經(jīng)歷探究過程 提高解題能力

方異平

［摘? 要］ 探究性學(xué)習(xí)是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)立足學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)和諧、平等的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生通過經(jīng)歷感受、體驗(yàn)、思考和探究等過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)思想方法的價值，揭示問題的本質(zhì)，從而提高課堂教學(xué)有效性.

［關(guān)鍵詞］ 探究性學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)能力；教學(xué)有效性

問題提出

例1是一道研究“曲線過定點(diǎn)”的問題，該類型題目可謂高考寵兒，層出不窮. 該類型題目較為抽象，若教學(xué)中僅僅“就題論題”“一筆帶過”，學(xué)生很難理解問題的本質(zhì)，日后遇到此類問題時勢必感覺迷茫，無從下手. 因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)立足學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過思考、探究、交流等活動發(fā)現(xiàn)同類型問題中蘊(yùn)含的規(guī)律，掌握同類型問題的解決方法，提高問題解決能力.

教學(xué)過程

1. 回顧舊知，探尋規(guī)律

問題1 下列函數(shù)的圖象是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請寫出定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）y=kx+1（k∈R）；

（2）y=2x2+bx+1（b∈R）；

（3）y=ax（a>0，且a≠1）；

（問題給出后，留點(diǎn)時間讓學(xué)生思考. ）

生1：（1）定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；（2）定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；（3）定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；（4）定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.

師：非常好，上述函數(shù)的圖象均過定點(diǎn)，這是必然還是偶然呢？這些定點(diǎn)與解析式中的參數(shù)有關(guān)系嗎？（學(xué)生積極思考）

生2：這些定點(diǎn)與解析式中的參數(shù)無關(guān)，所以這些函數(shù)的圖象過定點(diǎn)絕非偶然.

問題2 大家如何理解定點(diǎn)？

生3：與解析式中的參數(shù)無關(guān)的點(diǎn).

師：說得很好，今天我們一起來研究曲線過定點(diǎn)的問題.

設(shè)計(jì)意圖 以學(xué)生熟悉的初等函數(shù)為背景，讓學(xué)生在“變與不變”中理解“曲線過定點(diǎn)”的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望與動機(jī).

2. 小試牛刀，領(lǐng)悟要點(diǎn)

問題3 結(jié)合剛剛對“曲線過定點(diǎn)”的理解，想一想，例1該如何求解呢？

在筆者的啟發(fā)與引導(dǎo)下，學(xué)生積極交流，提出了兩種解決方法.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生回歸原題，讓學(xué)生通過問題解決進(jìn)一步理解“曲線過定點(diǎn)”的內(nèi)涵，感悟特殊化思想和恒成立思想在定點(diǎn)問題解決中的作用，從而提高學(xué)生的問題解決能力.

3. 深入探究，激發(fā)潛能

（問題給出后，學(xué)生積極思考，很快就有了發(fā)現(xiàn).）

生4：過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)在x軸上.

師：說一說你的理由.

師：說得很有道理，那么該定點(diǎn)如何求呢？

生5：不妨利用特殊化思想，求當(dāng)BC垂直于x軸時，BC與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

師：你們贊成生5的說法嗎？（學(xué)生紛紛表示贊成）

生6：此時定點(diǎn)不在x軸上.

師：為什么呢？

師：不在x軸上是否還能求定點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

師：還有其他解法嗎？

生9：生7直接把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)都求出來了，而生8則是“設(shè)而不求”.

生10：生7和生8解題都用了分離參數(shù)法.

師：對比生7和生8的解法，你們認(rèn)為哪種解法更簡單一些，運(yùn)算量更少一些？

生齊聲答：生8.

師：確實(shí)，“設(shè)而不求”方法的運(yùn)算量更少一些. 值得注意的是，應(yīng)用這兩種解法求解后，還要考慮直線BC的斜率是否存在.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生解題反饋來看，結(jié)合探究經(jīng)驗(yàn)，大多數(shù)學(xué)生選擇特殊值法來求解，該方法具有一定的優(yōu)勢，但也存在一定的局限性. 因此，讓學(xué)生用特殊值法感知定點(diǎn)位置后，鼓勵學(xué)生尋求其他解法——學(xué)生通過自主探究和合作交流得到了兩種“曲線過定點(diǎn)”問題的基本解法. 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對比、反思，進(jìn)一步深化學(xué)生對這兩種基本解法的理解.

4. 適當(dāng)練習(xí)，拓展思維

部分學(xué)生看到“有且僅有一個公共點(diǎn)”時，就嘗試從代數(shù)角度出發(fā)，聯(lián)立方程消去y，利用一元二次方程的判別式來尋找解決問題的突破口，但在具體操作時卻面露難色.

師：大家不妨嘗試從數(shù)形結(jié)合的角度去分析，看看直線與曲線有什么特征，可以如何轉(zhuǎn)化.

在筆者的啟發(fā)下，部分學(xué)生從“形”的角度出發(fā)，分析各個圖形的特點(diǎn)，尋找解決問題的合理切入點(diǎn).

生12：表示過定點(diǎn)（4，1）的動直線的斜率.

分析至此，學(xué)生結(jié)合圖形的特點(diǎn)，很快就得到了答案.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)題目既靈活又復(fù)雜，需要認(rèn)真閱讀、仔細(xì)分析、靈活遷移才能解決. 對于本題，部分學(xué)生選擇代數(shù)法求解，結(jié)果在具體操作時遇到了障礙，此時進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥，不僅幫助學(xué)生解決了問題，還讓學(xué)生體會到了數(shù)形結(jié)合的重要作用，發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì).

5. 課堂小結(jié)，提升能力

該環(huán)節(jié)預(yù)留時間讓學(xué)生思考、交流，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決“曲線過定點(diǎn)”問題的數(shù)學(xué)思想和方法，提高學(xué)生的解題信心和解題效率.

教學(xué)思考

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)不能“照本宣科”，教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)活動，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過程，引導(dǎo)學(xué)生在逐層探究中理解問題的本質(zhì)，掌握問題的解決通法.

本節(jié)課教學(xué)，通過研究教材和考題，立足學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，合理創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在問題情境的引領(lǐng)下真正理解“曲線過定點(diǎn)”問題的本質(zhì)，掌握“曲線過定點(diǎn)”問題的常用解決方法，從而拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力. 同時，在此過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價值，以學(xué)生“自主探究”為主線，通過環(huán)環(huán)相扣的問題引導(dǎo)學(xué)生向正確的方向思考，解難釋疑，讓學(xué)生的思維螺旋上升，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在思考、交流、歸納中提煉思想方法，理解與內(nèi)化知識，提高解決問題的能力，提升思維水平.