一道高三二模試題的解法探究

周文建 古麗鮮?依斯拉木

摘要：圓錐曲線一直是高考中的重點、難點與熱點，在高考中所占分值大概在22分左右，試題類型通常是一個主觀解答題和兩個客觀選填題，試題難度中等偏高甚至較難，一直是命題教師比較重視的一個命題點，也是學生常見的失分點.作為命題教師，從命題和題解兩個角度解析一道?？級狠S客觀題，以助高三師生更好地把握此章節內容的考查.

關鍵詞：圓錐曲線；高考；核心素養

1 題目呈現

（2023年烏魯木齊地區第二次質量檢測＼515）F1，F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，A為下頂點，M，N為橢圓上關于x軸對稱的兩點，若點M，F1，A在一條直線上，NF2⊥AM，則此橢圓的離心率是.

2 命題思路

作為高中知識體系里難度較高的一個章節，圓錐曲線問題理所當然成為高三?？济}的壓軸題選擇.在命題中圓錐曲線三種曲線類型一般都會涉及到，其中橢圓的內容是必考點之一，考慮到解答題使用拋物線作為考查背景，就將橢圓作為客觀題壓軸題背景，出現在?？嫉牡?5題位置.橢圓試題命制的出發點和背景比較廣泛，但是立腳點一般都是橢圓的定義、焦點三角形、焦點弦、離心率等較為常見的形式，考查模式也多是垂直、平行、比例、等角、正弦定理、余弦定理、內切或外接三角形等相融合.一般會設計多個角度和視角的解決思路，包括通解通法、注重定義、構建三角形、三角代換、極坐標等方法.

本題從學生非常熟悉的焦點弦、焦點三角形以及定義的融合出發，設計的考查形式也是學生喜聞樂見的垂直關系，給學生留下的思考空間也就比較廣泛.學生既可以使用通解通法，也可以使用極坐標焦點弦長公式，或者使用橢圓定義結合正弦定理與余弦定理來解決問題.綜合考查了學生發現問題、分析問題、提出問題與解決問題的能力，本題也體現出對數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模等數學核心素養的綜合要求.

3 解法探究

思路一：直譯通解通法——萬法之根本.

解析：設F1（-c，0），F2（c，0），A（0，-b），如圖1，

則kAM=kAF1=-bc，直線AM的方程為y=-bcx-b.

聯立y=-bcx-b，x2a2+y2b2=1，消y，得

b2+a2b2c2x2+2a2b2cx=0，

于是可得xM=-2a2ca2+c2，則yM=b（a2-c2）a2+c2，因此可得N-2a2ca2+c2，-b（a2-c2）a2+c2，

所以kNF2=b（a2-c2）c（3a2+c2）.

由NF2⊥AM，得kNF2kAM=-1，即

b（a2-c2）c（3a2+c2）=cb.

化簡，得a2=5c2，所以e=ca=55.

評注：通解通法一直是學生解決高考圓錐曲線問題的最常用方法，也是最有效的方法，優點是思維要求較低，準入門檻低，容易上手，但缺點就是運算較為復雜，多數學生不能通過運算有效解決問題.

思路二：巧用垂直關系、橢圓定義解決問題.

解析：設∠MF2F1=θ，則∠NF2F1=∠NMA=∠MAO=∠F2AO=θ，如圖2.

由NF2⊥AM，得∠AF2N+2θ=90°，所以可知∠MF2A=90°.

于是，有|F2M|2+|F2A|2=|MA|2，即（2a-|MF1|）2+a2=（a+|MF1|）2，

得|MF1|=23a.

所以|MF2|=43a.

在Rt△MF2A中，cos 2θ=a|AM|=aa+23a=35.

又因為cos 2θ=1-2sin2θ=1-2ca2，所以1-2ca2=35，解得e=55.

評注：圓錐曲線的定義在解決圓錐曲線客觀題中往往可以起到意想不到的簡便作用，“有困難先找定義”應該是解決此類問題的首要反應.

思路三：巧用橢圓定義、正弦定理解決問題.

解析：設∠MF2F1=θ，則∠NMA=∠MAO=θ.

于是∠F1MF2=90°-2θ，∠MF1F2=90°+θ.

在△MF1F2中，可得|F1F2|sin（90°-2θ）=|MF1|sin θ=|MF2|sin（90°+θ），

即

2ccos 2θ=|MF1|sin θ=|MF2|cos θ=|MF1|+|MF2|sin θ+cos θ=2asin θ+cos θ.

所以ca=cos 2θsin θ+cos θ=cos θ-sin θ=ba-ca，即b=2c，解得e=55.

評注：圓錐曲線中邊角關系的考查往往都會建立三角形背景，而三角形中處理邊角關系最常用的手段就是正余弦定理，故在解決此類問題時要注重觀察是否可以構建三角形中的正余弦定理.

思路四：直角三角形中巧用焦點弦長公式.

解析：焦點在x軸上的橢圓的焦點弦長公式為|AM|=2ep1-e2cos2α，其中p=b2c.

設∠MF2F1=∠NF2F1=∠NMA=∠MAO=∠F2AO=θ，如圖3，直線MA的傾斜角為α.

由NF2⊥AM，得∠AF2N+2θ=90°，即∠MF2A=90°.

由α=π2+θ，得

cos2α=sin2θ=c2a2=e2.

于是|AM|=2ca·b2c1-e2·e2=2b2a（1-e4）.

在Rt△MF2A中，cos 2θ=a|AM|，即

a=|AM|（1-2sin2θ）=2b2a（1-e4）（1-2e2）.

整理，得a22（a2-c2）=1-2e21-e4，即5e4-6e2+1=0，又0＜e＜1，所以解得e=55.

評注：橢圓和雙曲線的第二定義及焦點弦公式，雖然現在教材中沒有直接體現，只是作為例題出現，但還是建議把它講解清楚，因為在高考中還是會經常遇到.

思路五：極坐標的靈活使用.

解析：以F1為極點，F1x為極軸建立極坐標系，如圖4.作MQ垂直極軸于點Q，F2N交AM于點R.

由ρ=ep1+ecos θ，p=b2c，得

|F1M|=ρ=ca·b2c1+ca·ca=ab2a2+c2，

所以|MQ|=ρsin θ=ab2a2+c2·ba=b3a2+c2，|F1Q|=ρcos θ=ab2a2+c2·ca=b2ca2+c2，|F2Q|=2c+b2ca2+c2.

又|F2Q||MQ|=|F2Q||NQ|=|F2R||RF1|=tan θ=bc，即2c+b2ca2+c2b3a2+c2=bc，

化簡得a2=5c2，所以e=ca=55.

評注：新教材中雖然已經刪除極坐標的內容，但是作為一個經典的知識內容，它對于平面解析幾何的作用還是非常明顯的.因此，還是建議基礎好的學生對此有深入了解，因為它在解決很多平面解析幾何問題中有其獨到的優勢.

4 反思與啟示

高考題是立足基礎而又充滿創新，絕不是孤立的知識點的考查，也不是單純對某個知識點的簡單考查，高考題往往是由教材的基礎知識、數學思想、經典的基本方法和數學核心素養深度整合而成的.這就要求師生在平時要多維度、多視角地深入研究，強化思考能力，真正進入深度學習，很多時候甚至可以引入一些高等數學的數學思想和方法；需要感悟教材的編寫意圖、挖掘數學知識本質、搭建數學知識脈絡、探根尋本，然后從不同的視角思考問題，從而提升學生的關鍵能力和數學核心素養，以在高考中取得“先手”.