經歷探究過程 提高解題能力

方異平

［摘? 要］ 探究性學習是提升學生學習能力，發展學生數學思維的重要途徑. 在實際教學中，教師應立足學生已有經驗，為學生創設和諧、平等的學習情境，讓學生通過經歷感受、體驗、思考和探究等過程體驗數學發現的樂趣，感悟數學思想方法的價值，揭示問題的本質，從而提高課堂教學有效性.

［關鍵詞］ 探究性學習；學習能力；教學有效性

問題提出

例1是一道研究“曲線過定點”的問題，該類型題目可謂高考寵兒，層出不窮. 該類型題目較為抽象，若教學中僅僅“就題論題”“一筆帶過”，學生很難理解問題的本質，日后遇到此類問題時勢必感覺迷茫，無從下手. 因此，在日常教學中，教師應立足學生已有經驗，引導學生通過思考、探究、交流等活動發現同類型問題中蘊含的規律，掌握同類型問題的解決方法，提高問題解決能力.

教學過程

1. 回顧舊知，探尋規律

問題1 下列函數的圖象是否過定點？若過定點，請寫出定點坐標.

（1）y=kx+1（k∈R）；

（2）y=2x2+bx+1（b∈R）；

（3）y=ax（a>0，且a≠1）；

（問題給出后，留點時間讓學生思考. ）

生1：（1）定點坐標為（0，1）；（2）定點坐標為（0，1）；（3）定點坐標為（0，1）；（4）定點坐標為（2，3）.

師：非常好，上述函數的圖象均過定點，這是必然還是偶然呢？這些定點與解析式中的參數有關系嗎？（學生積極思考）

生2：這些定點與解析式中的參數無關，所以這些函數的圖象過定點絕非偶然.

問題2 大家如何理解定點？

生3：與解析式中的參數無關的點.

師：說得很好，今天我們一起來研究曲線過定點的問題.

設計意圖 以學生熟悉的初等函數為背景，讓學生在“變與不變”中理解“曲線過定點”的內涵，激發學生探究新知的欲望與動機.

2. 小試牛刀，領悟要點

問題3 結合剛剛對“曲線過定點”的理解，想一想，例1該如何求解呢？

在筆者的啟發與引導下，學生積極交流，提出了兩種解決方法.

設計意圖 引導學生回歸原題，讓學生通過問題解決進一步理解“曲線過定點”的內涵，感悟特殊化思想和恒成立思想在定點問題解決中的作用，從而提高學生的問題解決能力.

3. 深入探究，激發潛能

（問題給出后，學生積極思考，很快就有了發現.）

生4：過定點，且該定點在x軸上.

師：說一說你的理由.

師：說得很有道理，那么該定點如何求呢？

生5：不妨利用特殊化思想，求當BC垂直于x軸時，BC與x軸交點的坐標.

師：你們贊成生5的說法嗎？（學生紛紛表示贊成）

生6：此時定點不在x軸上.

師：為什么呢？

師：不在x軸上是否還能求定點的坐標呢？

師：還有其他解法嗎？

生9：生7直接把點B和點C的坐標都求出來了，而生8則是“設而不求”.

生10：生7和生8解題都用了分離參數法.

師：對比生7和生8的解法，你們認為哪種解法更簡單一些，運算量更少一些？

生齊聲答：生8.

師：確實，“設而不求”方法的運算量更少一些. 值得注意的是，應用這兩種解法求解后，還要考慮直線BC的斜率是否存在.

設計意圖 從學生解題反饋來看，結合探究經驗，大多數學生選擇特殊值法來求解，該方法具有一定的優勢，但也存在一定的局限性. 因此，讓學生用特殊值法感知定點位置后，鼓勵學生尋求其他解法——學生通過自主探究和合作交流得到了兩種“曲線過定點”問題的基本解法. 在此基礎上，引導學生對比、反思，進一步深化學生對這兩種基本解法的理解.

4. 適當練習，拓展思維

部分學生看到“有且僅有一個公共點”時，就嘗試從代數角度出發，聯立方程消去y，利用一元二次方程的判別式來尋找解決問題的突破口，但在具體操作時卻面露難色.

師：大家不妨嘗試從數形結合的角度去分析，看看直線與曲線有什么特征，可以如何轉化.

在筆者的啟發下，部分學生從“形”的角度出發，分析各個圖形的特點，尋找解決問題的合理切入點.

生12：表示過定點（4，1）的動直線的斜率.

分析至此，學生結合圖形的特點，很快就得到了答案.

設計意圖 數學題目既靈活又復雜，需要認真閱讀、仔細分析、靈活遷移才能解決. 對于本題，部分學生選擇代數法求解，結果在具體操作時遇到了障礙，此時進行引導和點撥，不僅幫助學生解決了問題，還讓學生體會到了數形結合的重要作用，發現了問題的本質.

5. 課堂小結，提升能力

該環節預留時間讓學生思考、交流，引導學生歸納總結解決“曲線過定點”問題的數學思想和方法，提高學生的解題信心和解題效率.

教學思考

眾所周知，數學教學不能“照本宣科”，教師應從教學實際出發，設計符合學生認知規律的數學活動，帶領學生經歷數學化和再創造的過程，引導學生在逐層探究中理解問題的本質，掌握問題的解決通法.

本節課教學，通過研究教材和考題，立足學生已有經驗，合理創設問題情境，讓學生在問題情境的引領下真正理解“曲線過定點”問題的本質，掌握“曲線過定點”問題的常用解決方法，從而拓展學生的思維，提高學生解決問題的能力. 同時，在此過程中，充分發揮學生的主體價值，以學生“自主探究”為主線，通過環環相扣的問題引導學生向正確的方向思考，解難釋疑，讓學生的思維螺旋上升，促進學生思維能力的發展和數學學科核心素養的落實.

總之，在數學教學中，教師應從學生的角度出發，引導學生自主探究，讓學生在思考、交流、歸納中提煉思想方法，理解與內化知識，提高解決問題的能力，提升思維水平.