老師，為什么可以這樣求最大公因數

蔣世雷 張宇瓊

［摘? 要］ 在小學數學教學中部分教師過分關注知識“是什么”和“怎么做”，較少關注“為什么”。教師只有深入研讀課標和教材，把握數學的本質，強化對數學本質的理解，弄清知識的來龍去脈，基于數學理解進行教學設計，才能取得理想的教學效果。

［關鍵詞］ 最大公因數；數學理解；教學設計

一、學生的疑問：老師，為什么可以這樣求最大公因數

近日，筆者觀摩了一名青年教師執教“最大公因數”的公開課（內容見圖1）。在教學中，筆者發現這名教師沒有深研教材編寫者的意圖，而是機械地教學：先用12和30的公因數2去除12和30；然后用公因數3去除，一直除到商2和5只有公因數1（即商是互質數）為止；最后把所有的除數2和3連乘起來，就得到12和30的最大公因數是2×3＝6。教師通過大量的練習引導學生遵照這個方法去做，讓絕大部分學生掌握求兩個數的最大公因數的方法。

課后筆者正準備與這名教師交流，不料有個學生拿著數學教材走了過來，向他請教：“老師，今天的課我知道了怎么用短除法來求兩個數的最大公因數，但我有個疑問：為什么可以這樣求最大公因數呢？”

見此情形，筆者不禁莞爾一笑：這個孩子真不簡單！因為他知道數學學習不僅要“知其然”，還要”知其所以然”。

二、我們的追問：為什么要重視理解

雖然課改已實施多年，但在教學實踐中，特別是在計算、幾何等領域的教學中，部分數學教師受傳統教育的影響過度強調對定義、定理、法則、公式的灌輸與記憶，不太注重對這些概念、知識的發生、發展、運用過程的揭示與解釋，造成部分學生只會根據“法則”來進行計算，只會根據“模型”來解決問題，但不理解為什么可以這樣做。這樣的現象常常發生在一節課的新授環節，教師過分關注知識“是什么”和“怎么做”，較少關注“為什么”，更不用說基于學生實際去關注“還可以怎么做”和“為什么還可以這樣做”。即使部分教師關注“為什么”，常常也是淺嘗輒止，留給學生動腦思考、理解、消化的時間很少，而是騰出更多時間來做大量的練習，其中不乏機械式、模仿式的練習。這從表面上來看，教師好像完成了一節課既定的教學任務，學生“掌握”得也不錯，顯得非常“高效”。但實質上，學生理解不透徹，只會“按部就班”“依樣畫葫蘆”，一遇到稍微有點變化的問題就手足無措，不知從何下手，顯然這是一種“偽高效”。

英國學者斯根普認為，數學學習通常有兩種理解方式：工具性理解和關系性理解。工具性理解是指一種語義性理解，比如符號A所指代的事物是什么，或指一種程序性理解；一個規則R所指定的每一個步驟是什么、如何操作。簡言之，工具性理解就是按照語詞的本意和計算程序進行操作，即只知是什么或怎么做，不知為什么。關系性理解則需要學習者認識知識意義和替代物的結構，獲得概念和規律（定律、定理、公式、法則等），以及規則本身所具有的邏輯依據等。簡言之，學習者不僅要知道是什么和怎么做，而且要知道為什么可以這樣做和還可以怎樣做。

因此，在教學中教師不僅要讓學生“知其然”，還要讓學生“知其所以然”，即注重強化學生對知識的真正理解。基于此，教師有必要在課堂教學中對學生的數學理解進行深入研究，以真正達到教學的有效和高效。

三、教師的對策：基于數學理解的教學設計

在實際的調研過程中，筆者發現：大部分教師雖然認識到數學理解的重要性，但面對“如何深刻理解數學的本質”“如何進行有深度的體現‘數學味的教學設計”“如何構建基于數學理解的有效課堂”等問題，仍存在許多困惑。下面筆者以“最大公因數”一課的教學為例，談談個人的一點看法。

求兩個數的最大公因數一般用短除法。西南大學版教材通過列舉出12和30的所有因數，找到12和30的公因數和最大公因數，通過例子指出可以像這樣用短除法求最大公因數（如圖1）：先用12和30的公因數2去除，再用公因數3去除，一直除到商2和5只有公因數1為止（即商是互質數為止），然后把公因數2和3乘起來就是它們的最大公因數。為什么可以這樣求兩個數的最大公因數呢？筆者認為，關鍵問題在于要引導學生發現：兩個數的最大公因數等于這兩個數公有的質因數的乘積。發現了這一規律后，學生就會理解求兩個數的最大公因數，關鍵就是找到這兩個數公有的質因數，然后把公有的質因數乘起來，就能求出它們的最大公因數。同時，數學講求簡捷，在比較中改進，從而得到更簡便的用短除法求最大公因數的方法。

為此，筆者在教學中對本環節教學進行了改進。

1.用列舉法找到兩個數的最大公因數，理解什么是公因數和最大公因數

教學片段1：

出示例題，學生齊讀例題：一張長30cm、寬12cm的長方形紙，剪成大小相等的正方形且沒有剩余，這個正方形的邊長最大是多少厘米？

師：想一想這個正方形的邊長與長方形的長和寬有什么關系？

生1：這個正方形的邊長既是長的因數，又是寬的因數。

師：大家同意嗎？

生（齊聲答）：同意。

師：那么求這個正方形的邊長最大是多少厘米，實際上就是求什么？

生1：實際上是求既是長的因數又是寬的因數中最大的一個。

師：你們準備怎么找到既是長的因數又是寬的因數中最大的一個？

生2：可以把長的所有因數和寬的所有因數列舉出來，再圈出它們公有的因數，從而找到它們公有的因數中最大的一個。

師：請同學們就用生2說的方法找一找。

學生自己列舉出12和30的因數，再找出它們公有的因數和最大的一個公有的因數后進行匯報。

師：誰找到了？上臺來給大家說說。

生3（上臺邊板書邊匯報）：我發現12的因數有1，2，3，4，6，12；30的因數有1，2，3，5，6，10，15，30。所以12和30公有的因數有1，2，3，6。最大的一個是6，所以這個正方形的邊長最大是6厘米。

師：大家同意嗎？

生（齊聲答）：同意。

師（出示課件，如圖2）：通過剛才的活動，同學們用列舉法先分別列舉出12和30各自的因數，找到了它們公有的因數有1，2，3，6。最大的一個是6，所以這個正方形的邊長最大是6厘米。

師（出示課件）：1，2，3，6是12和30公有的因數，叫作12和30的公因數。其中6 是最大的一個公因數，叫作它們的最大公因數。來，我們一齊讀一讀。

2. 用分解質因數法找到規律：兩個數的最大公因數等于這兩個數的公有的質因數的乘積

教學片段2：

師：剛才，我們用列舉法找到了兩個數的最大公因數。那么這兩個數和它們的最大公因數究竟有什么關系呢？下面我們一起來做進一步的研究。

請同學們將12、30和它們的最大公因數6分別分解質因數，你有什么發現？

生4：我先把12、30和它們的最大公因數6分別分解質因數，發現12和30都有質因數2和3，而把它們乘起來，就可以得到這兩個數的最大公因數6。

師（課件梳理，如圖3）：同學們的發現真不錯！把12、30和它們的最大公因數6分別分解質因數，發現12和30都有質因數2和3，而把它們乘起來，就可以得到這兩個數的最大公因數6。

師：是不是所有的兩個數的最大公因數都等于這兩個數的公有的質因數的乘積呢？接下來，我們通過兩組數來驗證。

出示活動要求：研究兩個數的最大公因數都等于這兩個數的公有的質因數的乘積嗎？

第1組數：12和18；第2組數：20和30。

（1）任選一組數，用列舉法找出這兩個數的最大公因數。

（2）將這兩個數和它們的最大公因數分解質因數。

（3）我的結論是（? ? ? ?）。

學生研究后匯報。

生5：我研究的是第1組數，12的因數有1，2，3，4，6，12；18的因數有1，2，3，6，9，18。12和18的最大公因數是6。將12、18和它們的最大公因數6分解質因數，12=2×3×2，18=2×3×3，6=2×3。我發現：兩個數的最大公因數等于這兩個數的公有的質因數的乘積。

生6：我研究的是第2組數，20的因數有1，2，4，5，10，20；30的因數有1，2，3，5，6，10，15，30。20和30的最大公因數是10。將20、30和它們的最大公因數10分解質因數，20= 2×2×5，30=2×3×5，10=2×5。我發現：兩個數的最大公因數等于這兩個數的公有的質因數的乘積。

師（課件梳理，如圖4）：同學們的表現真不錯！我們選取了兩組數，先用列舉法找出這兩個數的最大公因數，然后將這兩個數和它們的最大公因數分解質因數。發現：兩個數的最大公因數的確等于這兩個數的公有的質因數的乘積。

3.用分解質因數法求兩個數的最大公因數

教學片段3：

師：既然兩個數的最大公因數等于這兩個數的公有的質因數的乘積，那么求兩個數的最大公因數，除了用列舉法外，還可以怎么求？

生7：可以將這兩個數分解質因數，找到它們公有的質因數，把公有的質因數乘起來，就是它們的最大公因數。

師：來，我們一起用短除法做一做，先把12和30分解質因數，找到它們公有的質因數2和3，然后把2和3乘起來，就得到12和30的最大公因數是6（如圖5）。

4. 將分解質因數法改進為短除法

教學片段4：

師：剛才，我們用短除法分別將12和30分解質因數，求出了它們的最大公因數。但是數學要講求簡捷，我們可以將兩個短除式合并在一起，像下面這樣求兩個數的最大公因數。（出示下面的短除式，如圖6）

先用公有質因數2去除…… 2? ?12? 30

再用公有質因數3去除……? ?3? 6? 15

2? ?5

12和30的最大公因數是2×3=6。

師：同學們能看懂嗎？誰來給大家介紹介紹？

生8：把12和30并排寫在一起，先用它們公有的質因數2去除，12除以2得6，30除以2得15；然后用它們公有的質因數3去除，6除以3得2，15除以3得5，2和5沒有公有的質因數，到此為止。把它們公有的因數乘起來2×3=6，就找到了12和30的最大公因數。

5. 比較3種方法，選擇自己喜歡的方法并說明原因

改進教學后，學生掌握了3種找兩個數的最大公因數的方法，對3種方法之間的聯系理解得比較深刻，也對找兩個數的最大公因數時“為什么一般要用短除法”“為什么可以這樣用短除法”的理解比較透徹，同時對最大公因數的來龍去脈一清二楚。在后面的最小公倍數教學中，教師也可以利用最大公因數的學習經驗和方法進行教學，真正達到讓學生“知其然”且“知其所以然”的目的。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“教學建議”中明確要求教學要“整體把握教學內容”“注重教學內容的結構化”，即在教學中重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。教師既要了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖；又要強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構。通過合適的主題整合教學內容，能幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養。

因此，在小學數學教學中，教師只有深入研讀課標和教材，把握數學本質，強化對數學本質的理解，弄清知識的來龍去脈，適度整合教學素材，基于數學理解進行教學設計，才能取得理想的教學效果。