初中數學應用題解題教學策略探索

【摘要】應用題教學能夠幫助學生體驗生活情境，促進學生將所學知識與實際生活相結合，提升學生解決和分析問題的能力.教師在教學中要幫助學生梳理解題步驟，歸納解題方法，滲透數學思想，提高解題能力.文章從巧用圖表法梳理信息、善用類比法化繁為簡、運用還原法突破難點三個方面探索了初中數學應用題的解題方法，以期發展學生的思維品質，提升學生的解題素養.

【關鍵詞】應用題教學；解題步驟；解題方法

在初中數學諸多題型當中，應用題是通過情境創設運用知識解決問題的一種試題類型，具有綜合性、復雜性等特點.應用題教學能夠促進學生將知識與實際生活更加緊密地聯系起來，強化知識體驗，提升學生解決實際問題的能力.應用題教學一直以來都是初中數學教學的重點內容之一，也是學生學習中的難點.由于解決應用題需要學生具備閱讀能力、綜合分析能力和概括能力，導致學生在遇到應用題時常常束手無策.因此，教師要加強解題方法的指導，使學生掌握應用題的解題步驟和解題策略，增強學習信心，提升解題技能.

以上是一個宏觀的闡述，這樣的闡述有助于教師從宏觀層面認識到應用題的特點以及相應的解題策略.但是對于一名站在講臺上面向學生進行教學的教師而言，僅有這樣的宏觀認識還是不夠的.如果說宏觀認識可以幫助教師確定方向的話，那么在確定了方向之后，還需要微觀層面的具體策略及其運用，這樣才能支撐起初中數學課堂上應用題的精彩教學.對應用題的解題策略進行研究實際上是一個老生常談的話題，如果以“初中數學應用題解題策略”作為關鍵詞去進行搜索，可以發現有著很多的文獻.這些文獻當中，有的是經驗的總結，有的是面向新空間的探索，這些文獻可以成為當下每一個初中數學教師進行應用題解題策略研究的基礎，但與此同時，教師不能完全拘泥于已有的研究成果.其根本原因在于不同時代背景下的應用題有著顯著的時代特征，作為初中數學教師，只有結合時代的需要進行研究，才能夠讓應用題的解題策略表現出強大的生命力.當前的初中數學教學是在核心素養背景之下進行的，發展學生的數學學科核心素養是包括應用題教學在內的所有課堂的任務，因此，教師在總結提煉數學應用題解題策略的時候，就需要以數學學科核心素養為引導，從學生數學學科核心素養能否得到培育的角度評價應用題的解決策略及其應用.本文就嘗試在核心素養的宏觀背景之下，從探索應用題的解題方法出發，幫助學生理清解題思路，形成相應的解題策略，提升學生的解題技能，并在此過程中促進學生數學學科核心素養的發展.

一、把握解題步驟，提高解題效率

學生在解答應用題時常常由于復雜的條件或者數量關系導致手足無措，思維混亂，進而影響了正確的解題.因此，提高學生解題效率的前提是讓學生熟知必要的解題步驟，做到心中有數.解答應用題通常可以按照以下步驟進行：第一，審清試題信息，準確理解題意，尋找解題路徑；第二，將未知量以直接或者間接的方式設為未知數；第三，抓住題目中的關鍵信息或者借助圖表找出題干中的等量或者不等量關系；第四，根據數量關系列方程或者不等式，并對方程或者不等式進行求解；最后，檢驗解出的答案是否正確，特別是是否具有實際意義，在作答時還要特別注意單位的正確書寫.

解答應用題時按照以上步驟進行分析思考，養成良好的解題習慣，不僅有助于學生正確解題，還能提高學生解答應用題的效率，增強學習信心.

把握解題步驟從而提高解題效率同樣是一個傳統說法.從數學知識運用的角度來看，尤其是從數學學科核心素養發展的角度來看，這樣的要求實際上也可以獲得新的內涵.如果說傳統的把握解題步驟是為了讓學生成功完成解題的話，那么筆者想強調的是，站在數學學科核心素養的角度去看解題步驟，應當是讓學生對題目進行解析，即用數學的眼光去觀察現實世界———題目中所呈現出的相應信息應當反映著現實世界，與此同時，解題的過程實際上是一個運用數學模型進行問題解決的過程，這里同樣有著數學學科核心素養的內涵.上面所提到的步驟當中，所說的列方程或不等式等，這是初中數學解題常用的工具，但這種工具的價值不僅體現在解題上，更體現在幫助學生運用數學知識解決問題上.從解題到解決問題是一個質的變遷.學生在解題當中獲得的認識與能力一旦遷移到解決問題的過程中，就意味著數學學科核心素養得到了發展.同時，把握解題步驟可以讓學生形成一種認識，那就是一個問題的解決往往是需要嚴謹的步驟的，步驟越清晰、越嚴謹，那么問題解決也就越科學、越簡便.

二、梳理解題方法，提升解題技能

應用題的難點在于信息復雜，涉及范圍廣，因此，學生提取信息難度大，常不知如何下手.作為數學考試中的常考題型，掌握應用題的解題技巧是提升學生數學學習力的重要一環.因此，教師要歸納解題方法，滲透解題技巧，提升學生的解題水平.

（一）巧用圖表法梳理信息

應用題中的信息條件較為復雜，需要學生讀懂題意，理清思路.圖表法能夠將題目中的信息進行梳理，通過直觀地展示讓學生對題目信息一目了然，從而找到解題的路徑.特別是對于初中數學中的工程問題、行程問題和分配問題，應用圖表法梳理信息能夠輕松地進行解決.

案例1 行程問題

從北京到某地可以乘坐汽車或者坐火車，已知汽車的行駛路程為400千米，而火車的行駛路程為汽車行駛路程的1.3倍.

（1）汽車的行駛路程是多少？

（2）假設火車的平均時速為汽車平均時速的2.5倍，而乘坐火車從北京到某地所需的時間比乘坐汽車所需的時間少3時，火車的平均速度是多少？

解題分析 本題與學生的生活緊密相關，學生大多有乘坐汽車和火車的經歷，對于路程和速度問題在小學階段也都有涉獵，因此，這樣的題型能夠吸引學生的注意力.第（1）問可以根據題意直接作答：400×1.3=520（千米），第（1）問在計算過程中要保證結果的準確性，否則會影響第（2）問的作答.第（2）問則較為抽象，學生在解答中會有一定的難度.為了幫助學生迅速地理清題目中的信息，教師可以通過圖表法將問題的所有要素呈現出來，再引導學生進行仔細的分析.本題要抓住的關鍵信息是“火車的平均時速為汽車平均時速的2.5倍”，因此，可以設汽車的平均速度為x千米/時.

最后將解得的結果進行檢驗并作答即可.

行程問題由于涉及的要素較多，學生常常難以理清，進而導致解題錯誤.而通過圖表將題干中的信息和要素進行梳理歸納，則為學生理解題意打下了良好的基礎.學生通過觀察圖表中的信息進行思考分析，可理清數量關系，從而實現正確的解答.因此，圖表法能夠幫助學生更加快速和準確地提煉題目中的信息，使學生根據題目條件建構等式，從而正確解答，掌握解題方法.

圖表法是學生解答應用題的一個重要工具.與一般的文字信息不同的是，圖表法在呈現信息的時候往往將規律蘊含其中，但這種規律學生并不容易直接發現，因此，發現規律的過程很大程度上決定了應用題能否得到成功解答.所以，在應用圖表法進行應用題解題的時候，無論是題目本身所呈現的圖表，還是學生借助于圖表去處理應用題當中的信息，本質上都是應用題解決工具的選擇.教師在實際教學的時候，幫助學生用好圖表是關鍵所在，而用好圖表的關鍵又在于將應用題當中的信息與圖表結合起來，以確定圖表當中應當顯示哪些信息、如何顯示這些信息.上面的圖表中給出的信息就是普通列車和高鐵的路程、速度等，用圖表來呈現這些信息最大的好處就是可以表現出清晰的邏輯關系.在初中應用題解題的過程中，讓學生直接面對圖表是應用題解題的低階水平，讓學生自己去設計圖表則代表著高階水平.從低階水平到高階水平，實際上就對應著學生解題能力的提升.從數學學科核心素養發展的角度來看，運用圖表法解答應用題，很大程度上反映著學生的思維水平，教師可以據此判斷或引導學生“學會用數學的思維思考現實世界”.當然，這里有一個前提，那就是教師在選擇或設計應用題的時候，要突破傳統的思路，將應用題真正指向學生的生活，指向生活當中的實際問題.如果學生在面對實際問題的時候，也有運用圖表法梳理實際問題當中的信息并尋找邏輯關系的意識，那就意味著數學學科核心素養的培育打開了一扇新的大門.

（二）善用類比法化繁為簡

數學知識之間具有相互聯系，解題時通過類比法進行觀察和分析，從已有的知識和熟悉的問題出發進行聯想和對比，將其轉化為較為熟悉的類似問題，能夠化繁為簡，化難為易，實現問題的快速解決.

案例2 若a，b為方程x2+3x-1=0的根，并且a，b不相等，求3ab-2a-2b的值.

解題分析 這樣的試題，學生一般會想到通過解方程進行解題.經過嘗試，學生會發現，要求出a，b的值需要解兩個方程，而a，b各有兩個實數根，有四種情況，實數根也不是整數，計算過程非常復雜，大部分學生會覺得太麻煩，根本不想進行解題，解題中也容易出現錯誤.

因此，教師應引導學生進行仔細的觀察，便能夠從題目中遷移類比出一元二次方程根與系數之間的關系，從而找到解題的路徑.首先，a和b為一元二次方程x2+3x-1=0的根，根據根與系數之間的關系可以得到a，b的和為-3，a，b的積為-1，由此可以將題干中的式子變形為：3ab-2（a+b）=3×（-1）-2×（-3）=3.

類比法是數學學習中的重要方法，可以幫助學生通過知識點之間的相似特征構建聯系，從而建構知識網絡，收到事倍功半的學習效果.教師在教學中引導學生通過類比法進行解題，可以幫助學生將復雜和陌生的問題進行轉化，培養學生思維的靈活性，提升其數學學習力.站在初中生認知特點的角度來看類比法，可以發現類比法的價值之一就是可以降低學生的思維難度.學生將從對比對象當中所發現的邏輯關系遷移到應用題解決當中時，可以給其帶來恍然大悟之感.當然，數學應用題有著自身的特色，類比法在數學應用題解答過程中的應用更多的是一種策略性的存在.初中生或許不需要知道解題策略這一概念，但一定要體驗解題策略運用的過程，借助類比法解決應用題就是這樣的過程.數學知識之間的類比可以促使學生舉一反三，可以讓學生發現更多數學知識之間的聯系.從學習心理學的角度來看，這就是擴充了學生的知識組塊，可以讓學生在運用數學知識的時候視角更為寬闊，從而在解決數學應用題的時候也能夠做到得心應手.這樣的能力對應著數學學科核心素養中的數學模型建立與運用，反映了學生“運用數學語言表達現實世界”的素養.

（三）運用還原法突破難點

還原法是指從求解的問題出發進行逆向推理，從而尋找解題思路的過程.有些數學試題倘若通過一般的方法進行求解，計算過程非常復雜，甚至難以找到突破點，無從下手.因此，教師在講解如何解題時可以引導學生從最后的結果出發，運用信息之間的關系以及數學知識之間的邏輯關系進行逆推，從而推算出結果，這種解決問題的方法我們稱作還原法或者逆推法.

還原法就是從最后的結果進行逆向推理，從后往前進行倒推，逐步找到問題的突破點，最后得到答案.還原法可使原本通過順向解題難以解決或者非常復雜的問題變得簡便易懂，這符合學生的認知特點，可提升學生的解題素養，使學生學有所獲，體會到數學學習的樂趣.還原法當中蘊含著豐富的邏輯思維，同時與學生的直覺思維密切相關.所謂還原法，本質上依然是尋找給出的信息與問題之間的關系.應用題與一般的題型不同，其綜合性非常強，需要學生運用更多的數學知識以及邏輯關系進行解答，當學生通過順向思維無法解答的時候，換一個角度從逆向的角度去思考，這本身就是一種解題策略.在應用題解決過程中，無論是順向思維還是逆向思維，很關鍵的一點都是學生的自覺運用.因此，教師從主動引導到“被動指導”（即在學生有了還原法應用意識之后的引導）的切換，也反映了學生解答應用題水平的提高.

結 語

綜上所述，突破初中數學應用題的難點對于提升學生的思維能力、發展學生的數學品質具有非常重要的作用.這既依賴于學生主體作用的發揮，也離不開教師主導作用的發揮.首先，教師在選擇試題時要注意聯系生活，符合學生的認知習慣，能夠激發學生的學習興趣.其次，教師在教學中要采用靈活多變的教學方法和科學的教學策略，以提高學生的解題能力，實現思維認知的突破.最后，教師要認識到提升學生解決應用題的能力并不是教學的最終目標，而是要通過解應用題提升學生的數學學習能力，因此，教師要以學生的發展為導向研究解題方法，滲透數學思想，真正提升學生運用數學知識解決問題的意識，在潛移默化中實現解題能力的提升.

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