生長數學視角下中學數學概念教學

蔡華遠 程玉林

[ 摘 要 ]“生長數學”教學主張，強調對學生學習過程中生命自覺責任的關注，將教學定位錨定在學生生命綻放的層次，注重從生命的視角去播下數學的種子，然后生根發芽，直至枝繁葉茂，最終長成參天大樹，這也就實現了“用數學的精巧來演繹生命的精彩”.當面對概念教學而選擇了生長數學視角的時候，可以發現在該視角下，數學概念及其教學需要重新審視，其伴隨著兩點認識：初中數學概念的建構過程有著顯著的生長特征，概念教學過程中的生長主要表征為思維的生長.生長數學特別強調從問題中生長思維，這一點與上面所闡述的數學概念過程中的生長主要表征為思維生長一脈相承.生長數學還強調在探究的過程中促進學生學力的生長，實際上數學概念的教學也充滿探究性，將概念教學過程設計為具有問題解決性質的探究過程，客觀上也就可以促進學生學力的生長.

[ 關鍵詞 ]初中數學；生長數學；概念教學

基金項目：2022年晉江市基礎教育教學改革專項課題“生長數學視角下高中數學概念教學的案例研究”（JJ2022-ZX03）.

在課程改革大潮的涌動下，作為基礎學科之一的數學學科誕生了很多教學主張.這些教學主張一邊銜接著國家層面的課程改革思想，另一邊銜接著課堂層面的具體教學，表現出了極強的生命力.其中，江蘇省特級教師、正高級教師卜以樓老師提出的“生長數學”教學主張，強調對學生學習過程中生命自覺責任的關注，將教學定位錨定在學生生命綻放的層次，注重從生命的視角去播下數學的種子，然后生根發芽，直至枝繁葉茂，最終長成參天大樹，這也就實現了“用數學的精巧來演繹生命的精彩”.在這樣的比喻中，生長數學的理念得到了充分體現.學生建構并運用數學知識的過程就是一個生命生長的過程，而在生長數學的視角下去實施數學教學，自然也就讓數學教學的過程蘊含著生命的意義.

概念教學是數學教學的有機組成部分，概念教學的質量影響著整個數學教學的質量.對初中數學教學來說，一定要重視概念教學，學生學習數學概念的過程，不僅是知識筑基的過程，還是數學思想方法感悟的過程，是數學學科核心素養落地的基礎.《義務教育數學課程標準（2022年版）》提到數學學科核心素養發展的內涵要素包括：讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，學會用數學的思維思考現實世界，學會用數學的語言表達現實世界.在數學概念教學的過程中，學生的數學眼光會得到激活，數學思維會得到培養，數學語言的理解與運用能力自然也能得到提升.因此，數學概念教學中蘊含著數學學科核心素養的所有要素，如果能夠讓學生的數學概念形成過程具有生命生長的意義，那么這樣的概念教學也就擁有了生長數學的視角.下面以華東師大版義務教育教科書數學七年級下冊“軸對稱”概念教學為例，談談筆者對生長數學的理解，并試圖彰顯生長數學視角下初中數學概念教學的應有意義.

生長數學視角下的數學概念再審視

眾所周知，數學概念是數學知識體系的核心要素，學好數學概念是學好數學、用好數學的前提.但是從實際情形來看，概念教學在整個初中數學教學體系中的應有地位卻沒有得到凸顯，其中的一個重要原因就是應試.應試導向下的初中數學教學，概念教學被邊緣化，原本屬于概念教學的時間被節省出來用于“刷題”，而學生在刷題過程中所形成的能力，也確實在很大程度上支撐學生獲得較高的考試分數.這樣的現實在帶來較好應試效果的同時，客觀上又讓學生在數學學習的過程中難以獲得生命體驗，學生所經歷的數學概念建立過程自然也就沒了生命的意義.所以，當面對概念教學而選擇生長數學視角的時候，可以發現在該視角下，對數學概念及其教學需要重新審視.對此筆者有以下兩點認識：

認識一，初中數學概念的建構過程有著顯著的生長特征.

縱觀初中數學體系中的概念，可以發現相當一部分數學概念都源于日常生活或生產需要，因此如果能夠從學生的生活出發，從學生能夠理解或體驗到的生產過程出發，去確定數學概念建構的起點，然后經過數學抽象以及數學語言等的運用過程，就可以幫助學生建立起對一個個數學概念的認識.所以，從生長數學的視角來看，數學概念并不是用數學語言所描述的冷冰冰的概念，而是學生從經驗系統當中一步步經過思維加工而獲得的具有生命力的概念.如果能夠讓學生經歷這樣的建構過程，那么數學概念就會在學生的數學知識系統中表現出較強的生命力，學生便更能夠讀懂這些概念，更能夠在相應的場合中將這些數學概念自如運用，這本身也是數學概念表現出生命生長意義的體現.

認識二，概念教學過程中的生長主要表征為思維的生長.

將學生建構數學概念的過程演繹為生命生長的過程，一方面呼應生長數學的基本理念，另一方面是在新課改的背景下構造初中數學課堂教學的應有愿景.人們常說“思維是世界上最美的花朵”，縱觀數學發展的歷史，具有一定初中數學教學經驗的教師都能夠意識到，數學概念的建構過程對學生的思維有著極高的依賴程度，如果在數學概念學習過程中，學生沒有思維參與，那么學生所學到的數學概念只能是一個個文字，很難真正讀懂數學概念的內涵.反之，數學概念的建構過程，一定伴隨著學生的思維不斷深入的過程，這樣一個過程與學生思維的生長緊密聯系在一起，從而讓概念建構與思維深入之間形成良好的互相依賴以及互相促進的關系.于是，數學概念的教學過程就可以表征為學生思維生長的過程，這自然也凸顯了生長數學的應有內涵.

生長數學視角下的概念教學再實踐

通過上面兩點分析可以發現，生長數學的提出，實際上基于“教育即生長”以及課標要求，源于如今很多數學課堂忽視學生能力培養的現實.進一步的研究則表明，生長數學的目的是改變如今“教學過渡技巧化、內容過渡膚淺化、知識過渡碎片化”的數學課堂狀況.從數學概念的教學入手，可以給試圖進入生長數學范式的教師提供更多的研究抓手，自然也能夠讓學生在概念學習的過程中獲得更好的體驗.

“軸對稱”是初中數學中的基本概念，表征著平面幾何中圖形的基本關系.從當前初中生生活經驗的角度出發，可以發現在學生的經驗系統中存在著不少與軸對稱相關的素材，這些素材可以成為軸對稱概念教學的起點.與此同時，應當注意到，學生在生活中所獲得的關于軸對稱的認識，更多地依賴于具體的圖形，學生還很難用數學語言去描述.因此，軸對稱概念的教學過程，又是將學生的形象認識轉化為抽象認識、讓學生用數學語言表征軸對稱表象的過程.如果能夠實現這樣的教學思路，那么也就能夠體現出生長數學的基本特征.

生長數學特別強調從問題中生長思維，這一點與上面所闡述的數學概念建構過程中的生長主要表征為思維生長一脈相承.那么對于軸對稱概念的教學而言，如何去設計問題并讓學生的思維得到生長呢？筆者以為可以這樣設計教學：

首先，給學生提供2～3個生活中的軸對稱場景.此時可以參考教材的相關設計，比如“山倒映在湖中”，這就是對稱景象.當有了2～3個例子作為鑰匙的時候，學生就能夠打開經驗系統中與軸對稱相關的大門.幾乎所有學生都能舉出若干個軸對稱的生活例子.

其次，讓學生抽象自己所舉的例子.這里所說的抽象自然是指數學抽象，也就是將例子中與“數”和“形”（此時主要是“形”）無關的因素如顏色、亮暗等除掉，只留下“形”的特征.這樣得到圖形后，再進一步讓學生去分析與歸納，學生就會發現所有經過抽象的圖形都具有一個共同特征，那就是“沿某條直線對折，對折后的兩部分能夠完全重合”.當這一認識形成時，就意味著軸對稱圖形的表象在學生的大腦中變得非常清晰，“完全重合”能夠成為學生判斷圖形是否對稱的重要指標，而用來對折的那條“直線”也成了學生判斷軸對稱圖形的重要依據.當學生有了這樣的認識后，教師就應當引導學生借助數學語言去描述，于是軸對稱圖形、對稱軸的概念也就呼之欲出了.

分析上面這樣一個軸對稱概念的建立過程，可以發現學生的思考是循序漸進的，從生活中的軸對稱圖形到數學中的軸對稱圖形，從用圖片來表征軸對稱圖形到用圖形來表征軸對稱圖形，再到用文字來表征軸對稱圖形，意味著學生的思維從形象向抽象切換，從低階向高階切換.這自然是思維的生長，充分體現了生長數學的特征.

從數學概念的學習到數學思維生長

從上面的理論分析以及案例解讀中，可以發現一個明顯的線索，那就是學生在體驗生長數學的過程中，總會存在一個時空足夠的數學抽象過程，這一點對于初中生而言至關重要.作為數學知識體系基石的數學概念，在學習的時候不直接從抽象的圖形或文字入手，而是從學生有感知、有經驗的生活場景入手，那就更容易激活學生的思維——此時的思維自然是形象思維.初中生在思考問題的時候，往往是從形象思維切入的，因此這樣的概念教學設計非常符合初中生的認知規律.

與此同時，生長數學視角下的概念教學，有著顯著的伴隨思維生長而生長的特征.從學生開始感知生活事物的那一刻開始，學生的形象思維就被激活；當學生面對多個事物需要分析的時候，異中求同的體驗會讓學生的思維逐步從形象走向抽象；當學生的分析有了結果的時候又需要進行綜合和歸納，必要的時候還會進行演繹，于是抽象思維的特征會更加明顯，思維生長也在同步發生.

如果把數學概念的建立過程理解為問題解決的過程，那么學生經歷分析問題的過程，就可獲得數學思維的生長.數學概念的建立過程能否理解為問題解決的過程？這是一個值得思考的問題，對這個問題的回答也反映了教師的教學理念.如果認為數學概念的學習就是數學概念定義的解讀，那么自然談不上問題解決；如果認為數學概念的學習是學生用數學思想方法，借助思維加工事物，最終抽象得出共性認識的過程，那么這樣的概念教學就是問題解決的教學.很顯然，生長數學的理念決定概念教學應當取后一種理解，這樣才能夠讓概念建立的過程成為促進學生思維生長的過程.

實際上，數學概念建立的過程是非常復雜的，其中每一個環節都需要學生思維深度參與.生長數學還強調在探究的過程中促進學生學力的生長，實際上數學概念的教學也充滿探究性.比如上面所舉的軸對稱概念教學的例子，生活中自然存在的軸對稱景象能夠給人帶來美的感受，人們在生活與生產中也會借助軸對稱來滿足自己的審美需要.其中的核心元素就是軸對稱，而從生活向生產過渡，除了思維的演繹，具體到學生學習過程中就體現為學力的生長.因此，如果將概念教學過程設計為具有問題解決性質的探究過程，客觀上也就可以促進學生學力的生長.

用反思來保證生長數學的可持續性

初中生具備一定的反思能力，在經歷了體驗感很強的概念學習過程后，能夠透過概念的建立過程認識到其中的思維存在，是保證生長數學具有可持續性的關鍵.這一點依賴于學生的深度反思，與之相對應的學習過程可以稱為反思性學習.

反思性學習是學生對自己的學習活動過程的再思考與再審視，能促進學生對數學深層次的理解，萌發更強烈的數學創新意識，獲得數學學習生長的力量.在包括概念教學的所有努力中，教師都有必要去引導學生進行反思，反思的對象主要是指數學概念的建立過程，如果要說得更細致一點，還包括問題是如何提出的、自己是如何思考的、在描述數學概念的時候又是如何從生活語言向數學語言過渡的……所有這些問題的重新思考與深度反思，都能夠促使學生在回顧概念建立過程的同時，對相關的數學思想方法，甚至對數學學科核心素養內涵要素所涉及的內容有所感知.此時即使學生不能用專業的數學語言來描述自己的感受，也一定能夠形成更好的數學課程認識與數學學習認識，這也就提高了學生的學習效益，是學生思維生長甚至生命生長的另一個注腳.