在活動中培養幾何直觀

曹建英 唐珺

[ 摘 要 ]根據陶行知先生的“知行合一”理念，為探索育人方式，豐富學生的學習方式，激發學生的學習興趣，文章通過一節動手拼圖課從“形”的角度引導學生對整式的乘法進行再認識，在拼圖過程中積累活動經驗，培養幾何直觀.

[ 關鍵詞 ]數形結合；幾何直觀；整式乘法

基金項目：江蘇省中小學教學研究第十四期課題“融合理念下初中數學學科德育的實踐研究”（2021JY14-L08）.

問題提出

陶行知認為“行是知之始，知是行之成”“教學做合一”.《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出，“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程……學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”.本文以“拼圖：整式的乘法再認識”教學為例，通過操作實驗、合作探究等多種學習方式，讓學生在活動中學習、感悟、體會數形結合思想方法，從而培養幾何直觀.

蘇教版教材七年級下冊（2013年）第9章“整式乘法與因式分解”中“整式乘法”一課都是通過兩種不同方法計算長方形的面積得到等式，也就是采用“算兩次”的思想，目的是借助圖形的直觀，使學生易于發現結論.這樣的情境引入固然可以，但缺乏思考性，比如，是如何想到將整式乘法與圖形面積聯系起來的呢？所以實際教學時教師要融合這一章和前一章“冪的運算”，從數學內部發展的需要（從整式的加減到整式的乘除）出發，根據乘法運算律探討獲得整式乘法法則.在整式乘法課程結束后再安排一節活動課，一方面帶領學生從“形”的角度再認識整式乘法，另一方面為后續學習因式分解做鋪墊.當然，活動課前也存在多種疑慮：首先，學生剛學完整式乘法，如何實現從“數”的研究轉為“形”的研究？其次，當個別學生在拼圖中遇到阻礙時，是個別指導還是集體交流？會不會因此影響教學進度，完不成教學任務？最后，既然是活動課，那么學生要用的導學單肯定和其他課不一樣，如何設計活動課的導學單更利于學生使用？

教學之策

基于以上疑慮，筆者首先確定了導學單的樣式——模仿物理和化學學科自制了一份類似的實驗報告；其次，整式加減以及整式乘法的運算法則都是類比有理數的，所以這節課依然順著這個思路，用類比思想從“數”的角度開始研究；再次，對于課堂中部分學生拼圖時出現的典型問題，先通過小組合作解決，組內不能解決的再集體展示、交流、思考.具體教學流程如下.

1.以數啟思

問題1 你如何理解6這個數？

追問：“6=2×3”這樣的形式能不能從幾何的角度來理解呢？

預設：可以表示長為3、寬為2的長方形的面積.

問題2 3a？b（a>b>0）又可以怎樣理解？

預設：3ab=3a？b，表示長為3a、寬為b的長方形的面積；

或3ab=a？3b，表示長為a、寬為3b的長方形的面積.

【設計意圖】 本節課的起點依然是整式，與之前探索整式乘法一樣，借助數的研究過渡，追問就起著承上啟下的作用.通過對數字6的理解，教師啟發學生思考整式3a？b（a > b > 0）的意義，可以說是順勢而為，學生易于理解和接受.問題2則將學生引入活動課，激發了學生的學習熱情和好奇心.

2.以拼助想

問題3 如圖1，有三種卡片：A型卡片（邊長為a的正方形）、B型卡片（邊長為b的正方形）、C型卡片（長為a，寬為b的長方形）.

請用這三種卡片拼出長為3a、寬為b的長方形和長為a、寬為3b的長方形，并把它們畫在報告單上，注意標上必要的線段的長度.

預設：學生獨自探索，嘗試拼出這兩種長方形，并完成報告單；教師巡視，對個別拼圖困難的學生進行指導；最后引導學生根據所畫圖形從幾何角度理解整式乘法的意義，即如果將3ab = 3a？b反過來看，3a？b = 3ab就是之前所學的單項式乘單項式，從幾何角度看，等式左邊表示一個長為3a、寬為b的長方形的面積，而等式右邊表示3個長為a、寬為b的長方形面積之和.

例1 根據整式乘法的幾何意義，請嘗試用這三種卡片拼圖，并完成相應的實驗報告：

（1）2b（a+b）；

（2）（a+2b）（a+b）；

（3）（a+b）？？2.

預設：學生先獨立思考，再小組交流，最后由代表展示成果，教師不做個別指導.教師明確要求在拼圖前，根據乘法算式的特征猜想即將拼成的長方形的特征；通過師生交流，大家一致認為先拼一邊，再去湊另一邊，最后一定是一個長方形；學生投影展示拼成的效果圖以及用到的材料；學生根據兩次計算圖形面積得到以上三個整式相乘算式的結果.

【設計意圖】 七年級的學生正處于由具體的形象思維向抽象的邏輯思維過渡的階段，因此說出以上幾個整式相乘的幾何意義很容易，但要直接畫出相應的長方形肯定有困難，所以畫圖前他們還是像引例那樣先拼圖，拼完后再照著畫.著名心理學家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展.”教學時，教師要讓學生在實踐中感知“我拼出來了”“我會畫”.最后通過觀察圖形特征，計算圖形面積，獲得算式結果，旨在培養學生的幾何直觀.

3.以變激趣

問題4 請嘗試用這三種卡片拼出長為（a + b）、寬為（a - b）的長方形，并完成報告單.

例2 根據整式乘法的幾何意義，請嘗試用這三種卡片拼圖，并完成相應的實驗報告：

（1）（3b-a）（a+b）；

（2）（a-b）？？2.

預設：學生獨自或小組合作完成.

【設計意圖】 例1中幾個算式括號內的式子只涉及加法，可以先拼一邊，再拼另一邊，學生不斷嘗試，最后拼成一個大長方形.拼接時只需一張接著一張，無縫隙、無重疊續拼就可以了.而例2中括號內的式子含有減法，且式子比問題4的要復雜些，當學生在合作解決問題4的過程中積累了一定的拼圖經驗以后，會對例2有更濃的探究興趣，并生發出征服難題的欲望.

4.以練增智

已知圖4是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四個小長方形，然后按圖5的形狀拼成一個正方形.

（1）圖5中陰影部分（正方形）的邊長等于多少？

（2）請用兩種不同的方法求圖5中陰影部分的面積.

（3）觀察圖5，你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？

（m+n）2，（m-n）2，mn.

（4）根據（3）中的等量關系，解決以下問題：若a+b=6，ab=3，求（a-b）2的值.

【設計意圖】 有了前面的活動經驗，學生在掌握了“數”與“形”的關系后，易于從圖形面積的角度解決此問題，這能很好地培養學生的幾何直觀，同時能讓學生明白學數學是為了用數學，體現數學的應用價值.

5.以思促能

知識層面：通過這節課，你對整式的乘法有何新的認識？

方法層面：在拼圖過程中，你積累了哪些活動經驗？

能力層面：你的哪些能力得到了鍛煉或提高？

【設計意圖】 學生根據問題分享各自的想法，起到回顧整節課并進行反思的目的.

報告單見表1.

教學反思

1.幫助學生積累活動經驗

陶行知在《教學做合一下之教科書》中給“做”下了一個定義：“做”是在勞力上勞心.因此，“做”含有三個特征：行動，思想，新價值之產生.

在例1的拼圖環節，有的學生拼的方式與預設的不同，如圖6，教師首先要肯定這樣的拼法完全正確——雖然和預設的圖7不同；其次，要鼓勵那些拼出圖8但沒有繼續往下拼的學生，要鼓勵他們有一路走到底的勇氣，成功僅一步之遙；最后，要幫助學生總結拼出圖形的方法，不能一味地讓學生嘗試，要讓學生在不斷嘗試后學會沉淀成功的經驗：先根據學過的整式乘法計算出算式的結果，根據每一項及其系數預測需要用到的卡片類型和張數，縮小選擇的范圍，再來拼，這樣較容易；拼的時候要注意一行行對齊，有利于畫圖.這就符合“做”的前兩個特征，即從“行動”到“思想”.接著，讓學生往深處思考：能否不通過拼而直接畫出如（a + b + c）2的長方形，并依據圖形得到結果？這樣這節課活動的目的就算真正達到了——“拼是為了不拼”，體現“做”的第三個特征——新價值之產生.

2.關注思想方法，培養幾何直觀

本節課是體現數形結合思想的大好機會，華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合千般好，數形分離萬事休.”教學中教師要多引導學生積累從“數”與“形”兩個角度認識數學的經驗.數形結合是研究數學問題的常用方法，更是培養學生幾何直觀的最佳途徑.史寧中教授也曾說過，“數學結論是看出來的，不是證出來的”，這就說明幾何直觀的重要性和優越性，它有助于學生探索解決問題的思路，能幫助學生借助圖形的直觀得到結論.