基于立德樹人理念下的“數學分析”教學案例

摘"要：挖掘專業理論知識的思政元素是改變傳統數學課程教學的一個亮點，它能給枯燥的理論課堂帶來生機、活躍，調動學生的學習興趣，使學生在學習理論知識的同時樹立正確的價值觀。本文以“數學分析”中的反常積分概念為例，在課堂教學設計過程中，引導學生以問題驅動的形式思考和分析問題，融入思政元素，將知識點與辯證思想聯系起來，提高學生分析問題和解決問題的能力，逐步培養學生理論聯系實際的能力。

關鍵詞：數學分析；立德樹人；反常積分；教學反思

中圖分類號：O17

The"Teaching"Case"of"Mathematical"Analysis"Based"on"the"Idea"of

Foster"Virtue"Through"Education

—Take"The"Concept"of"Improper"Integral"as"an"Example

Lin"Wenxian

Collegenbsp;of"Mathematics"andStatistics，Hanshan"Normal"University"GuangdongChaozhou"521041

Abstract：Exploring"the"ideological"and"political"elements"of"professional"theoretical"knowledge"is"a"bright"spot"to"change"the"traditional"mathematics"teaching，which"can"bring"vitality"and"activity"to"the"boring"theory"class"and"arouse"students'"interest"in"learning"and"enable"students"to"establish"correct"values"while"learning"theoretical"knowledge.Taking"the"concept"of"improper"integral"in"Mathematical"Analysis"as"an"example，this"paper"guides"students"to"think"and"analyze"problems"in"a"problemdriven"way，integrates"ideological"and"political"elements，connects"knowledge"points"with"dialectical"thought，improves"students'"ability"to"analyze"and"solve"problems，and"gradually"trains"students'"ability"to"combine"theory"with"practice"in"the"process"of"classroom"teaching"design.

Keywords：Mathematics"Analysis；foster"virtue"through"education；improper"integral；reflection"on"teaching

2016年，全國高校思想政治工作會議上強調，“要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人”“要用好課堂教學這個主渠道”“所有課堂都有育人功能，不能把思想政治工作只當作政治理論課的事，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田”，提出了“各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應”的要求。

然而，在現實的教學過程中，思政課本身仍大量存在只把思想政治工作作為課程教學的附屬品的現象，思想政治教育的功能沒能得到充分的發揮，其他各類課程，尤其是自然科學領域的課程，在實施思想政治教育方面的作用就顯得捉襟見肘。要真正落實“各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應”，需要廣大教師、不同學科加大力度挖掘教學內容的思政教育功能，研究教學方法，精心進行教學設計，才能實現立德樹人的目標。

“數學分析”是現代數學的基礎，也是現代科學技術中應用最廣泛的學科，它是大學本科數學與應用數學專業學生必修的最重要的基礎課程，數學分析以學習時間長（三個學期）、知識抽象、邏輯性強為主要特征，它對于學生良好的數學素養的形成以及后續課程的學習起著至關重要的作用。因而，在傳授知識的同時，如何將“課程思政”融入數學分析這一抽象理論課程的教學環節之中，是擺在我們面前的難題。本文將以反常積分概念為案例，在教學內容的設計中進行一些探索，以期達到拋磚引玉的作用。

1"教學設計

1.1"教學背景

本節課是學生學習了定積分內容后，具有了一定的積分理論基礎。定積分的概念實際上有兩個根本的制約：有限的積分區間和有界的可積函數，但在好多現實情況中，這兩個局限常常必須突破，就是要討論非有限區間上的“積分”，或非有界函數的“積分”。這是定積分概念的進一步推廣，反常積分概念有著很豐富的實際意義，它在應用數學領域中起著特別重要的作用，是一元函數積分學的重要組成部分。

1.2"教學目標

1.2.1"知識目標

理解無窮限反常積分和無界函數反常積分的概念，并掌握計算。

1.2.2"能力目標

通過本節課的學習，學生要進一步認識極限與積分的關系，培養學生的化歸、類比和分析等數學思想，提高分析與解決實際問題的能力。

1.2.3"思政目標

將“思政元素”融入專業課堂，通過積分區間無窮而積分存在以及被積函數無界而積分存在的矛盾關系，培養學生認識主次矛盾的辯證關系，使學生建立良好的人生觀、價值觀、世界觀。

1.3"教學重點

兩類反常積分的概念與計算。

1.4"教學難點

誘導學生理解反常積分的數學思想方法的形成過程。

1.5"教學方法

問題驅動教學法，講授法。

1.6"教學過程

1.6.1"問題引入

首先，簡單介紹我國在航空領域取得的偉大成就，躋身世界航天大國，讓學生油然而生民族自豪感。然后播放我國首次探測火星的“天問一號”火箭發射升空的視頻（圖1），引導學生的科技探索精神，激發學生愛國熱情和學習興趣，并提出問題：要使“天問一號”發射升空，奔向火星，發射火箭的初始速度應為多少？這在物理學上稱為什么速度？如何求出來？

這樣就引出了計算第二宇宙速度的問題，并給出以下例題。

例1：（第二宇宙速度問題）在地面垂直發射火箭，為使火箭能擺脫地球引力無限遠離地球，試問至少需要多大的初速度v0？（如圖2）

例2：圓柱形桶的內壁高為h，內半徑為R，桶底有一半徑為r的小孔。試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多少時間？（如圖3）

通過這兩個例題講解讓學生發現，在例1求第二宇宙速度可以轉化為求一個積分下限為R，上限為正無窮大的積分，即積分區間為［R，+∞），這與以前學習的定積分不一樣，這種積分稱為“無窮限反常積分”；在例2求圓桶水流完所需時間問題可以轉化為求一個被積函數是有界函數的積分，這也與以前學習的定積分不一樣，這種積分稱為“無界函數反常積分”。

同時，提出問題：如何研究這兩類積分？

1.6.2"反常積分的定義

定義1：設函數f定義在無限區間［a，+∞）上，且在任意有限區間［a，u］上可積，若極限limu→+∞∫uaf（x）dx=J存在，則稱函數f在［a，+∞）上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分）為此極限J，記作J=∫+∞af（x）dx，并稱∫+∞af（x）dx收斂。若極限不存在，就稱∫+∞af（x）dx發散。

注：∫+∞af（x）dx收斂的幾何意義是：如果f定義在［a，+∞）上的連續非負函數，則如圖4所示，位于直線x=a，x軸和曲線y=f（x）之間那一向右無窮延長的陰影部分有面積J。

定義2：設函數f定義在（a，b］上，在點a的任一右鄰域內無界，但在任何內閉區間［u，b］（a，b］上有界且可積，如果存在limu→a+∫buf（x）dx=J則稱此極限為無界函數f在（a，b］上的反常積分（簡稱瑕積分），記為J=∫baf（x）dx并稱反常積分∫baf（x）dx收斂，若極限不存在，則稱反常積分∫baf（x）dx發散。

1.6.3"例題講解

例3：研究無窮積分∫+∞11xpdx的收斂性。

例4：研究下面積分的收斂性。

例5：（1）∫+∞21x（lnx）pdx；（2）∫+∞-∞11+x2dx。

例6：研究積分∫+∞acosxdx的收斂性。

例7：判定積分∫1011-x2dx的收斂性。

例8：研究無界函數反常積分∫101xqdx（q＞0）的收斂性，并考慮積分∫+∞01xqdx的收斂性。

1.6.4"無界函數反常積分與無窮限反常積分的聯系

設函數f（x）連續，b為瑕點。令t=1b-x，有∫baf（x）dx="∫+∞1b-afb-1t·1t2dt。則將無窮限反常積分化為無界函數反常積分。

又設a＞0，令t=1x，有無界函數反常瑕積分化為無窮限反常積分，于是，無界函數反常瑕積分與無窮限反常積分可以能夠互相轉化。所以，它們有相似的理論和結果。

1.7"知識小結

無窮積分和瑕積分實際上轉化看作變限積分函數的極限。

2"教學反思

2.1"思政元素

通過介紹我國航天領域的發展史，讓學生增強民族自豪感，學習我國航天科技工作者艱苦奮斗、勇于探索、開拓創新的精神。同時，通過講授無界函數反常積分與無窮限反常積分的關系，讓學生體會到，它們的關系表現了對立統一規律，又稱矛盾規律、對立統一規律和斗爭規律，它表明了矛盾存在于任何領域中，也存在于任何事物、事物內部和事物之間。從而引導學生的認識上升到哲學的高度，用辯證的思維方式去理解具體領域具體學科的知識，幫助學生認識到整個世界是充滿矛盾的，矛盾無時不有、無處不在，正是矛盾雙方的對立統一，推動著事物的運動、變化和發展，以更自覺地掌握矛盾觀點，并學會用矛盾的觀點去認識世界，用矛盾分析的方法去指導改造世界。

2.2"教學思考

利用創設合適的問題情境，引入新課內容，以避免學生對內容的突兀感。通過觀看“天問一號”發射視頻引出計算第二宇宙速度問題，進而得出無窮限反常積分的概念。通過求解流水問題，得出無界函數反常積分的概念。

一元函數積分學作為數學分析的重要組成部分之一，可以分成定積分和反常積分兩大類，反常積分又包括無窮限反常積分與無界函數反常積分，它們都是定積分的推廣，是定積分的變限積分的極限形式，本質上是某類函數的極限。因而在反常積分的學習過程中，應該關注反常積分與定積分的一些性質有所相同，也有所不同。

注意運用幾何圖像的直觀性，特別是對反常積分幾何意義的講解，幫助學生理解抽象的數學概念，特別是注意文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉換。

結語

在立德樹人理念下，數學專業教師要把“德育”看作是教育的根本任務，更新觀念，深入挖掘，以數學學科知識為載體，發揮數學育人的特殊作用，促進學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀。在高等學校專業基礎課中，教師如何滲透課程思政？如何發現每個知識點的思政元素？如何提高學生學習知識的積極性？這是高校教師面臨的一個課題，任重而道遠，是一個值得深入思考和研究的終身課題。

參考文獻：

［1］華東師范大學數學科學學院.數學分析（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

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［3］鐘煜妮，林文賢.分部積分法在重積分的應用［J］.高師理科學刊，2015，35（1）：11.

［4］林文賢.高師數學分析課程對學生數學素質的培養［J］.韓山師范學院學報，2005（3）：9295.

［5］林文賢.“三全育人”理念下《數學分析》教學案例——以《條件極值》為例［J］.科技風，2024（1）：2123.

基金項目：廣東省一流課程《數學分析》建設項目（Z21011）；2021年度韓山師范學院教育教學改革項目（52"1104）；2022年度韓山師范學院質量工程建設項目（E22033）

作者簡介：林文賢（1966—"），男，廣東潮州人，教授，從事數學分析的教學與研究。