核心素養視角下“圓錐曲線”單元整體教學的構建與實施

【摘 要】文章以UbD單元教學設計模式、基于核心素養的單元教學設計過程、學習路徑為理論基礎，構建“圓錐曲線”單元整體教學，從大情境、大問題、大概念、大格局四個方面，引領學生經歷“發現圓錐曲線截線定義—探索圓錐曲線焦半徑性質—感知圓錐曲線生成過程—表達圓錐曲線軌跡定義—推導圓錐曲線標準方程”的過程，最終幫助學生建立三種曲線概念的統一。實踐結果表明，構建的“圓錐曲線”單元整體教學有助于發展學生的數學學科核心素養。

【關鍵詞】核心素養；圓錐曲線；單元整體教學

一、問題的提出

核心素養是學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力［1］，而學生核心素養的培養，最終要落在學科核心素養的培育上［2］。指向學科核心素養的大單元設計是學科核心素養落地的關鍵路徑［3］。大單元設計下的課時教學不同于傳統的以知識傳授為主的學習，強調將教學內容置于整體內容中去把控，更多地關注教學內容的本質及其蘊含的數學思想。［4］

筆者回顧以往關于“圓錐曲線”單元教學的課例，發現大部分一線教師在實際教學中更注重課時內容，緊緊圍繞一節課的知識進行設計，沒有從知識、思想、方法等層面理解這節課在整體單元中的位置，使得學生對數學知識缺乏整體性和聯系性的觀念，缺乏遷移能力的培養。

“圓錐曲線”是高中數學解析幾何的核心內容，學生理解橢圓、雙曲線和拋物線的概念是教學的重點，也是難點。為了能夠幫助學生更好地理解其概念，可以運用數學史料對正在進行的數學教學以歷史經驗的襯托［5］。無論是橢圓、雙曲線，還是拋物線，都源于古希臘時期人們對三大尺規作圖的探索［6］，而后經阿波羅尼奧斯、帕波斯等人的推動，圓錐曲線的截線定義、焦點—準線定義，以及軌跡定義才應運而生，并最終在Dandelin雙球模型中實現統一。

基于此，本研究從單元整體教學出發，嘗試構建“圓錐曲線”單元整體教學，提升教師統整單元教學的能力，培養學生的數學學科核心素養。

二、“圓錐曲線”單元整體教學的構建

研究首先闡述“圓錐曲線”單元整體教學的理論基礎，并基于該理論，從學習目標、實證依據和教學活動三個方面構建“圓錐曲線”單元整體教學。

（一）理論基礎

1. UbD單元教學設計模式

格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰針對傳統教學設計中活動導向的教學設計及灌輸式學習的教學設計誤區，提出了UbD（Understanding by Design）單元模板。［7］為理解而教采用逆向設計的方法，即明確預期的學習結果、確定學生實現理解的證據、安排相關的教學活動［8］，也就是UbD單元教學設計模式。

明確預期的學習結果（明確學習目標），即明確在每節課及單元教學后，期望學生達成的目標，該目標可細分為掌握知能、理解意義、學會遷移三個水平。其中，掌握知能期望學生能夠掌握教學中涉及的相關概念，即清楚概念“是什么”；理解意義期望學生能夠理解概念的發生發展過程，即清楚概念“是怎么來的”；學會遷移期望學生能夠基于對概念的理解，將所學知識遷移、應用到新的情境中，從而解決相關問題。確定學生實現理解的證據（確立實證依據）主要是指設計合適的評價任務，用于檢測學習目標是否達成。安排相關的教學活動（規劃教學活動），即從單元整體視角出發，設計圍繞學習目標開展的學習活動。

2.基于核心素養的單元教學設計過程

基于核心素養的單元教學設計過程大概可以描述如下：①把握數學知識的本質和學生認知的過程；②創設合適的教學情境，提出合適的數學問題；③啟發學生思考，鼓勵學生與他人交流；④讓學生在掌握知識技能的同時，理解數學知識的本質；⑤感悟數學的思想，形成和發展數學核心素養。［9］

其中，前兩點要求教師定位本節課的重難點和最本質的問題，結合文獻、課例及學生課堂反饋進行分析，從而把握學生的認知特點，并確定與問題關系密切的課堂情境。第③點要求教師注重教學形式，培養學生會想問題、會提問題以及會談看法的品質。第④點則為課堂目標，屬于短期目標，學生在想問題、提問題的過程中，逐漸掌握知能，理解概念。第⑤點為長期目標，它可能需要一學期、一學年甚至幾年才可以達成。

3.學習路徑

學習路徑描述了學生在一個特定數學領域的思維和學習狀態，主要包括教學目標、學生思維模式、教學任務序列，以及它們在詳細的分析層面上的相互作用過程。［10］因此，為了更好地引導學生經歷概念的發生發展過程，教師一方面要對概念有深層次的理解，另一方面要對學生的學習經驗、學習過程以及認知發展規律有清晰的了解。

（二）明確學習目標

學習目標分為單元學習目標和課時學習目標，教師應在清楚單元學習目標的前提下，分別制訂課時學習目標。根據掌握知能、理解意義、學會遷移三個水平，可將“圓錐曲線”單元學習目標細分如下（見表1）。

（三）確立實證依據

為檢驗學生是否達成“圓錐曲線”單元教學中的課時學習目標，本研究編制了三份問卷：橢圓課時后測、雙曲線課時后測和拋物線課時后測。同時，為檢驗學生是否達成單元學習目標，本研究按照掌握知能、理解意義、學會遷移三個水平，編制了單元后測問卷和綜合后測問卷。其中，學會遷移水平的題目如表2所示。

具體而言，學生在學完圓錐曲線的概念后，應具備一定的解析幾何思想，即能夠通過分析圖象，探究圖象上點的幾何特征，并根據其特征建立恰當的坐標系，進而推導其軌跡方程。這反映了學生知識遷移能力的提升，也在一定程度上體現了其數學抽象素養。

（四）規劃教學活動

探尋橢圓、雙曲線和拋物線概念的過程，實質就是探究曲線上點的幾何特征的過程。為此，“圓錐曲線”單元教學任務的推進可以遵循以下路徑：發現圓錐曲線截線定義—探索圓錐曲線焦半徑性質—感知圓錐曲線生成過程—表達圓錐曲線軌跡定義—推導圓錐曲線標準方程（如圖1）。整個過程動靜結合，從幾何性質到代數方程，反映了學習解析幾何的基本路徑，更有助于學生掌握曲線概念及培養數學抽象素養。

整體而言，橢圓、雙曲線和拋物線的單元整體教學可以基于大情境、大問題、大概念、大格局開展。也就是說，教師應當引導學生將橢圓、雙曲線和拋物線視為整體，在大情境的推動下解決大問題，在大問題的解決過程中，經歷知識發生發展的過程，進而形成大概念。這里的大概念不僅對應數學抽象素養，也呼應最初確立的學習目標，形成一個大格局（如圖2）。

三、“圓錐曲線”單元整體教學的實施

（一）大情境

大情境不僅要做到課時內的一以貫之，更要盡可能做到不同課時間的一以貫之，如果不同課時的情境出現了變化，也應保證前后情境的邏輯自洽性［11］。

橢圓、雙曲線和拋物線之所以稱為圓錐曲線，顧名思義，是因為通過改變平面與圓錐軸線的角度，便可以截出這三種曲線，這也是曲線截線定義的由來。而為了建立截線定義與軌跡定義的聯系，又離不開Dandelin雙球模型。

為此，本研究將Dandelin雙球模型作為單元教學的大情境，從而實現情境的統一和單元教學的連貫。需要說明的是，最初的Dandelin雙球模型適用于探討橢圓上點的幾何特征，進而得到橢圓的軌跡定義。為了得到雙曲線和拋物線的軌跡定義，有必要對Dandelin雙球模型進行變形，這就形成了對頂圓錐雙球模型和單圓錐單球模型（為方便表述，下文統稱Dandelin雙球模型），如表3所示。

（二）大問題

大問題是在學科或課程中處于核心位置，從大情境中自然引發的、需要回答和解決的、能促進學生深入思考和探究的總結性概括問題或單元的主題性問題。

“圓錐曲線”單元教學的核心是帶領學生從Dandelin雙球模型中發現曲線的截線定義，探索曲線上點的幾何特征，得到曲線的軌跡定義，進而推導出曲線的標準方程。其中，得到曲線的軌跡定義是課時教學目標之一，也是學生在課堂中不斷探索的方向。而為了得到曲線的軌跡定義，就需要清楚曲線上的點滿足怎樣的幾何特征。

為此，本單元的大問題應緊緊圍繞點的幾何特征展開，即橢圓上的點應滿足怎樣的幾何特征，雙曲線上的點應滿足怎樣的幾何特征，以及拋物線上的點應滿足怎樣的幾何特征。這也為后續兩個問題做好鋪墊，即如何表述曲線的軌跡定義，如何基于軌跡定義推導曲線方程。

（三）大概念

大概念是對概念間關系的抽象表述，是對事物的性質、特征以及事物間的內在關系及規律的高度概括［12］。大概念既包含對于核心內容本質的理解，也包括知識形成和應用過程中所體現出來的思想方法和思維方式［13］，前者是內容大概念，后者是過程大概念。

“圓錐曲線”單元的大概念同樣可以從內容大概念和過程大概念兩個方面進行闡釋。從內容大概念來看，就是理解橢圓、雙曲線和拋物線的軌跡定義，清楚其軌跡定義的探究過程；從過程大概念來看，圓錐曲線概念的形成過程就是數學抽象的過程，其中所體現的就是數學抽象素養。

（四）大格局

“圓錐曲線”單元整體教學的大格局可從宏觀和微觀兩個視角分析。從宏觀視角來看，“圓錐曲線”單元整體教學將UbD單元教學設計模式、基于核心素養的單元教學設計過程、學習路徑理論貫穿始終，體現了單元教學的整體格局。同時，將Dandelin雙球模型作為單元教學的大情境，將曲線上的點應滿足怎樣的幾何特征作為單元教學的大問題，又將圓錐曲線單元的大概念細分為內容大概念和過程大概念。從微觀視角來看，本研究構建的三條學習路徑遵循學生的認知發展規律，教師帶領學生經歷了圓錐曲線概念的發生發展過程。整個過程既是動與靜的高度聯結，也是幾何性質與代數方程的有效結合。

（五）不同課時下的學習路徑（以橢圓為例）

“圓錐曲線”單元學習路徑包括橢圓、雙曲線和拋物線三節概念課。本研究通過多次教學試驗，最終得到了基于數學抽象素養的“圓錐曲線”單元學習路徑。由于文章篇幅有限，下面簡要呈現“橢圓及其標準方程”的學習路徑（如圖3）。

四、“圓錐曲線”單元整體教學效果的檢驗

選取杭州市XJ中學高二年級兩個平行班作為實驗班，按照本研究設計的“圓錐曲線”單元學習路徑展開教學。同時，選取同一所學校高二年級兩個平行班作為對照班，按照人教A版高中數學教材選擇性必修第一冊的“圓錐曲線”學習路徑展開教學。單元前測表明，所有班級整體水平不存在顯著性差異。

為檢驗“圓錐曲線”單元整體教學的效果，本研究進行了橫向比較和縱向比較。其中，橫向比較主要比較實驗班和對照班在單元后測中的認知水平情況，縱向比較主要比較實驗班在單元后測和綜合后測的認知水平情況。

（一）橫向比較

對比實驗班和對照班的單元后測情況，目的在于驗證本研究設計的“圓錐曲線”單元學習路徑是否更有助于加深學生對概念的理解，以及是否更有助于培養學生的數學抽象素養。

通過分析實驗班和對照班學生在單元后測中各個水平的得分率（如圖4），可以發現實驗班在各個水平上的正確率都比較高，其中，掌握知能水平與對照班的差距最大。

為檢驗學生在三個水平上的差異是否顯著，先對各個水平的得分數據進行正態分布檢驗，結果表明，掌握知能水平（P=0.637）、理解意義水平（P=0.854）、學會遷移水平（P=0.536）均滿足正態分布。在此基礎上，對數據進行獨立樣本t檢驗，認為實驗班和對照班學生在掌握知能水平（t=4.371，P＜0.001）存在顯著性差異，而在理解意義水平（t=1.645，P=0.102）和學會遷移水平（t=1.807，P=0.074）不存在顯著性差異。

盡管在理解意義和學會遷移水平的差異性不夠顯著，但從得分率來看，實驗班還是略高于對照班，仍能表明實驗班學生對圓錐曲線概念的理解更深刻，數學抽象素養的提升也更顯著。

（二）縱向比較

對比實驗班在兩次后測中的情況，目的在于檢驗本研究設計的“圓錐曲線”單元學習路徑是否真正對學生的學習產生了深刻的影響。

通過分析實驗班在單元后測和綜合后測中各個水平的得分率（如圖5），可以發現實驗班在三個水平的得分率均有所下降，其中，理解意義水平下降程度最大。

為檢驗學生在各個水平上的差異是否顯著，需對其進行配對樣本t檢驗。由于上述環節已經對單元后測的各個水平進行了正態分布檢驗，故再對綜合后測的各個水平進行正態分布檢驗即可。結果表明，掌握知能水平（P=0.827）、理解意義水平（P=0.596）、學會遷移水平（P=0.585）均滿足正態分布。在此基礎上，對數據進行配對樣本t檢驗，結果表明，實驗班學生在理解意義水平（t=2.368，P＜0.001）存在顯著性差異，而在掌握知能水平（t=1.786，P=0.512）和學會遷移水平（t=4.357，P=0.325）不存在顯著性差異。

究其原因，可能是因為學生兩周內沒有接觸圓錐曲線的概念，而是將主要精力放在解題上，對圓錐曲線的本質有所淡忘。值得注意的是，學生的學會遷移水平并沒有顯著性差異，這也說明通過本研究構建的“圓錐曲線”單元整體教學，學生知識遷移的能力得到了強化，數學抽象素養也得到了提升。

五、結論與建議

（一）研究結論

為促進學生對“圓錐曲線”概念的理解，并培養學生的數學抽象素養，本研究在UbD單元教學設計模式、基于核心素養的單元教學設計過程、學習路徑理論的基礎上，嘗試構建“圓錐曲線”單元整體教學的框架，并付諸實施。結果表明，學生對圓錐曲線的概念理解更深刻了，知識遷移的能力得到提升，數學抽象素養也得到有效發展。

（二）教學建議

1.“圓錐曲線”單元整體教學應以Dandelin雙球模型作為大情境

為了搭建圓錐曲線截線定義與軌跡定義的橋梁，Dandelin雙球模型充當著重要的角色。無論是橢圓、雙曲線，還是拋物線，都可以通過平面截圓錐的方式獲得曲線的截線定義。而為了獲得曲線的軌跡定義，則需要借助Dandelin雙球模型。為此，教師可以將Dandelin雙球模型作為貫徹三節課的大情境，從而保證學生學習思維的連貫性。

2.“圓錐曲線”單元整體教學應以點的幾何特征作為大問題

課堂中教師提出的問題是課堂的“課眼”，是課堂教學的主線。在“圓錐曲線”單元整體教學中，教師需著重帶領學生探究曲線上點的幾何特征，因為它是后續總結圓錐曲線軌跡定義，推導圓錐曲線標準方程的基礎。

3.“圓錐曲線”單元整體教學應引領學生建立三種曲線的統一

所謂單元整體教學，應當將單元內的知識作為一個整體，建立起它們之間的聯系。對于“圓錐曲線”單元而言，教師不僅要帶領學生經歷曲線上點的幾何特征的探究過程，讓學生從截線定義和軌跡定義兩個方面充分理解曲線，更要引導學生意識到橢圓、雙曲線和拋物線的共同之處，即它們在定義、方程、準線和名稱方面都有統一的地方。只有建立了三種曲線的統一，才算真正意義上塑成“單元之形體”，形成單元整體教學的大格局。

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（責任編輯：羅小熒）