經歷真實研究過程 助推學生學會學習

陳美芬

［摘? 要］ 探索是學生理解知識、應用知識、內化知識的必經之路. 在數學教學中，教師應結合教學實際設計問題串，引導學生經歷提出問題、形成猜想、證明猜想等數學研究過程，通過親歷真實的數學研究過程，讓學生掌握數學研究方法，提高數學探究能力，落實數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 探索；問題串；研究過程；學會學習

是否學好數學不是看學生掌握了多少知識，也不是看學生做了多少道題，而是看學生是否學會了思考、學會了學習. 在日常教學中，教師應該少一些講授，多留一些時間讓學生去自主探索、主動發現. 在數學概念、定理、公式等基礎知識的教學中，教師應該重視引導學生親歷知識形成過程，以此讓學生更好地理解知識，提高學生綜合應用數學知識和數學思想方法解決問題的能力. 筆者在教學“基本不等式”時，以學生已有認知體系為起點，引導學生經歷數學研究過程，最終走上“會學”之路.

課堂教學實錄

1. 引入生活情境，提出數學問題

師：大家知道它是什么嗎？（用PPT展示天平圖片）

生齊聲答：天平.

師：很好，相信大家在物理課上都見過并使用過天平. 現在遇到了一個比較棘手的問題：有一架天平在制造時出現了問題，天平的兩臂長度略有不同，使得稱出來的物體的質量出現了誤差. 若將物體放在左側托盤測量，測得物體質量為a，放在右側托盤測量，測得物體質量為b，則物體的實際質量應該是多少呢？（學生積極思考）

師：你是怎么想的呢？

生1：我認為放在左、右托盤各稱一次，結果是一次比實際質量略大，一次比實際質量略小，這樣取平均值剛好就是物體的實際質量.

（大多數學生點頭表示贊成生1的說法）

師：大家還能從其他角度合理表示物體的實際質量嗎？（預留時間讓學生思考、計算）

師：你是怎樣想到的呢？

2. 設計數學實驗，生成數學猜想

（先讓學生獨立思考，然后交流展示學生的探究結果. ）

師：這是一個方法，不過取一個值就得到結論是否有些牽強呢？是否存在小于或等于的情況呢？

（預留時間讓學生再列舉幾個特殊值，使學生更好地感知結論. 在此基礎上，給出表1讓學生進一步觀察、猜想. ）

師：結合表1的數據以及自己列舉的特殊值，請給出你們的猜想.

師：我們知道數學是一門嚴謹的學科，我們給出大量數據進行驗證，依然具有一定的特殊性，其研究結果并不能作為數學命題，接下來該怎么辦呢？

3. 嘗試數學證明，獲得數學命題

師：你有沒有更好的方法來驗證這一結論呢？

生齊聲答：證明.

師：非常棒的想法，具體該如何證明呢？

（讓學生獨立思考，并鼓勵學生嘗試不同的證明思路. ）

師：何時取等號呢？

生6：當a=b時取等號.

生齊聲答：對.

師：也就是說，當且僅當a=b時，不等式取等號.

師：回顧以上證明過程，對于該結論是否有需要補充的地方呢？

師：非常好. 還有其他證明方法嗎？如果不平方作差，是否可以證明該結論呢？

師：很好，除了作差比較法外，大家還能想到其他證明方法嗎？

師：我們將其稱為分析法，該方法在定理、結論的證明中有著重要應用. 分析法看似簡單，但是其對書寫格式的要求相對較高，只有始終保持清晰的思維脈絡，才能避免證明過程中出現主觀臆想，影響證明效果.

師：比較以上兩種方法，請大家思考綜合法和分析法存在怎樣的區別與聯系.

（投影展示綜合法和分析法的證明過程，讓學生進一步觀察、對比、交流.）

生11：分析法從要證的結論入手，逐步尋找使結論成立的充分條件；而綜合法的證明過程恰恰相反，將分析法的最后一步作為條件，逐步推導，最終得到結論.

師：說得非常好，前者是執果索因，后者是由因導果. 這樣我們用不同方法證明了猜想，得到了真命題，即若a，b是正數，則■≤■，當且僅當a=b時取等號.

設計意圖 在證明猜想的過程中，筆者沒有直接將證明過程強加給學生，而是從學生的真實想法出發，啟發和引導學生尋求不同的證明思路，并通過有效互動逐漸修正和完善證明思路，以此自然得到四種不同的證明方法，促進學生自主探究能力的提升和思維能力的發展. 同時，通過師生和生生的有效對話，讓不同思維碰撞出不同的火花，使數學課堂煥發出勃勃生機.

4. 數學命題精析，形成研究經驗

師：剛剛我們從數的角度出發，分別用平方作差法、作差比較法、分析法和綜合法證明了結論. 如果換個角度，從形的角度出發，能否證明這個不等式呢？

讓學生獨立思考，部分學生無從入手，于是啟發學生將a，b看成兩條線段，根據已有知識去構造不等式兩側的量. 在筆者的啟發和引導下，學生很快找到了解決問題的突破口.

師：真是一個不錯的想法，我們現在就按照生13的思路來畫這個圓. （預留時間讓學生動手畫圖）

師：誰來說一說設計過程.

生17：兩個正數的幾何平均數不大于算術平均數.

師：一定要強調a，b為正數嗎？如果一個數為正，一個數為負；或者兩個數都為負；或者其中一個數為0. 這些情況都不行嗎？

（學生積極思考，并嘗試舉例證明.）

師：說得非常好，基本不等式有許多變式，它是我們高考的一個重要考點. 限于本節課時間，對于其變式我們下節課再繼續研究.

設計意圖 從學習反饋來看，大多數學生是從數的角度出發證明基本不等式的. 為了深化學生對基本不等式的理解，讓學生獲得更加直觀的感受，筆者引導學生從形的角度去探索基本不等式的幾何意義，認清基本不等式的本質. 在此基礎上，對a，b的范圍進行擴充，揭示基本不等式的神秘面紗，激發學生后續學習不等式的熱情.

5. 自主課堂小結，深化知識理解

師：現在請同學們回頭看，通過本節課的學習，你有哪些收獲呢？

6. 課后拓展延伸，提升思維能力

師：課后請大家思考這樣兩個問題.

問題1 基本不等式能否推廣至n（n>1，n∈N*）個非負數的情形呢？

問題2 2002年國際數學家大會會標是依據趙爽弦圖設計的（如圖3所示）. 通過本節課的學習，在圖3中你可以找到哪些相等和不等的數量關系呢？

設計意圖 問題是誘發學生思考的動力源. 讓學生帶著問題離開課堂，不僅可以增添課堂的凝聚力，還可以拓寬學生的視野，提高學生分析問題、解決問題的能力.

教學思考

在數學教學中，若教師直接將知識講授給學生，會增加數學課堂的枯燥感，影響學生參與數學學習的積極性，不利于學生可持續學習能力的提升. 因此，在日常教學中，教師應創造機會讓學生去探索，以此激活學生的思維，提高課堂教學的有效性；應認真研究教材，把握好教學的重難點和核心知識點，以學生最近發展區為起點，精心設計問題，引導學生經歷“問題—實驗—猜想—證明”數學研究過程，以此不斷完善學生的認知體系，提高學生自主學習能力.

另外，在數學教學中，教師可以通過科技手段拓展學生的數學學習方式，啟發和指導學生多角度、多維度地思考和解決問題，以此增強數學課堂的探究性和趣味性，讓學生的數學思維自然生長，提高課堂教學的有效性.

總之，數學學習是一個慢過程，教學中要多提供機會讓學生去發現、去感悟，讓學生親身經歷數學研究過程，如此才能促使學生走上“會學”之路.