開展探究活動提升數學素養

摘要：教師應貫徹“以生為主”的教學理念，結合教學實際設計一些符合學生認知水平的探究活動，提升數學核心素養.本文中以“函數的零點”教學為例，通過探究活動引導學生親歷概念及定理的形成過程，培養學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模核心素養.

關鍵詞：數學核心素養；以生為主；探究活動

培養學生的數學核心素養成為教育工作者們在課堂上不懈努力追求的目標.如何在日常教學中有效培養學生的數學核心素養呢？本文中以“函數的零點”這一教學內容為例，談了一些筆者對培養學生數學核心素養的思考與實踐，若有不足，請指正.

1 教學片段

1.1 探究活動1：形成函數零點的概念

師：方程lg x+x－3=0該如何求解呢？

問題給出后，教師讓學生獨立思考，學生思考片刻，毫無思路.

師：既然我們現有的解方程經驗無法直接應對這個問題，那么接下來可以采取哪些措施呢？或許，我們可以轉換思路，從新的角度審視這個問題，尋求更多的信息.

生1：應該可以判斷它是否有解.

師：不錯的想法，不過該如何去判斷呢？（教師預留時間讓學生繼續探究.）

生2：我嘗試了一下特值法，方程是有解的.

師：詳細說一說.

生2：當x=1時，lg 1+1－3=－2；當x=2時，lg 2+2－3lt;0；當x=3時，lg 3+3－3=lg 3gt;0.從以上結果可以預判在區間（2，3）上有解.

師：很好，能不能用已學知識進一步說明呢？

生3：當xgt;0時，lg x的值域為，而若lg x為負數，x－3為正數，等式也成立.我只能想到這么多，這個好像很難精準說明.

師：結合已學的函數圖象、單調性、奇偶性等內容，你能想到什么呢？（教師及時啟發，學生繼續思考.）

生4：可以利用圖象法，方程變形得lg x=3－x，在同一個坐標系中畫出函數y=lg x和y=3－x的圖象，兩圖象有一個交點.設交點坐標為（x0，y0），則y0=lg x0，y0=3－x0，即x0為方程的唯一解.

師：非常好，這樣通過變形將問題轉化為探究函數y=lg x和y=3－x圖象的交點問題，還有其他想法嗎？

生5：我采用了另一種策略，那就是將方程轉化為函數形式.令函數f（x）=lg x+x-3，研究其性質.首先，f（x）的定義域為（0，+∞），x只能取正數.其次，f（x）的值域覆蓋了所有實數，即.這顯示了函數的廣泛變化范圍.我發現f（x）是一個單調遞增函數.

x增大，f（x）的值也在持續上升，沒有反復或下降.根據函數f（x）的單調性和圖象特征，我斷定這個方程有且僅有一個解.（教師隨后投影展示圖1.）

師：大家的分析真是精彩絕倫！現在，讓我們深入探討方程的解與函數之間的關系.有同學能為我們揭示這個奧秘嗎？

生6：方程f（x）=0的解實際上就是函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標.換句話說，當f（x）的值為0時，對應的x值就是方程的解.

師：非常精彩！你準確地捕捉到了關鍵點.對于函數y=f（x），我們確實把方程f（x）=0的解稱為函數y=f（x）的零點.這是一個非常重要的概念，連接了方程與函數之間的關系.現在，我將這個結論板書出來.（教師隨即在黑板上寫下這個結論.）

評析：教學中，教師讓學生嘗試運用原有解方程的經驗求方程lg x+x－3=0的解，然而學生卻一無所獲，由此激發學生探索新知的熱情.教學中，教師沒有直接給出函數零點的概念，而是通過逐層的引導促使學生將已知與未知建立聯系，通過交流與探索形成函數零點的概念，提升了學生參與課堂的積極性，培養了學生抽象素養[1].

1.2 探究活動2：探尋零點存在的區間

師：通過剛剛的分析，我們只能判斷零點的個數，不能求出這個零點.那么這個零點的大概位置是否可以判斷呢？

生7：可以的，剛剛生2其實就解答了這個問題，他通過特殊值法驗證，可以判斷方程在區間（2，3）內有解.

師：很好，這也就可以說零點在區間（2，3）內.剛剛是從特殊值法來驗證的，是否具有一般的規律呢？（學生深思.）

師：如果讓你判斷函數f（x）=x2－2x－1是否有零點，你會嗎？

生8：如果令f（x）=x2－2x－1=0，通過求解這個方程，可以得到它的解是1±2.我們可以直接找到這個方程的零點.

師：非常棒！但是，如果不直接求解方程，而是結合函數的圖象來分析，你能發現什么呢？

生8：好的，讓我先畫出這個函數的圖象（如圖2所示）.

通過觀察圖象，可以發現：

當x=-1時，f（-1）的值大于0；當x=0時，f（0）的值小于0；而且函數f（x）在區間（-1，0）上是單調遞減的.基于這些信息，我們可以推斷在區間（-1，0）上，函數f（x）有一個零點.同樣地，當x=2時，f（2）的值小于0；當x=3時，f（3）的值大于0；并且函數f（x）在區間（2，3）上是單調遞增的.由此得出在區間（2，3）內，函數f（x）也有一個零點.所以，通過結合函數的圖象和單調性分析，可以確定這個方程有兩個零點，分別位于區間（-1，0）和（2，3）內.

師：基于生8的分析，我們能否得出其他結論？

學生總結：若在某區間（a，b）內，函數值f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）lt;0），且函數f（x）在該區間上是連續且單調的，則函數f（x）在區間（a，b）上至少存在一個零點.

評析：教師鼓勵學生通過觀察和分析具體函數的圖象及其性質，逐步探索和發現零點存在的條件.這種教學方法不僅增強了學生對零點概念的理解，還鍛煉了他們從具體實例中提煉一般規律的能力.通過引導學生由具體到抽象、由個別到一般進行探究，學生不僅體驗了數學規律的發現過程，也有效地提升了直觀想象能力和數學抽象思維能力.

1.3 探究活動3：借助辨析深入理解零點存在定理理

師：根據剛剛的發現，請大家判斷以下命題的真假（教師PPT給出問題）.

函數f（x）在區間（a，b）上的零點存在性與其圖象的連續性和函數值的變化有著密切關系.

（1）當f（x）在（a，b）上連續且滿足f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）lt;0）時，f（x）在（a，b）上至少存在一個零點，且這個零點是唯一的.

（2）若f（x）在（a，b）上連續但f（a）與f（b）同號（即f（a）f（b）gt;0），則f（x）在（a，b）上沒有零點.

（3）由f（a）-f（b）lt;0，并不能保證f（x）在（a，b）上有零點，同樣，f（x）在（a，b）上的連續性本身也不足以確保零點的存在.

通過分析可知，判斷f（x）在（a，b）上是否有零點，需要綜合考慮函數的連續性和函數值在區間端點的符號.

評析：通過前面的探索活動，零點存在定理已經初步形成，不過若想讓學生真正理解和掌握還需要進一步的思考辨析.在教學中，教師給出相似的命題讓學生思考辨析，以此明晰函數存在零點的必要條件，深化對零點存在定理的理解.同時，在此過程中，通過合作交流培養了學生數學語言表達能力，推動了學生邏輯推理能力和數學建模能力的提升[2].

2 教學反思

2.1 以發展學生為主線

公式、概念、定理等內容具有高度的抽象性和概括性，若省略其形成和發展過程而直接呈現，將很難讓學生獲得深度的理解，這樣無疑也就制約了學生的數學應用水平的提升[3].因此，在具體教學中，教師要嘗試創設一些探究性活動，[JP+1]讓學生去體驗知識的形成過程，以此讓學生全面、深刻地理解知識，提高數學探究能力.本課教學中，教師尊重學生，以學生的“最近發展區”為出發點，圍繞學生已有知識和經驗設計探究活動，極大程度激發了學生參與課堂的積極性和主動性.

2.2 以提升數學素養為目標

數學教學不僅要讓學生獲得知識，更要讓學生獲得能力，提升數學素養.在實際教學中，教師要提供機會讓學生去探索、去抽象、去感悟，從而通過親身經歷將知識內化為能力，提升學生數學素養.

總之，在實際教學中，教師要摒棄簡單的“照本宣科”，善于結合教學實際創設探究活動，讓學生在參與活動的過程中積極思考、積極實踐、積極交流，以此提高學生數學學習能力，提升學生數學核心素養.

參考文獻：

[1]（索鵬敏.芻議高中數學核心素養的教育價值及教學滲透策略[J].考試周刊，2019（30）：99.

[2]張希芬.核心素養背景下高中數學教學活動開展策略探究[J].考試周刊，2019（87）：97-98.

[3]姚高同.探究性教學在高中數學教學中的應用研究[J].數學大世界（下旬），2018（11）：19.