基于“空間觀念”發(fā)展的數(shù)學實驗教學探索

[摘? 要] 研究者在實驗操作的基礎上，以“簡單幾何體模型”的教學為例，分別從“借助實驗從實物中抽象圖形，借助實驗從不同方向觀察圖形，借助實驗探索圖形的規(guī)律，借助實驗理解幾何體的組成”四個方面開展教學與分析，促進學生數(shù)學空間觀念的發(fā)展。

[關鍵詞] 空間觀念;實驗;操作

空間觀念是學生學習圖形知識的基礎，對發(fā)展其核心素養(yǎng)具有重要意義。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出要將發(fā)展學生的數(shù)學空間觀念作為教學的主要目標之一。良好的空間觀念能有效促進學生抽象思維與空間想象力的發(fā)展，幫助學生更好地理解圖形知識，提升創(chuàng)造力。在小學階段，學生可以通過對簡單幾何體模型的探索培養(yǎng)空間觀念。

一、借助實驗從實物中抽象圖形

教師將簡單幾何體模型作為實驗工具，引導學生從視覺與觸覺的角度去感知典型實物，能有效幫助學生積累活動經(jīng)驗，充分發(fā)揮學生的想象力，讓學生從相應的表象中抽象出簡單的平面圖形或幾何體，實現(xiàn)圖形的二維與三維互相轉化。

案例1? “認識圖形”的教學

這是小學低年級的教學內容，教學重點在于引導學生通過拼一拼、看一看、分一分、摸一摸、想一想等活動，從實物中抽象出立體圖形，初步認識什么是正方體、長方體、球與圓柱等。教師要引導學生通過對這些立體圖形的觀察，將圖形和相對應的名稱聯(lián)系起來，以判別生活中什么形狀的物體屬于哪種圖形。

分組：同桌為一個小組。

活動材料：9塊積木、1個不透明袋子、1支鉛筆、1個相對面為正方形的長方體、1枚硬幣、4張不同顏色的卡紙。

活動安排：第一步，要求學生先自主搭積木，并對積木進行分類。有的學生按照形狀來分，有的學生按照顏色來分，教師可以適當引導，讓學生按照形狀進行分類;第二步，要求學生觀察并閉眼摸一摸積木;第三步，教師初步解釋各個積木的名稱與形狀;第四步，一人說名稱，另一人將相應的卡片舉起;第五步，將積木、硬幣、鉛筆等置于不透明的袋子中，讓學生從中摸出指定形狀的積木，或者任意摸出積木并說明其形狀。

以上活動以學生熟悉的物品作為活動素材，給學生提供充足的時間與空間，讓學生自主探索不同圖形的物品，在大腦中初步建立平面圖形與簡單的幾何體。這種設計既有趣又貼近學生的生活，很容易激發(fā)學生的探索欲，提升教學效果。在探索過程中，教師要遵循學生認知發(fā)展規(guī)律，有計劃、有目的地組織活動，幫助學生更好地抽象幾何圖形，并要求學生結合圖形想象相應的物體，從而對二維與三維圖形的轉化形成良好的體驗。

二、借助實驗從不同方向觀察圖形

將簡單的幾何體模型組合在一起，能形成良好的實驗工具。學生通過對簡單幾何體模型組合體的觀察，在大腦中能形成不同的方向感，如上面、左面、前面等。教師要鼓勵學生將自己從不同角度看到的圖形通過拼或畫表述出來，進一步鞏固觀察經(jīng)驗。學生積累足夠的經(jīng)驗后，就能自主獲得從不同方位觀察物體的方法，并根據(jù)給定面的形狀拼搭出與之對應的幾何體模型組合體。因此，學生借助實驗從不同方向觀察圖形是發(fā)展自身空間想象力的基本途徑。

案例2? “觀察物體”的教學

本節(jié)課是中年級階段的課程，重點在于引導學生通過看一看、拼搭、想一想、畫一畫、說一說等活動獲得從不同方向辨認物體形狀的能力，并在對比中豐富研究經(jīng)驗，感知實物與形狀間的關系，從而獲得良好的空間想象力。

教師引導學生以同桌兩人組為單位進行實驗，活動材料準備：相同大小的小正方體8個，與小正方體邊長相等的正方形卡紙若干，邊長與小正方體邊長相等的方格紙。

如圖1，教師提供“L”形狀的物品，讓學生用小正方體照樣子拼搭出該形狀，并從不同的位置（前面、右側、上面）進行觀察，邊觀察邊思考自己看到了什么形狀？然后讓學生將自己看到的形狀用小正方形擺出來（如圖2）或在方格紙上畫出來（如圖3）。

教師將該“L”形的物品更換成“反L”形的物品，鼓勵學生按照這個樣子重新拼搭、觀察、拼圖與畫圖。

兩次拼圖、觀察與畫圖過程讓學生親歷了獨立思考、合作交流等過程，初步提煉出如下結論：①相同的4個小正方體能拼出不同的形狀;②從不同的角度觀察同一個物體，所看到的圖形不一樣;③不同的物品，若從相同的方向去觀察它，所看到的圖形有可能不一樣，也有可能是一樣的。

以上兩次實驗活動的開展，每個學生都主動參與了拼搭、觀察與畫圖的過程，充分發(fā)揮了空間想象力。方格紙與正方形卡紙的應用，促使學生將自己所看到的圖形直觀地展示出來，促進了思維的可視化。學生通過對兩次實驗的對比，積極思考，不僅獲得了如何觀察現(xiàn)實物品的能力，還體驗了生活實際中的物品與圖形間存在怎樣的對應關系，這是發(fā)展數(shù)學空間想象力的關鍵。

三、借助實驗探索圖形的規(guī)律

簡單的幾何模型經(jīng)過切割或組合可形成稍復雜的幾何體，教師可借助這些幾何體來輔助教學，讓學生借此探索簡單幾何體模型的規(guī)律。這些模型不僅具有直觀易操作等特征，還便于學生的感知、想象等，使學生通過對這些圖形結構特征與數(shù)據(jù)的分析形成簡單的推理，發(fā)現(xiàn)圖形間所存在的一些規(guī)律，這對發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力與空間感具有重要意義。

案例3? “正方體”的教學

本節(jié)課，教師引導學生通過拆解涂有顏色的正方體模型來觀察、猜想、驗證，積累活動經(jīng)驗，并通過對數(shù)據(jù)與圖形特征的分析，將空間推理與空間想象有機地融合在一起，獲得相應的數(shù)學規(guī)律。

學生以合作學習小組為單位，準備如下實驗材料：①4個表面涂有紅色的正方體，其棱長分別等分成2，3，4，5份（見圖4），且每1個正方體都具有可拆解性，經(jīng)拆解的正方體原表面的紅色與新露出來部分的顏色不一樣;②若干張邊長與小正方體任意面的邊長相等的正方形卡紙，邊長和小正方體任意面的邊長相等的方格紙。

師：觀察圖4（1），此為1個表面涂有紅色的正方體，其每條棱長都被平均分成2份，并能將這些等分線完全分開，原正方體能被分成幾個小正方體？

生1：8個。

師：分下來的小正方體顏色如何？

生2：拆分下來的小正方體，每一個都是3面紅色。

師：這個猜想是否成立呢？現(xiàn)在請大家取出我們課前準備好的正方體進行拆分，并思考為什么拆下來的小正方體3個面涂有紅色。

學生自主操作并交流，初步提煉出結論：拆解下來的小正方體，每1個都有3個面位于原大正方體的表面，因此這3個面都是紅色;另外3個面都是經(jīng)過拆解新暴露出來的，因此顏色不一樣。而且，拆解下來的小正方體位于大正方體上的位置是一樣的，均位于頂點處。基于以上分析，教師鼓勵學生以列表的方式來分析一個大正方體棱被均分成多份的情況。

實踐證明，拆解圖4（2）、圖4（3）、圖4（4）的過程與圖4（1）大致一樣，但拆解下來的小正方體位置不一樣，紅色的面也不一樣，因此這是一個開放性的實驗，需要學生動手、動腦積極思考與探索。

就圖4（2）來說，當拆解實驗完成后，教師可引導學生回顧圖4（1）與圖4（2）的實驗過程，對整個實驗步驟進行總結與提煉，讓學生感知“觀察模型—猜想—驗證—分析原因—確定數(shù)據(jù)”的步驟，為后續(xù)研究圖4（3）、圖4（4）奠定方法基礎，并引導學生將合作交流的結論完整地填寫在表格中（見表1）。

教師引導學生觀察表格中所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，聯(lián)系正方體模型，讓學生自主思考并交流探索規(guī)律。經(jīng)討論，學生共同總結出：1個大正方體的棱若被等分成n（n≥2）份，那么拆解下來的小正方體數(shù)量為n·n·n個，2個面與原大正方體顏色一樣的個數(shù)為12（n-2），3個面與原大正方體顏色一樣的個數(shù)為8，1個面與原大正方體顏色一樣的小正方體數(shù)量為6（n-2）·（n-2）。

為了進一步深化學生的理解，可在表1的下方再添加一行，讓學生分別將3面、2面、1面涂色的小正方體數(shù)量寫出來，讓學生感知除了第一列，其他每一列的總數(shù)都小于所切成小正方體的數(shù)量，為什么會這樣呢？由此引發(fā)學生的猜想、驗證與總結，獲得結論：少的是6個面均在大正方體中間，即沒有涂色的小正方體，分別有1，8，27個，即（n-2）·（n-2）·（n-2）個。

本實驗是將棱進行n等分的小實驗，由此組成了一個完整的系列實驗活動。整個活動過程由教師一開始的“扶”到后面的“放”，給予了學生充足的探索空間。因為學生十分清楚表格中的每一個數(shù)據(jù)是如何得來的，具有怎樣的實際意義，這就將原本看似復雜的數(shù)學規(guī)律揭示出來。學生通過自主觀察、發(fā)現(xiàn)、提煉，不僅掌握了相應的實驗方法，還發(fā)展了數(shù)學推理能力和空間想象力。

四、借助實驗理解幾何體的組成

簡單多面體與旋轉體都屬于簡單幾何體的范疇，小學高年級階段會接觸到一些簡單平面圖形，比如三角形、長方形、半圓等，在實操時教師常以其一邊或直徑作為軸進行旋轉，讓學生感知圓錐、圓柱或球是如何形成的。當然，學生在操作時還能反過來將所獲得的立體圖形展開，獲得展開后的平面圖形，感知平面圖形與立體圖形互相轉化的過程。

案例4? “簡單幾何體的制作、認識與設計”的教學

小學階段設計與制作幾何體的活動能為后期初中階段建構簡單幾何體的概念奠定基礎。因此在本節(jié)課授課時，教師可以圍繞簡單幾何體的形成而開展，引導學生初步感知一些簡單的分類標準與方法，這些內容都是后續(xù)學習的基礎。

第一步，如圖5（1）到圖5（8），用卡紙制作的簡單幾何體平面展開圖，要求學生觀察展開圖的同時思考怎樣折疊可將該圖圍成什么名稱的幾何體;第二步，將幾何體裝進不透明的袋子內，按照教師或學生的指令摸出相應幾何體，也可以隨意摸出幾何體來說一說它的名稱與特點;第三步，要求學生自主畫出相應幾何體的平面展開圖，說一說展開圖涉及的數(shù)據(jù)有哪些？剪下所畫的平面展開圖，進行幾何體的折疊，以驗證所畫圖形的正確性。

該實驗分成三個步驟實施，第一步在“做”的基礎上，鼓勵學生仔細觀察并想象，讓學生從直觀的角度來認識簡單幾何體，感知二維與三維圖形間存在的內在關聯(lián);第二步在“悟”的基礎上輔以豐富的想象與語言描述，讓學生進一步掌握簡單幾何體的基本特征，發(fā)展學生的空間想象力與語言表達能力;第三步在“創(chuàng)”的基礎上，鼓勵學生采用發(fā)散思維，從創(chuàng)造性的角度深化對簡單幾何體的理解。

這三個步驟互相勾連、融合，不僅遵循了學生認識簡單幾何體的基本規(guī)律，還成功地激發(fā)了學生的學習興趣與實際心理需求，讓學生不論在動手能力上還是思維上都深度參與到實操中，促進了學生學力的發(fā)展。

總之，開展實驗操作活動不僅對促進學生空間觀念的發(fā)展具有重要影響，還對發(fā)展學生的空間想象與推理能力具有重要作用。因此，實驗操作能改善學生的學習方式，是實現(xiàn)學科育人價值的重要途徑，值得每一位教育工作者去實踐與探索。

作者簡介：趙敏（1988—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數(shù)學教學工作。