小學生推理意識的主要表現形式與培養策略

【編者按】作為小學階段學生核心素養的重要表現之一，推理意識的培養受到廣大教師的重視，圍繞其進行的教學研究與嘗試取得了一些成果，也存在一些誤區或問題。例如，一線教師對推理意識具體內涵的認識存在偏差，無法精確把握學生核心素養的形成路徑，未能體現核心素養發展的整體性、階段性等。本期話題重點圍繞培養學生的推理意識展開探討。

【摘 要】推理意識是學生在相關數學活動中逐漸形成的對推理活動的正確認知、基礎行為能力和積極情感態度，主要指對邏輯推理的過程及其意義的初步感悟。對小學生推理意識的培養可以從選擇推理對象、明確推理活動主體及優化推理方法體驗三個方面著手，采取相應的教學策略。

【關鍵詞】小學數學 推理意識 培養策略

一、推理意識的基本內涵與主要表現形式

（一）基本內涵

1.推理。

在日常生活、學習和工作中，人們經常需要對各種各樣的事物進行判斷，判斷事物的對與錯、是與非、可能與不可能等。由一個或幾個已知判斷推出另一個或幾個未知判斷的思維形式，叫作推理。推理刻畫了從一個判斷到另一個（或幾個）判斷的思維過程。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中常用的思維方式。

推理的上一種層次叫思維，思維包括形象思維、邏輯思維和辯證思維三種形式，邏輯思維對應的便是邏輯推理。邏輯推理的過程包括理解推理的出發點，理解推理的目標，明確推理的規則和依據，探究推理的策略與方法，設計推理的過程，得到推理的結果。邏輯推理通常分為演繹推理和合情推理兩種類型。

2.推理意識。

推理意識是指對邏輯推理的過程及其意義的初步感悟，而推理能力指從一些事實和命題出發、依據規則推出其他命題或結論的能力。從推理意識到推理能力，是義務教育階段學生推理素養階段性發展的具體表現。

推理素養是一種理性認識，是學生能夠依據一定的數學規則從一些事實和命題推出其他命題或結論，最終導向會用數學的思維思考現實世界，形成嚴謹求真、理性求實的品質。理性認識必須建立在感性認識的基礎上，小學是推理素養形成的初級階段（具體表現為推理意識），需要讓學生在數學推理活動中積累經驗，通過感悟思考，提煉其中蘊含的規律性內容，不僅包括數學概念與推理策略方法，還包括對推理活動的情感體驗，在認知因素和非認知因素的合力作用下逐步發展為理性認識。

（二）推理意識的主要表現形式

小學生的推理意識兼具內隱和外顯特性，既是一種積極的心理傾向，又是在解決問題過程中表現出來的推理行為能力，是個體在積累一定的經驗基礎上，在現實問題與數學推理之間建立的一種敏感性反應，在認識和實踐過程中，個體能夠結合相關事實提出數學猜想，并借助數學知識和方法驗證猜想是否合理。這是個體推理思維開拓的重要環節，是自身的認知結構與大量成功或失敗的推理活動經驗碰撞過程中發生的重組和改善，形成對推理的正確認知、基礎行為能力和積極情感態度。

基于對推理意識的基本內涵分析，可以認為，小學生推理意識的主要表現集中體現在四個方面：一是認識推理基本形式和規則；二是猜想或發現問題、提出初步結論；三是探索和表述從一般到特殊的論證過程；四是基本符合邏輯的表達與交流。

上述四個方面集中表現為認知、行為能力和情感態度三個層次：首先，在認知層面，一是形式和規則，數學的形式和規則本質上是指數學中的概念、原理、公式與法則等，它來源于推理，而學生對規則的把握程度又制約著推理素養的發展水平。二是知道用規則推理，僅具備相關知識是不夠的，學生必須通過觀察、思考、操作、感悟等一系列活動認識到數學規則之間、數學規則與現實世界之間具有的聯系。例如，學生只知道“等量的等量一定相等”這一數學基本事實是不夠的，還要知道在探究“曹沖稱象”活動中該規則的用法與意義。

其次，在行為能力層面，學生要能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論；通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程；對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。這些表現是在正確認知數學推理的基礎上，根據數學規則對現象或問題蘊含的邏輯關系進行的分析與操作，顯現出明顯的層次性。

在第一、二學段，學生受到自身抽象思維水平的局限，思維過程更多依賴于經驗和直覺，推理意識更多表現在對具體事物相同或相似屬性的歸納類比過程中，也能借助一些具體實例對所獲得的猜想進行說明。在第三學段，隨著學生抽象思維水平進一步提升和推理經驗的積累，他們不僅能夠對具體事物做出猜想，還能借助一些較抽象的概念和邏輯規則對猜想的合理性進行證明與解釋。

最后，在情感態度層面，學生要傾向于在各類情境中積極自覺地運用數學推理。“會做”并不等于“會自覺做”。這種對數學推理積極的心理傾向體現在生活學習的各個方面。推理自覺，既反映為對數學推理價值意義的認可，也建立在相應的推理知識技能基礎上，是推理意識的高水平表現。

二、推理意識的發展邏輯

推理素養培養的目標統一性和層次遞進性意味著不能孤立地分析推理意識的內涵，而應將其作為推理素養發展過程中的一個階段進行分析。一方面，推理意識作為一種思維形態，其發展與學生心理成熟過程息息相關；另一方面，推理意識作為數學關鍵能力之一，依托數學基礎知識的學習，在相關實踐與意識活動中得到發展。

小學生推理意識的發展與其抽象思維水平分不開，會經歷由感性具體到感性一般，再進一步發展到理性具體水平，最后在11～12歲逐漸脫離具體與直覺的束縛，向形式思維轉變。學生推理思維的發展具有明顯的階段性，一旦錯過，難以修復，還會對之后的能力發展產生消極影響。

同樣，數學基礎知識并非是孤立靜止的，其基本概念與法則的產生發展過程反映了數學與現實之間、數學知識之間的聯系，而推理本身就是研究“關系”的思維過程，推理活動應該貫穿數學知識學習過程的始終。也就是說，學生推理意識的發展不能只依靠某一領域的知識學習，而應該多領域整體性推進；學生所學的知識也不應該是“信息”的堆積，而應是動態關系的理解與應用。

除推理意識的發展特征外，意識的發生邏輯也影響著學生的推理發展水平。維果茨基指出，意識是對體驗的體驗，而體驗是指對客體的體驗。也就是說，意識具有次生性，是比經驗更高層次的思想，這與《課程標準》中推理意識“主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”的表述相呼應。

小學生的思維發展離不開具體與直覺，直接經歷數學推理活動過程所產生的經驗能帶來更加強烈的反射，更有利于感悟的發生。感悟是推理思維實現逐級抽象的心理活動介質，推理意識會在“經歷推理活動—感悟規律、方法、意義等—再經歷—再感悟”這樣的螺旋上升過程中得到發展。

推理意識有助于學生養成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，這是形成推理能力必不可少的經驗基礎。不同于推理能力強調對數學推理方法的實踐應用，推理意識更側重于刻畫學生對數學推理的初步感知和基本把握，更看重推理經驗為學生帶來的變化與發展，在教學中需要明確這一點。

三、推理意識的培養策略

在小學階段，推理活動經驗是學生推理意識的生長基點，幫助學生有效地積累和感悟相關活動經驗是教學的主要任務。如何挑選推理對象、如何保證學生在推理活動中的主體性、如何優化學生對推理方法的體驗與感悟是當前培養學生推理意識亟待解決的三個問題。對此，可以采取以下策略。

1.形成合力——推理載體多樣化。

推理作為數學基本思想之一，推理活動的對象橫跨數學課程四大領域，各領域的課程內容均為發展學生的推理意識提供了豐富素材。

小學數與代數領域的推理活動主要包括數的屬性、運算法則的發現與概括等，相對其他領域較為抽象，卻是學生推理意識發展的重要載體，教師應深挖數與運算本質，精心挑選素材設計相關教學活動。例如，基于算理探究的運算教學，各類運算規律、法則都是基于算理的推理，強調算理的運算教學能夠破解學生機械化計算的問題，推動學生思維發展。圖形與幾何領域不僅包含應用圖形性質及周長面積公式等進行的演繹推理，還有大量發展合情推理能力的素材。例如，在猜想與表達中掌握確定物體位置的方法；在觀察圖形時歸納圖形的特征；在操作圖形時推理平移、旋轉、軸對稱的定義與性質等。在統計與概率領域，發現統計數據或隨機現象中蘊含的規律，用以分析和預測相關結論，或結合各類統計圖表的特征在一定背景下合理選擇應用，充分體現了合情推理與演繹推理的重要作用。綜合與實踐活動是聯結現實世界與數學知識的重要載體，巧妙設計實踐活動，讓學生綜合應用數學規則思考現實問題，不僅能在應用中提升推理思維水平，還能直觀感受到數學推理的價值與意義。

推理意識并非在某一節課或者某一領域的活動中生成，而是需要教師在各領域教學中創設相關活動，合力推進學生推理意識的發展。

2.創設情境——推理起點需求化。

推理產生的新知識是對假設，即對已有認知的修正、完善與升華，如何讓學生產生提升已有認知的需求，是培養學生推理意識的第一步。

一般來說，小學生對新知的渴求更多是源于解決現實問題的需要，同時，培養推理意識最終指向“會用數學的思維思考現實世界”。因此，在教學活動中，精心嵌入現實情境是建立學生推理意識生長點的必要途徑。例如，在“比例”單元教學中設計“果凍制作”的活動，學生產生做出最佳口感果凍的需要，通過觀察實物與收集數據，猜想水和果凍粉間量的關系如何影響果凍口感，不僅形成對比和比例意義的認識，還能感悟到觀察、比較、歸納與猜想等推理活動在探尋最佳策略時的作用。

數學推理并非天外來物，而是根植于現實生活中。通過精心設計課堂教學將學術形態的數學推理還原成解決現實問題的推理思想、推理方法，能夠讓推理意識在學生的頭腦中自然生發。

3.拒絕暗示——推理活動自主化。

推理意識在學生自己進行推理思考的過程中才能得到發展，教師或教材提供的暗示會打斷學生的推理甚至讓其停止推理。

以平行四邊形的面積探究活動為例，在已知長方形面積公式[S=a·b]的情況下探究平行四邊形的面積，多數學生會類比長方形的面積公式猜想平行四邊形的面積是相鄰兩邊的乘積。然而，在教學中教師容易忽視學生猜想，只按照既定的“割補法”引導暗示，學生的推理思考被機械操作所代替。在推理活動中，一定要凸顯學生的主體地位，當學生提出猜想時，教師不妨追問：“如何驗證這個猜想是正確的呢？”學生基于已有經驗會聯想到驗證各邊長相等的平行四邊形和長方形面積相等就能說明猜想的合理性，進而采用各種方法操作演示，如在方格紙上作圖數格子對比，剪紙重疊比較，或者借助活動的長方形框架來進行探究。學生會在操作過程中發現此猜想不成立，在動態演示中發現隨著平行四邊形高度的降低，面積在逐漸減少，引出平行四邊形面積與“高”有關的猜想，在“作高”的基礎上進一步發現可以將平行四邊形割補轉化為長方形，得出平行四邊形的面積公式。

這是一個完整的推理過程，提出猜想，結合已有知識找到證明猜想的論證思路，借助具體操作進行例證，在探究過程中形成新的猜想，進行新一輪的推理。雖然最初的猜想建立在直覺上，而且推理的過程也并非基于嚴密的邏輯，但這種依靠學生直觀操作的獨立思考活動，才是促進學生推理意識形成的有效載體。

4.顯性表達——推理思維可視化。

表達是學生推理思維的外顯形式，注重學生對推理過程的準確表達，有助于學生推理意識的提升。

一方面，對推理過程的表達訓練能夠幫助學生從個性化的語言向規范化的表達發展。演繹推理是從一般性的前提出發，按照一定的法則得到必然結論的推理，規范化的推理過程是嚴格數學證明的重要條件。由于小學階段的演繹推理較為簡單，在教學中很容易只看重結果正確與否，忽視過程的邏輯表達，導致學生進入初中后難以應對各類證明問題。因此，在解決基礎問題時，強調學生的推理表達過程是有必要的。例如，已知一個直角三角形的一個銳角是20°，另一個銳角是多少度？一般情況下，學生只需列出算式“180°-90°-20°”即可，但要體現推理思維過程，就要引導學生表述出算式的由來：因為三角形的內角和是180°，而直角三角形有一個角是直角即90°，一個銳角是20°，所以，另一個銳角是180°-90°-20°=70°。

另一方面，推理思維過程的可視化能在一定程度上保護學生的創新想法。小學生的合情推理多是基于對典型事物相同或相似屬性的不完全歸納，是數學創新的重要工具。同樣的情境下，不同的人觀察重點不同，表達歸納過程能避免“唯一”答案磨滅學生有依據的創新想法。例如，根據規律填空：1，2，1，1，2，1，1，1，2， ， ， ， ……其設置目的在于讓學生進行不完全歸納推理，而非得出“正確答案”。因此，在相關問題的教學中，教師不僅要演示歸納分析的方法，還要讓學生學會用畫圖、文字說明等方式將自己的思維過程展示出來。在這類拓展“參考答案”的過程中，學生會體會“言之有理”的意義所在，表達能力也會逐步上升，逐步養成講道理、有條理的思維習慣。

5.逐級抽象——推理發展層次化。

學生的邏輯思維發展具有一定的層次性，從基于直觀的具象推理發展為半抽象邏輯推理，然后向抽象邏輯推理趨近，這個進階過程需要在推理意識的培養中加以體現。

以探究3的倍數的特征課程內容為例，該活動通常被安排在五年級。教學時教師多引導學生在百數表中圈出3的倍數，然后觀察并歸納這些數具有的共有特征，是不完全歸納法的應用。這的確是符合小學生思維特征的推理過程，卻因其所處的學段顯現出淺表化特征。五、六年級的學生正處于由具體運算階段向形式運算階段轉化的過渡期，應該抓住學生的思維發展特點設置活動促進其邏輯思維向抽象邏輯推理發展。因為在這一學段后，此問題再次出現可能是，試證明：設abcd是一個四位數，若a+b+c+d可以被3整除，則這個數可以被3整除。（樣題1）僅靠歸納得出的結論讓學生難以應對這類問題。因此，針對該問題可以做如下處理。

二、三年級的學生借助具體事物之間的數量關系理解了倍的意義。因此，在探究數字的倍數特征時，教師可以先帶領學生回顧倍的意義，基于原有認知，借助具象化的分析操作來對數進行分解。

以115為例（圖1）。可以發現，百位上的1代表1個100，十位上的1代表1個10，個位上的5代表5個1，學生在從百位、十位盡可能分解出3后發現，如果剩下的數量能夠分解為若干個3，則能說明此數為3的倍數，反之則不是3的倍數。將原本的問題轉化為“剩余數量是否為3的倍數”，學生很快發現剩下的量正好為各數位數字之和。這樣不僅能夠更嚴謹地驗證歸納結果，還能實現對探究“倍數關系”的經驗認知，即要證明某數m是另一數n的倍數，只需要將m的各個數位分開分析，盡可能分解出若干個n，然后判斷剩下數量是否能分解為整數個n即可。這樣的更高層次的抽象理解會讓學生在中學階段面對“樣題1”時，能很快做出abcd =1000a+100b+10c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c）這樣的分析。

總之，推理意識不是“教”出來的，而是小學生自己“悟”出來的，推理活動的設計要遵循學生的心理需要及邏輯思維發展水平，讓學生在觀察、實驗、猜測、交流、反思等數學活動過程中，切身體驗與感悟推理的過程及其意義，逐步實現從推理意識到推理能力的進階發展。

參考文獻

［1］Jean Piaget. Judgement and reasoning in the child［M］. London，New York：Routledge Press，2002：24-25.

［2］［蘇］列·謝·維果茨基.維果茨基全集（第3卷）：新心理學的基本理論（上）［M］. 陳會昌，等譯.合肥：安徽教育出版社，2016：94.

［3］孔凡哲，趙欣怡.《義務教育數學課程標準（2022年版）》百問百答［M］. 長春：東北師范大學出版社，2023：64.

［4］孔凡哲.《義務教育數學課程標準（2022年版）》優秀教學設計與案例：小學版［M］. 長春：東北師范大學出版社，2023：72-79.

孔凡哲，教育學博士，中南民族大學教育學院二級教授、博士生導師，湖北民族教育研究中心主任。研究方向：課程與教學論、教師教育、中小學評價和數學教育。

劉惠梓，中南民族大學教育學院碩士研究生。研究方向：課程與教學論。

本文獲2024年度中南民族大學省部級科研平臺建設專項資助。