高中生三角函數學習障礙及教學策略分析

【摘要】三角函數在高中數學中有著重要的地位和作用，學習好三角函數對于實際生活問題的解決有著重要價值.現階段，學生對三角函數的學習遇到了諸多困難，為了幫助學生突破三角函數知識學習障礙，文章以高中數學三角函數為例，研究在三角函數的知識學習中，教師如何有效提高學生的學習效率和質量，幫助學生突破學習瓶頸.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；學習障礙；教學策略

三角函數是高中數學的重要組成部分，也是高考數學的熱門考點，其難度中等偏上，是學生高考得分的關鍵.三角函數部分知識涉及的公式較多，需要學生熟記的內容也較多.在教學實踐中，不難發現，有的學生對于三角函數部分知識存在一定的畏難心理，學習情況不容樂觀.分析高中數學三角函數部分的學習障礙，探尋制約學生三角函數部分學習的主要因素，設置相應的教學策略，是眾多一線數學教師需要思考的教學問題.

一、高中生學習三角函數學習障礙分析

（一）高中生三角函數任意角和弧度制學習障礙分析

在任意角的教學內容中，教材上通過圓周上的一點的位置刻畫和“一條射線圍繞著它的端點旋轉所成的圖形”，引出利用角去刻畫點的位置.在初中階段的數學學習中，學生明白了“射線繞端點旋轉可得到0°—360°的角”，繼續旋轉（結合旋轉方向）就會超出角的范圍，進而引出正角、負角、零角的概念，規定角的加減法，最后，將其放入坐標系中，規定象限角和軸線角.

在這些內容的學習中，學生往往會忽視角的方向，對角的正負理解不到位.

例1 經過2個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是（ ）.

A.60°，720° B.-60°，-720°

C.-30°，-360°D.-60°，720°

部分同學會選擇A，而正確答案應該是B.

障礙分析 部分學生在解決這一問題時，沒有正確認識到角的范圍已經擴大到任意角，沒有利用旋轉運動的思想去思考問題，還是利用初中階段所學的知識去分析問題，進而導致在解決這一問題時，因為沒有考慮方向而出現解題錯誤.

例2 終邊在直線y=-x上的角β的集合S=.

障礙分析 在解決這一問題時，部分學生會覺得這是一條直線，與之前學習過的終邊相同的角不一樣，從而寫不出答案.本題角的終邊落在直線y=-x上，實際上終邊位置有可能在第二象限的角平分線上，也可能在第四象限的角平分線上.在這部分知識教學中，學生對終邊相同的角的理解至關重要，終邊相同的角是從任意角的概念中分出來的，學生如果能夠利用旋轉的思想去分析問題，那么就能夠很順利地理解終邊相同的角.

例3 請嘗試使用弧度來表示終邊落在如圖1所示陰影部分（不包括邊界）的角的集合.

障礙分析 部分學生在解決這一問題時，存在以下情況：①角度和弧度不會轉化；②不會找合理的周期；③對于轉動的是射線還是直線搞不明白.還有些學生會忘了加2kπ或者kπ，這些都是不能夠完全理解角的旋轉的表現.學生解答本題時在角度和弧度靈活轉換的基礎上找出適當的周期，才能準確地描述角的范圍.

（二）高中生三角函數概念學習障礙分析

學生從三角函數概念部分知識的學習開始，就正式進入了對三角函數的深入學習.前面幾節課的學習幫助學生建立了角度制和弧度制的概念，并在角度與實數之間建立了一一對應的關系.在該部分知識的教學中，三角函數概念是一個從舊概念上升到新概念的過程，學生對三角函數概念的理解會產生障礙.雖然學生對于“比值定義法”和“單位圓定義法”講解的三角函數概念能夠理解，但是對于高中階段和初中階段三角函數定義產生的分歧還是難以接受.部分學生對三角函數的正負存在理解障礙，這一情況出現的主要原因是學生依然利用初中階段對三角函數的認識去理解知識.在教學過程中，教師要注意這部分內容要結合象限、坐標的相關知識適當練習，這樣學生就會比較容易理解三角函數值的正負.還有一部分學生在三角函數概念部分的學習中存在的障礙是對特殊角三角函數值的記憶，例如對30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，270°等特殊角的三角函數值記憶不準確，教師可以結合單位圓或對稱性等將其更直觀地展示出來.

（三）高中生三角函數圖像及性質學習障礙分析

三角函數圖像知識主要為正弦、余弦、正切函數的圖像與性質，正弦、余弦函數的性質及其應用，等等.三角函數部分知識從此處開始綜合性增強、靈活性增強、難度加大，是學生產生學習障礙較多的部分.例如學生對相關概念的理解不夠透徹，正余弦函數圖像辨析不清，對“五點作圖法”的掌握不夠準確，也不理解圖像的周期性，難以借助一個周期圖像延伸到多個周期，對于相關知識之間的區別與聯系把握不準，導致在三角函數圖像應用方面出現障礙，特別是在三角函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性方面存在的問題較大.在數學文字閱讀方面，部分學生也存在障礙，面對題目設置的問題，他們找不到關鍵信息，無法將題目信息轉化為有效條件，有些學生還會遺漏題目條件，尤其是角的范圍和定義域方面的問題容易被忽視.圖像和公式記憶不清、不會畫圖、張冠李戴的情況也經常出現.該部分涉及的主要思想有轉化與化歸思想、函數與方程思想和數形結合思想三個方面，學生需要靈活掌握這些數學思想，才能夠將新的數學問題與舊的數學知識聯系起來，擺脫計算量大、難以入手的困境.最后，三角函數部分涵蓋的公式較多，每個公式之間存在著緊密的聯系，利用起來靈活性較高，有的學生在使用這些公式解決問題時，不知道該使用哪一個公式去計算，導致解題緩慢或者解題出錯.

二、高中數學三角函數教學策略

（一）三角函數任意角和弧度制教學策略

針對在教學中出現的“忽視角的方向，對角的正負不理解”的問題，教師可以嘗試以下方式：列舉出初中階段學生學習的角的定義，與高中階段要學習的任意角的定義，進行比較，引導學生發現它們之間的不同.高中階段的任意角不僅能夠表示比360°大的角，還能夠表示比0°小的角.對于如何幫助學生理解角的正負，教師可以結合構建主義理論，將要學習的新知識與學生原有知識經驗進行對比，引入物理中速度的表示方法“規定了速度正方向后，相反方向的速度就通過負號來區分”.這樣的類比能夠幫助學生理解角的正負并不是指角的大小，而是指角的旋轉方向.這樣不僅能夠幫助學生加深對任意角正負的理解，還能夠引導學生知道任意角的概念就是一個旋轉動態刻畫，并不是一個簡單的圖形，提升學生對知識的遷移能力，讓學生感受到知識之間的相互聯系，提高學習能力.

對于弧度制部分知識的教學，教師要注重穩扎穩打，不能夠因為趕教學進度而忽略學生對知識的深層次理解，不能夠僅僅告訴學生π=180°這一轉換公式就急于練習，要將弧度制的引入過程和必要性加以分析，為學生后面學習三角函數定義域奠定基礎.在具體的教學過程中，教師可以引入學生初中階段所學習的弧長公式和扇形的面積公式：利用圓心角與周角的比例乘圓的周長來得到所求圓心角對應的弧長，利用扇形所對應圓心角與周角的比例乘圓的面積得到扇形的面積.教師可以在不同的場合應用弧度制，幫助學生構建弧度制的使用氛圍，讓學生在潛移默化中逐漸掌握知識.

（二）三角函數概念教學策略

（三）三角函數圖像及性質教學策略

閱讀量的不足和對數學定義的理解不充分是導致學生不理解題意，無法提取題干有效信息的重要因素，這就需要高中數學教師在教學中深化課堂教學，在實施常規課堂教學以外，引導學生回顧相應的概念和定義，幫助學生構建相應的概念知識體系.同時，教師要引導學生繪制相應的圖像，加深學生對圖像和文字的對應關系的理解.對于學生三角函數圖像及性質的學習障礙，教師可以引導學生對常規的問題進行總結分類：該部分知識主要包含了求值、求范圍和證明三大類問題.如在解決求值類問題時，學生可以利用方程思想，通過設未知數，借助等量關系來列方程求解；對于求范圍和最值的問題，教師可以引導學生先尋求變量的表達式，將目標變量轉化為其他變量，再通過等量關系將其化簡成為只包含一個參數的式子，進而將其轉化成求函數最值的問題，這樣就可以與初等函數性質相結合，求出范圍或最值.

結 語

綜上所述，對高中生來說，三角函數部分知識并不陌生，他們在初中階段就接觸過三角函數，進入高中以后，學生只是在原來銳角三角函數的基礎上做了進一步的延伸，原有的內容公式相應增加，變化更加靈活.在三角函數任意角和弧度制、三角函數概念、三角函數圖像及性質的學習中，學生都會面臨不同的學習障礙，教師要密切關注學生的學習情況，及時分析學生三角函數知識學習中存在的障礙，對教學策略做出靈活調整，這樣才能夠幫助學生克服困難，有效提升課堂教學效果.

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