方程得：[yD=-p2y1]于是[yD=y2].因此，直線[DB]平行于拋物線的對稱軸。

得：[yD=-p2y1]于是[yD=y2]，因此，直線DB平行于拋物線的對稱軸。

推論1.一條經過拋物線焦點[F]的直線與拋物線相交于點[A]和點[B]，通過點[B]作一條平行于拋物線對稱軸的直線，這條直線與拋物線的準線相交于點[D]，則[AD]過拋物線的頂點.

證明：同上建坐標系設方程[y1y2=-p2]

設[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，則點[D（-p2，y2）]

因為[y2=-p2y1]? ?所以[D（-p2，-p2y1）]

所以[kOA=2py1，kOD=2py1]? ?即[kOA=kOD]

因此，直線[AD]過拋物線的頂點。

推論2.過拋物線上異于頂點的點[A]作經過頂點的直線交準線于點，過點[D]平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線于點[B]，則直線[AB]過拋物線的焦點。

證明：[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，[D（-p2，yD）]

直線[OA]的方程：[y=2py1x]? ?①

準線[x=-p2]? ? ? ? ? ? ? ? ②

聯立① ②得：[yD=-p2y1]

于是[D（-p2，-p2y1）]，[y2=-p2y1，所以y1y2=-p2]

[A（y212p，y1），B（y222p，y2），F（p2，0），]所以[FA=FB]

于是[A，B，F]三點共線

因此直線[AB]過拋物線的焦點。

“題在書外，根在書中”，下面就2029年北京理科卷說明該結論的應用。

（2019年北京理18題）已知拋物線[C：x2=-2py]經過點[2，-1]．（Ⅰ）求拋物線[C]的方程及其準線方程；（Ⅱ）假設[O]為原點，過拋物線[C]的焦點作斜率不為0的直線[l]交拋物線[C]于兩點[M，N]，直線[y=-1]分別交直線[OM，ON]于點[A]和點[B.]求證：以[AB]為直徑的圓經過[y]軸上的兩個定點．

解：（Ⅰ）如圖2，將點[2，-1]代入拋物線方程：[22=2p×-1]可得：[p=2]，故拋物線方程為：[x2=-4y]，其準線方程為：[y=1].

（Ⅱ）很明顯直線[l]的斜率存在，焦點坐標為[0，-1]，

設[Mx1，y1，Nx2，y2]，

設直線[l]方程為[y=kx-1]①

與拋物線方程[x2=-4y]②

聯立①②可得：[x2+4kx-4=0].故：[x1+x2=-4k，x1x2=-4].

則[kOM=-x14，kON=-x24]

所以[kOM=-x14，kON=-x24]，

直線[OM]的方程為[y=-x14x]與[y=-1]聯立可得：[A4x1，-1]，同理可得[B4x2，-1]，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為：[2x1+2x2，-1]，圓的半徑為：[2x1-2x2]，且：[2x1+2x2=2x1+x2x1x2=2k]，[2x1-2x2=2×x1+x22-4x1x2x1x2=2k2+1]，

則圓的方程為：[x-2k2+y+12=4k2+1]，

令[x=0]整理可得：[y2+2y-3=0]，解得：[y1=-3，y2=1]，

即以[AB]為直徑的圓經過[y]軸上的兩個定點[0，-3，0，1]

利用推論得到如下解法：

如圖3，設直線[OM]與準線相交于點[C]，直線[ON]與準線相交于點[D]，由推論得[C（x2，1），D（x1，1）]

又因為[A（-x2，-1），B（-x1，-1）]

[AB中點（-x1+x22，-1），半徑為x1-x22=（x1+x2）2-4x1x22=2k2+1]

則圓的方程為：[x-2k2+y+12=4k2+1]，

令[x=0]整理可得：[y2+2y-3=0]，解得：[y1=-3，y2=1]，

即以[AB]為直徑的圓經過[y]軸上的兩個定點[0，-3，0，1]

點評：將教材例題的結論拓展推廣，對歷年高考題追根溯源，利用推廣的結論以簡馭繁。題目作法始終貫徹“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標法解決”的策略，培養學生數形結合思想，通過方程、坐標運算解決幾何問題。

二、創設生活情境，構建數學模型

《高中學生研究性學習課題報告疫情形勢下的數學建模》中涉及如下情境。“傳染病傳播過程”的數學模型是通過控制感染人群來實現的。由于傳染病在新病例的研究中具有重要意義，所以應該用數學知識來聯系實際問題，并制訂相應的解決方案和治療方法。另一方面，根據傳染病動力學的基本原理，在爆發初期，累計病例數的增長呈現的是指數式增長，這就為建模提供了理論基礎。通過指數型函數模型，對爆發初期的數據做一次數學建模，通過該模型我們希望能夠預測之后的發展趨勢，并最終解釋措施的合理性。

（一）初期數據處理

下表是某一疾病累計的確診病例數，由表中數據可以看出，確診病例數逐日增加，而且增加得越來越快。為了更加直觀地反映數據的變化情況，將下表數據制成如下散點圖，并觀察數據的增長情況，選用合適的函數進行擬合。

根據圖像的發展變化趨勢，我們決定采用指數型函數[y=kert]進行擬合，將此非線性回歸，經過變形得到[lny=lnk+rt]，進而得到線性回歸方程[y=rt+k]，運用以上十組數據經過運算得到[y=291e0.59t]，經檢驗前八組數據擬合效果較好，后兩組擬合效果差，增長不再是馬爾薩斯增長模型，而這個變化在指數型函數模型中很難體現。

（二）模型預測

如何有效控制住病毒的傳播，減少感染人數，是建立傳染病模型后我們需要考慮的首要問題。其中，控制住增長率是關鍵。那么，如何控制增長率？

對策一：保持感染者的增長率不變，對疫情不加控制，僅對患者進行救治。但由于醫療條件限制，治愈率遠低于感染率，假設每天只能治愈2000人，得到新的函數模型[y=291e0.59t?2000t]，這樣能否控制住？

顯然不行。僅靠救治是無法控制的，必須通過措施來降低增長率。如果不及時采取措施，感染人數將會呈指數型增長。

對策二：在積極救治患者的同時，切斷傳播途徑，降低傳染率，同時降低增長率。同樣假設每天只能治愈2000人，同時增長率變為r=0.59-0.01t，得到新的函數模型[y=291e（0.59?0.01t）t?2000t]，這樣能否控制住？

顯然可以。不僅疫情得到了有效控制，后期病例數更是趨近于零。

（三）對策分析

實踐證明，采用控制傳染源、切斷傳播途徑、保護易感人群的方法，能夠有效控制疫情傳播。其中，控制增長率是關鍵因素。因此，執行嚴格的隔離措施、加強個體自我保護（如接種疫苗等），都是降低增長率的有效措施。

此外，雖然應用指數型函數對疫情數據進行擬合可以在疫情初期取得不錯的效果，但隨著各種防控措施的實施，該模型將逐漸失去適用性。因此，我們需要考慮更加精準的函數模型，例如SI模型、SIR模型或SEIR模型。這些模型不僅能夠預測疫情“拐點”的出現時間，還能夠預測整體的發展趨勢和病例數的變化，從而指導我們采取更加有效的應對措施。

（四）模型反思

數學建模已經成為21世界科學研究的必備手法之一。但上述指數型函數模型有很多不足之處，考慮的因素過于單一，沒有將很多具體的因素如境外輸入、接種疫苗、人口流動、病毒毒性減弱等考慮在內。若要將更多因素考慮在內，需要建立更加復雜的函數模型，但無論何種函數模型，都不能毫無誤差地描述真實的過程。這也表明，數學建模不是萬能的，模型難免會有不足之處，但是當我們盡可能多的考慮主要因素時，模型的預測功能對我們后期做預測和決策是有很大幫助的。研究醫學等自然學科中，采用數學工具往往能使問題得到科學有效的解決，這也正體現了數學在自然科學領域的基礎性作用。

數學建模作為高中數學六大核心素養之一，是高中數學課程的重要組成部分。在高一的函數教學中，有很多數學建模的實例，函數應用更是課本中的重要章節，要結合生活中的熱點問題，鼓勵學生利用大數據，建立統計模型對數據進行預測，使學生認識到數學模型的魅力。

三、結合現代信息技術手段讓知識“活”起來

2019人教A版數學必修一課本146頁有一道例題，題為：借助信息技術，用二分法求方程[2x+3x?7=0]的近似解（精確度為0.1）。

若是通過普通的計算，需要利用取中點的方法，逐步縮小零點所在的范圍。解題過程如下：題中求方程[2x+3x?7=0]的近似值即求函數[fx=2x+3x?7]的零點，列表如下：

因為函數[f（x）=2x+3x?7]在定義域R上單調遞增，所以函數有且僅有一個零點在區間（1，2）內，然后取區間中點當[x=1.5]時，[fx]的值約為0.33，因為[f1?f1.5<0]，所以該零點所在區間縮小至區間（1，1.5），再取區間的中點當[x=1.25]時，[f（x）]的值約為-0.87，因為[f1.25?f1.5<0]，所以該零點所在區間縮小至區間（1.25，1.5），同理可得該零點在區間（1.375，1.5），（1.375，1.4374）內，因為1.4375-1.375=0.0625<0.1，所以原方程的近似解可取為1.375.

通過對以上的過程分析可知，該求解過程具有重復性，且所求的函數的值較為難算，而我們所學的信息技術中恰好進行過循環程序的教學，因此本題就可通過一定的計算程序，借助信息技術完成計算[7]。該程序（c++語言），如下：

#include

#include

using namespace std;

double f（double x）

{double s=0;

s=pow（2，x）+3*x-7;

return s;}

int main（）

{double o，a，b;//o為精準度，a，b為零點存在的整數區間

cin>>o>>a>>b;

while（fabs（a-b）>=o）{

double c=（a+b）*1.0/2;

if（f（a）*f（c）<0）b=c;

else if（f（c）==0）{

a=c;

break;}

else a=c;}

cout<

return 0;}

通過此程序，該問題僅需輸入原始整數區間和精確度，就能快速求解，節省了大量時間。用二分法解決方程的近似解的時候過程比較繁瑣，如果學生有良好的計算機基礎，可以利用信息技術所學的C++語言簡化過程，體現了思維的深度，很好地展現了一位高中生良好的數學素養和計算機素養，在剖析的過程中，體現出了數學和信息技術之間的聯系。

結束語：資源的開發和建設必須關注學生的認知和觀點，以便更好地適應新高考的趨勢。這需要教師鼓勵廣大中學生積極參與，培養他們的問題意識和創新能力。為了讓學生更好地參與資源的開發和建設，如教師需要提供具有挑戰性和啟發性的任務和項目，以激發他們的創造力和創新意識。通過與行業合作、引入新技術和新方法、組織團隊競賽等方式實現。在這個過程中，應基于學生充分的支持和指導，以便他們能夠學習和掌握必要的技能和知識。教師還需要注重學生問題意識的培養，以便他們能夠深入探究資源開發和建設過程中的各種問題，并提出有建設性的解決方案。