橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計

高涵

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要突出數(shù)學(xué)探究活動.橢圓是中學(xué)生常見的幾何模型，本文著重研究探究式教學(xué)方法在橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程上的運(yùn)用.通過恰當(dāng)?shù)奶釂枴⒏挥袉l(fā)性的講授，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、充分參與課堂活動，并融入數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲.通過課堂探究活動使學(xué)生能夠主動學(xué)習(xí)掌握橢圓相關(guān)知識，成為學(xué)習(xí)活動的主體.

【關(guān)鍵詞】橢圓定義；標(biāo)準(zhǔn)方程；高中數(shù)學(xué)

1 教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，能根據(jù)定義法、待定系數(shù)法計算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.了解橢圓的相關(guān)歷史背景.

（2）通過觀察橢圓的形成過程，類比圓的定義歸納出橢圓的定義，用數(shù)學(xué)計算的方法推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想.

（3）意識到數(shù)學(xué)與生活有著緊密的聯(lián)系.樹立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，主動參與小組合作，欣賞數(shù)學(xué)的對稱美、簡潔美，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.

2 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn) 掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

難點(diǎn) 多種方法推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3 教學(xué)過程

3.1 情境導(dǎo)入

將事先準(zhǔn)備好的圓形紙片發(fā)給學(xué)生.

教師 請大家在這張紙片上除圓心O之外的地方任選一點(diǎn)A，并用黑筆標(biāo)記這個點(diǎn)（如圖1），將紙片折起一角，使被折起部分的圓弧經(jīng)過點(diǎn)A，重復(fù)這個步驟若干次，然后將紙片鋪平（如圖2）.仔細(xì)觀察這張紙片，被眾多折痕包圍著的是什么圖形？

教師 你在生活中見過橢圓嗎？在哪里見過？

學(xué)生交流后，教師用PPT展示生活中的橢圓，最后展示行星的運(yùn)行軌道，并告訴學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)我們可以計算出行星運(yùn)行軌道的方程.

教師 你知道關(guān)于橢圓的歷史嗎？

如果有學(xué)生知道，請學(xué)生介紹；如果沒有，播放介紹橢圓歷史的科普視頻.

設(shè)計意圖 把數(shù)學(xué)與折紙游戲結(jié)合在一起，既能勾起學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，又可以活躍課堂氛圍，自然地引入了今天要學(xué)習(xí)的橢圓.讓學(xué)生回憶生活中見到的橢圓，是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察身邊的事物，把數(shù)學(xué)知識與生活相聯(lián)系.在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生了解到橢圓的悠久歷史，積累數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

3.2 探索新知

問題1 同學(xué)們，你知道這些形狀優(yōu)美的橢圓是怎么得到的嗎？

學(xué)生發(fā)言，隨后請一位學(xué)生回顧圓的定義.教師拿出準(zhǔn)備好的無彈性的細(xì)線，請一位學(xué)生根據(jù)圓的定義在黑板上畫出一個圓.教師引導(dǎo)學(xué)生找出圓的定義中的關(guān)鍵詞——“一個定點(diǎn)”“定長”.

問題2 改變這兩個關(guān)鍵詞，得到的圖形還會是圓嗎？可以得到橢圓嗎？

組織學(xué)生四人小組合作，先改變一個關(guān)鍵詞，看看能得到什么.教師巡視，適時點(diǎn)撥.讓兩位同學(xué)配合在黑板上畫出橢圓，并用語言描述作圖過程.隨后教師在幾何畫板上演示橢圓的形成過程，提示學(xué)生觀察屏幕上的三個數(shù)據(jù)是怎樣變化的.

學(xué)生觀察橢圓的形成過程，類比圓的定義概括出橢圓的定義.隨后教師介紹兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.設(shè)疑：你能借助8cm長的細(xì)線畫出焦距為10cm的橢圓嗎？最后補(bǔ)充常數(shù)要大于F1F2，得到完整的定義.

問題3 通過探究，我們已經(jīng)知道了橢圓的定義，你認(rèn)為接下來我們可以從哪些方面研究橢圓？

學(xué)生有了學(xué)習(xí)圓的經(jīng)驗(yàn)知道還可以研究橢圓的方程和性質(zhì).

問題4 橢圓的定義中有哪些已知量？為了求得橢圓的方程，怎么處理這些已知量？

焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的距離是已知的，教師指出把它設(shè)為2c，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和是已知的，設(shè)為2a.

問題5 求橢圓方程的步驟是什么？

引導(dǎo)學(xué)生回顧求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：建系→設(shè)點(diǎn)→列式→化簡.通過類比，得出求橢圓方程的步驟.

問題6 你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可以使橢圓方程比較簡潔？

學(xué)生能判斷出橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，再聯(lián)想到之前學(xué)過的圓、函數(shù)的圖象，可以初步得出“以對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸所求方程比較簡單”的結(jié)論.按上述結(jié)論建立坐標(biāo)系后，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P（x，y），由“橢圓上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于2a”得到一個等式：PF1+PF2=2a，即（x+c）2+y2+（x－c）2+y2=2a（*）.顯然，以方程（*）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上；橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)都是方程（*）的解，所以（*）式就是橢圓的方程.并告知學(xué)生2a，2c是為了避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美.

問題7 （*）式看起來非常復(fù)雜，如何化簡這個方程？

學(xué)生獨(dú)立思考，教師投影學(xué)生的化簡過程，請學(xué)生簡要陳述.要說明，為了體現(xiàn)方程形式的簡潔美，令b2=a2－c2（b>0），方程可化為x2a2+y2b2=1（a>b>0），這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

問題8 除了兩次平方法，你還有別的方法計算（*）式嗎？

如果學(xué)生有想法，教師要關(guān)注學(xué)生是怎么想到這種方法的，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言并驗(yàn)證.如果沒有，教師提供其他的幾種方法：

方法1 “和差數(shù)”法，法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)首次采用這種方法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.先讓學(xué)生觀察（*）式的結(jié)構(gòu)特征，如果是兩數(shù)相加等于2a，能否聯(lián)想到關(guān)于等差中項(xiàng)的知識：p，a，q成等差數(shù)列等價于p+q=2a，（*）式中是兩式相加，即（x+c）2+y2，a，（x－c）2+y2成等差數(shù)列.在學(xué)習(xí)數(shù)列時遇到此類問題，通常設(shè)這三個數(shù)分別為a-d，a，a+d.這里可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)（x+c）2+y2=a－d，（x－c）2+y2=a+d.

方法2 “平方差”法，最早使用此法的是英國數(shù)學(xué)家賴特，這種方法利用平方避免了根式，再巧妙地運(yùn)用平方差公式，也是學(xué)生容易接受的一種方法.設(shè)（x+c）2+y2=d1，（x－c）2+y2=d2，d1+d2=2a.

將兩種方法的推導(dǎo)過程留作課后探究作業(yè).

設(shè)計意圖 教材上的“兩次平方”法是化簡含有兩個根式的通法，雖然可以鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力，但仍有些許繁瑣.向?qū)W生介紹不同解法，有助于學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)、開闊思路，在日后做練習(xí)時進(jìn)行遷移.

問題9 現(xiàn)在把橢圓逆時針旋轉(zhuǎn)90°，橢圓發(fā)生了什么變化？它的方程還是x2a2+y2b2=1嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后橢圓的焦點(diǎn)從x軸“跑”到了y軸，由定義列出的等式變?yōu)椋▂+c）2+x2+（y－c）2+x2=2a（**），引導(dǎo)學(xué)生通過比較可以發(fā)現(xiàn)（*）式與（**）式的結(jié)構(gòu)相同，將（*）式中的x換成y就可以得到（**）式，所以焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）.以上兩個方程都是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

問題10 橢圓的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程有什么異同？如何由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個軸？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流討論.師生共同得出結(jié)論.

設(shè)計意圖 觀察比較（*）（**）兩式，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，避免了再一次復(fù)雜的計算.學(xué)生自行比較兩個方程的異同，可以留下深刻的印象，加深對橢圓的理解.

3.3 鞏固新知

練習(xí)1 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+y29=1，則a2=__________，b2=__________，焦點(diǎn)在__________軸，焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________.

練習(xí)2 下列哪些方程是橢圓方程？如果是，指出焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上.

（1）x23+y23=1；

（2）x2+y22=1；

（3）2x2+2y2=1；

（4）2x2+3y2=6.

練習(xí)3 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）a=4，b=3，焦點(diǎn)在x軸上；

（2）焦點(diǎn)為F1（0，－1），F(xiàn)2（0，1），且b=1；

（3）經(jīng)過點(diǎn)P（－2，0）和Q（0，－3）.

練習(xí)4 哈雷彗星的運(yùn)行軌道是橢圓（如圖），其近日點(diǎn)距離太陽0.59天文單位，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離太陽35.31天文單位，求出哈雷彗星運(yùn)行軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖 練習(xí)4與本節(jié)課伊始相呼應(yīng).課堂鞏固練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的環(huán)節(jié).針對教學(xué)目標(biāo)從不同的角度由易到難地設(shè)置練習(xí)題，可以考查學(xué)生對新知識的掌握情況，幫助學(xué)生鞏固知識，提高學(xué)生應(yīng)用知識的能力.

3.4 課堂小結(jié)

教師 這節(jié)課你收獲了什么？怎么求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

一定義（橢圓的定義），兩方程（橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程），三字母（a，b，c）.

先定位：確定焦點(diǎn)的位置，選擇方程的形式，再定量：用定義法或待定系數(shù)法求出a，b的值.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡單的梳理，使知識得以概括、深化.

4 結(jié)語

本文采用探究式教學(xué)對橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行研究，與傳統(tǒng)的接受式教學(xué)相比，雖然提升了學(xué)生在課堂中的參與度，增加了小組合作討論的機(jī)會，給予學(xué)生獨(dú)立思考的空間，但仍然耗時過長，有待改進(jìn).在實(shí)際的教學(xué)中，接受式教學(xué)與探究式教學(xué)是可以相輔相成、相互滲透的，如何在課堂教學(xué)中將探究式教學(xué)與接受式教學(xué)相融合，需要教師發(fā)揮能動性，把握好“度”.如果教師在教學(xué)中能認(rèn)真有效地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計、合理地組織和實(shí)施，把兩種教學(xué)方式結(jié)合起來，形成優(yōu)勢互補(bǔ)，必然會提高教與學(xué)的有效性.