單元整體視域下初中勾股定理復習課的教學設計研究

于志游 莫鄯仟 童莉

［摘? 要］ 《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調“結構化整合學習內容，發展學生的核心素養”，單元復習課是結構化整合學習內容的重要途徑之一，而以往的復習課重在知識講解，輕視結構體現和素養發展. 文章以勾股定理復習課為例，主要探究了教學中存在的問題，從單元整體視域探討了初中勾股定理復習課的設計思路，并根據設計思路進行了具體的教學設計，供教師參考.

［關鍵詞］ 單元教學；勾股定理；教學設計；核心素養；幾何直觀

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱新課標）的頒布，課程目標從知識本位時代過渡到素養本位時代，強調“結構化整合學習內容，發展學生的核心素養”［1］. 大單元教學跳出課時和單元的限制，對單元知識結構整體優化，從一堆知識中抽出一條線，串聯零散的知識點. 大量研究表明［2］［3］［4］［5］，以大概念、大任務為導向的大單元整體教學成為落實核心素養的有效途徑. 其中，單元復習課需要對整個單元的知識進行復習，是學生對單元數學知識“再認識”“再整合”“再提高”的契機. 而當前單元復習課還比較傳統，沒有很好地體現單元整合性和素養發展性的要求. 因此，本文結合北師大版八年級上冊教材中的勾股定理單元復習課課例，探討如何在單元整體視域下進行初中數學復習課教學設計.

初中勾股定理復習課教學的常見問題

勾股定理是初中數學的重要內容，位于北師大版八年級上冊的第一個單元. 它從三邊關系的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，是后續第二章實數內容中無理數學習的必要基礎，是第三章位置與坐標內容中求兩點間距離的理論基礎，也與第五章的二元一次方程組息息相關，因此勾股定理是初中數學的重要內容之一，很多教學比賽中都會選擇這部分內容作為重要選題. 勾股定理復習課是對勾股定理單元知識的“再認識”“再提高”，促使學生對知識結構優化整合、查漏補缺. 一般地，比賽課都是經過教師深入探究而形成的，可以代表該教師的最高水平，通過分析比賽課能更精確地找到教學中存在的主要問題. 因此，本文選擇重慶市字水中學舉辦的初中數學第六屆“卓越杯”教師技能大賽中，以“勾股定理單元復習課”為主題的兩節課來做分析.

1. 課例簡述

課例1? 教師先通過思維導圖的方式，分別按照邊和角對三角形進行分類，類比等腰三角形研究路徑梳理直角三角形相關知識點，引出勾股定理的概念. 之后以題帶練，復習勾股定理和勾股逆定理的概念以及其應用，五道例題分別對應分類討論、方程、數形結合、轉化、數學建模等思想. 最后在小結環節總結一般研究路徑：從特殊到一般，將未知轉化為已知.

課例2? 教師以一道求直角三角形邊長的簡單例題入手復習勾股定理的三種使用方法：直接求解、方程求解、構造直角求解，讓學生先做后學，復習勾股定理及其逆定理. 接著分成四個板塊依次講解勾股定理與平面幾何、解析幾何、立體幾何以及數系擴充等四個方面知識的聯系，復習包括折疊問題、最短路徑問題等經典題型. 最后在總結環節中引導學生構建知識網絡、總結思想方法.

2. 問題梳理

兩個課例無疑是經過精心打磨的課程，各有優點. 課例1運用思維導圖梳理本章知識與前后章節知識的關系，注重思想的提升，有一定的大單元整體設計的意識；課例2在課程開始時就利用一道簡單例題引導學生總結勾股定理的三種使用方法，注重方法的總結，并且例題選擇有代表性，注重勾股定理與本學期所學的其他單元知識內容的整合應用. 但是這兩個課例在體現單元整體視域時還存在以下兩個問題.

問題1? 對知識講解與思想提升的權重把握不當. 單元復習課一般比較關注知識復習講解和思想方法提升，這兩部分要在整體結構視域下分配好合理的教學時間. 課例1過于注重思想提升. 課程為了得出幾何圖形的一般研究路徑，一開始就花費了超過10分鐘來構建思維導圖，思維導圖知識涵蓋范圍太廣，詳細講述等腰三角形的定義、性質、判定等學生早已熟知的內容. 這導致后續例題講解的時間不夠. 同時沒有提煉方法，直接從知識講解一步跨越到提煉思想，學生上手較難. 與之相對應的課例2則過于注重知識講解，偏重于復習經典題型及其求解方法，而這些在以前的課程中已經學習過了. 復習課不僅僅是經典題的再回顧，也不是理清知識點，而是讓學生有新的收獲［6］.

問題2? 例題之間缺少關系. 單元復習課的另一個重點是鞏固性例題的選擇，在整體結構視域下需注意例題間的聯系. 課例1是利用數學思想來鏈接例題，而數學思想之間的關聯性其實不是很強，這就使得例題之間缺少聯系，課程的連貫性大打折扣. 課例2是站在期末復習的角度設計課程，按照交叉單元之間的關系鏈接例題，單元之間聯系緊密，但是每個單元中對應的例題之間的關聯性不強. 可見，單一的思想或知識梳理不能很好地鏈接例題，還需要多一條線索來整合例題.

單元整體視域下初中數學的“勾股定理”復習課的設計思路

依據以上勾股定理復習課中常見的問題，以及聶靜、羅振國提出的以大概念為中心的單元教學設計路徑［7］，筆者給出單元整體視域下初中數學復習課的設計思路，如圖1所示，共分為四個步驟：（1）分析出大概念，以大概念開啟知識梳理；（2）提煉研究路徑，以路徑為線串聯知識點；（3）選擇合適例題，以題帶講發展核心素養；（4）提煉思想方法，構建完整單元大框架. 下面以北師大版初中勾股定理復習課為例講解該設計思路.

1. 分析出大概念，以大概念開啟知識梳理

勾股定理是平面幾何圖形度量中三角形度量的最基本定理，通過研究教材，在數學知識的整體高度，確定勾股定理章節的大概念是平面幾何圖形的度量，相對應的大任務是掌握平面幾何圖形度量的相關思想方法并應用于實際.

以大概念梳理單元知識，需要梳理教材中與大概念相關的子概念. 顯然勾股定理是平面幾何圖形度量在三角形這一子概念中的體現. 三角形可以按照邊或角進行分類，選取特殊的三角形，包括等腰三角形以及直角三角形，作為研究對象，探究度量平面幾何圖形的方法.

2. 提煉研究路徑，以路徑為線串聯知識點

對等腰三角形的研究，包括其定義、性質（等邊對等角）、判定（等角對等邊），總結基本研究路徑是“定義—性質—判定”. 勾股定理章節的編寫是按照“問題情境—建立模型—解釋與應用拓展”的模式展開的，這是北師大版教材的慣用編寫風格. 教科書的編寫模式涵蓋了直角三角形的性質、判定與應用. 綜合以上兩者研究路徑，得出平面幾何圖形的一般研究路徑是“定義—性質—判定—應用”. 該路徑串聯本章知識點，凸顯本章在三角形這一大單元下的地位.

3. 選擇合適例題，以題帶講發展核心素養

選擇例題應該與研究路徑相對應，將知識點連成線. 除了研究路徑這一明線串聯知識點外，還需要核心素養這一暗線. 新課標中，幾何直觀主要體現在四個方面［1］：（1）能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；（2）能夠根據語言描述畫出相應圖形，分析圖形的性質；（3）建立形與數的關系，構建數學問題的直觀模型；（4）利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路. 因此，在選取例題時需要盡量體現上述四個方面，培養學生幾何直觀核心素養.

以題帶講更加符合初中生的思維習慣. 初中生正處于從形象思維中培養邏輯思維的學習階段，其邏輯思維還不夠成熟，對形象直觀的講解更為深刻. 因此，教師需注重直觀呈現，講解后點出知識點和思想方法，加深學生印象.

4. 提煉思想方法，構建完整單元大框架

思想方法是一節課的靈魂，提煉題目中有關平面幾何圖形度量的思想方法，完成本單元的大任務. 同時，也需要通過思想方法的提煉，構建單元大框架，但是單元大框架不能直接給出，應該由師生一起共同探究總結. 學生通過本章學習對直角三角形有了進一步認識和理解，聯合等腰三角形的研究路徑，將特殊三角形推廣到一般三角形，為后續初中階段的三角函數，以及高中階段的一般三角形的性質和正弦、余弦定理的學習埋下伏筆.

單元整體視域下初中勾股定理復習課的教學設計

1. 情境引入，給出大概念

勾股定理是個古老的定理，不同的國家或者地區都曾獨立發現過它. 古巴比倫人通過勾股數組來確定直角三角形，測量土地面積進行土地分配. 在我國的測量學著作《海島算經》中就介紹了用勾股定理計算海島高度的方法.

由上述例子，可以看出勾股定理在生活實際中通常有什么用處呢？

設計意圖? 引出本章的大概念為平面幾何圖形的度量，而勾股定理是常用于三角形度量的基本定理.

2. 知識梳理，提煉研究路徑

問題1? 勾股定理是有關三角形度量的基本定理，而三角形類型繁多，同學們能否按照不同的要素將三角形進行分類呢？

問題2? 若按照邊進行分類，其中較為特殊的是等腰三角形，大家知道其哪些知識點呢？我們研究這些知識點的路徑是怎么樣的？

問題3? 若按照角進行分類，其中較為特殊的是直角三角形，類比等腰三角形的研究路徑，同學們能否構建出直角三角形的研究路徑呢？

設計意圖? 讓學生類比等腰三角形的研究路徑，得出直角三角形的研究路徑，引出勾股定理的概念的同時，給出平面幾何的一般研究路徑：定義—性質—判定—應用. 從該路徑出發安排后續例題，使得知識點串聯起來，初步培養幾何直觀的第一個體現方面：能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類.

3. 以題帶練，提升思想素養

例1? （題型一：直角三角形知二求一）如圖5，在△ABC中，AB=20，AD為BC邊上的高，且AD=12，DC=9，求△ABC的周長.

變式1? 將例1中“如圖”去掉，其余條件不變，請問△ABC的周長怎么求？

變式2? 能否判斷△ABC是個什么三角形？

設計意圖? 復習勾股定理以及勾股定理逆定理，對應直角三角形研究路徑中性質以及判定環節. 變式1體現了分類討論思想. 引導學生畫出圖形，培養幾何直觀的第二個體現方面：能夠根據語言描述畫出相應圖形，分析圖形的性質.

例2? （題型二：圖形翻折問題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點D為BC上的一點，將△ACD沿AD折疊，使點C恰好落在AB上的點E處，求BD的長.

設計意圖? 經典題型——圖形翻折問題，有多種解法：可用等面積法、兩點間的距離公式以及勾股定理求解. 解題時需用字母代表邊，用方程求解，并利用方程溝通代數和幾何，體現方程思想，培養幾何直觀的第三個體現方面：建立形與數的關系，構建數學問題的直觀模型.

例3? （題型三：最短路徑問題）一個圓柱體盒子高為2 cm，周長為6 cm，一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到盒頂的點G處吃面包屑，你能幫螞蟻設計一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少呢？

設計意圖? 復習經典題型——最短路徑問題，引導學生將立體圖形轉化為平面圖形，由未知轉化為已知，凸顯轉化思想，對應研究路徑中的應用環節，培養幾何直觀的第四個體現方面：利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路.

例4? （題型四：生活實際應用）圖7左圖是一輛登高云梯消防車實物圖，右圖是其工作示意圖，起重臂AB（單位：m）可伸縮，伸縮范圍為10≤AB≤40，且起重臂AB可繞點A在一定范圍內轉動，張角∠CAB的范圍為90°≤∠CAB≤150°，轉動點A距離地面MN的高度AC=5 m. （參考數據：≈1.7）

（1）當起重臂AB的長度為20 m，張角為135°時，求云梯消防車最高點B距地面的高度（結果保留根號）；

（2）某棟樓高39 m，若該樓中有居民家突發險情，請問該消防車能否實施有效救援？請說明理由.

設計意圖? 構造直角三角形求邊，將勾股定理應用于生活實際，培養幾何直觀的第四個體現方面.

4. 總結反思，構建完整單元大框架

（1）勾股定理這一章你學習到了什么知識？研究路徑如何？

（2）對應路徑講解了哪些經典題型？本節課涉及什么數學思想方法？

（3）本章知識與前后單元之間是什么關系？

設計意圖? 總結度量平面幾何圖形的方法，完成單元大任務. 引導學生從特殊三角形的研究聯想到一般三角形的研究，體現研究數學對象的一般思路是從特殊到一般.

結語

單元復習課不同于新課，學生對所講內容已有一定認識. 若知識講解與思想提升這座“天平”過于偏向知識講解，使復習課變成習題課，學生會覺得課程索然無味. 若過于偏向思想提升，將知識講解懸于高空，使復習課變成表演課，學生會聽得似懂非懂. 對于如何平衡知識講解與思想提升的關系，本研究提出了單元整體視域下初中勾股定理復習課整體設計思路. 將單元知識放在以大概念為起點構建的知識體系中，凸顯知識之間的聯系. 接著以研究路徑和核心素養兩條線串聯數學知識與數學思想. 在總結階段由本章知識推廣到未來相關單元知識，構建完整的知識框架. 如此，學生既復習了知識也提升了數學思想.? 當然，該設計思路是結合勾股定理復習課分析得出來的，能否推廣到一般課程還需要進一步教學實踐.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.? 義務教育數學課程標準（2022年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］王磊，陳建明，楊博諦等.? 回顧與啟示：近四十年中國基礎教育數學單元教學研究［J］.? 數學教育學報，2023，32（04）：21-27.

［3］李大永，章紅. 基于整體把握的運算主線下的“分數指數冪”教學［J］. 數學教育學報，2016，25（01）：61-66.

［4］張丹，于國文. “觀念統領”的單元教學：促進學生的理解與遷移［J］. 課程·教材·教法，2020，40（05）：112-118.

［5］邵朝友，崔允漷. 指向核心素養的教學方案設計：大觀念的視角［J］. 全球教育展望，2017，46（06）：11-19.

［6］浦麗俐. 大單元教學觀下的章末復習課教學思考——以“直線與方程”為例［J］. 數學通報，2022，61（02）：22-27.

［7］聶靜，羅振國. 基于學科大概念的高三數學復習課單元教學設計——以“向量”單元為例［J］. 新課程導學，2023（28）：79-86.

基金項目：重慶市教育學會第十屆（2021—2023年）基礎教育科研立項課題（XH2021B133）.

作者簡介：于志游（1978—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作，曾獲江北區優秀教師，江北區教學能手，江北區初中講題比賽一等獎.

通信作者：童莉（1976—），博士，教授，碩士生導師，從事數學教育測評、數學教師專業發展研究.