數學建模素養視域下的可視化作業設計探討

摘 要：在新課標視域下，教師應立足數學建模素養的內涵，為學生設計可視化作業，使學生在可視化作業訓練中經歷“提取關鍵信息、建模解釋、解決問題”的學習過程以及思維訓練過程，最終實現數學建模素養的提升.

關鍵詞：高中數學；可視化作業；數學建模；核心素養

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）33-0008-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡介：符鷹（1988.4—），女， 湖南省邵陽人，碩士，中學一級教師， 從事高中數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》聚焦新時代的人才培養目標，基于數學學科的特點，確立了培養學生數學核心素養的課程教學目標.數學建模作為高中數學核心素養的重要組成，以現實生活中常見的問題作為載體，從中抽象出數學問題，并結合所學知識構建數學模型、解決數學問題.具體來說，數學建模的過程就是“實際問題—建立數學模型—求解數學模型—解決實際問題”.作業作為數學課堂教學的重要環節，是培養學生數學建模素養最佳切入點.可視化作業主要依托文字、圖形等形式，將內隱的思維呈現出來，使學生在可視化作業中錘煉解題思路，提升解題技巧，促進高階思維發展，真正提升學生的數學建模素養.鑒于此，筆者結合“三角函數”單元作業設計為例，針對數學建模視域下可視化作業的設計策略進行了詳細的探究.

1 依托思維導圖，促進作業設計思路可視化

在設計作業之前，必須對其進行系統化思考和理性規劃.通常，教師在設計作業時，應遵循這一思路展開：思考作業所達成的總體目標—分析作業設計要素（學情分析、課標分析、實現目標分析）—作業概況分析（作業數量、題目分布、作業形式）—具體作業設計—反思和完善.為了培養學生的數學建模素養，教師可將上述作業設計思路繪制成思維導圖，使其直觀地呈現出來.例如，在“三角函數”單元作業設計中，為了培養學生的數學建模素養，教師在設計作業之前，就將“以‘三角函數’為載體，培養學生數學建模素養”作為作業設計總目標.接著，又遵循“作業要素分析”“作業概況分析”“具體作業設計”“反思與完善”的順序進行規劃.

“作業要素分析”主要包含了“教學內容和課程要求分析”“學情分析”“實現目標策略”三個部分.首先，教學內容和課程要求分析：三角函數是刻畫周期現象的數學模型.對此，在最新版的課程標準中，明確提出了“能夠利用三角函數構建數學模型”的要求，倡導教師在組織課堂教學時，能夠結合教學內容，為學生呈現實際問題，使得學生在實際問題情境中，通過構建數學模型的方式，達成教學目標.鑒于此，教師在設計可視化作業時，應科學選擇能夠讓學生經歷數學建模過程的問題，使學生在作業中，學會選擇合適的數學模型、確定參數、建立模型、求解模型等，最終結合所學的知識，解決實際問題.其次，學情分析：學生在學習“三角函數”之前，已經通過學習指數函數、對數函數、冪函數等，形成了運用函數模型解決簡單問題的技能，并在經歷數學建模的全過程后積累了一定的數學建模經驗.本章節是運用函數模型刻畫周期現象，并解決和周期現象相關的現實問題，具有一定的難度.最后，實現目標策略建模素養視域下，教師在設計可視化作業時，應關注三個目標：

①對數學研究對象進行抽象，為學生呈現問題情境，使學生在熟悉的實際問題中，將數學問題抽象出來，并利用數學語言表述出來；

②加強數學知識的應用，指導學生建立數學模型，并運用所學知識分析和解決現實問題，在促進知識遷移的同時，強化學生的建模意識；

③將數學建模的全部過程呈現出來，讓學生經歷數據收集、建立模型、改進模型、解決問題等過程.

“作業概況”主要包含了“作業數目與內容分布”“作業形式與來源”“難度與學生完成時間”三個部分.其中，“作業數目與內容分布”：鑒于本章節內容，教師在設計作業時，應聚焦學生的數學建模素養，為學生布置了6道題目.在這6道題目中，4道題目涉及了刻畫周期現象，2道題目涉及了三角恒等變換；“作業形式與來源”：這6道題目以解答題為主，且三分之一的題目來源于各個版本教材，三分之二的題目則是改編題和原創題，只有1道題目屬于開放性題目，旨在引領學生在作業中經歷數學建模的全部過程；“難度與學生完成時間”：鑒于學生的實際情況，教師將作業劃分為基礎題、提升題、拓展題三個部分，并將其比例控制在1∶3∶2，使得完成整個作業的時間控制在90分鐘之內.

2 基于思維過程，使作業設計過程形象可視

數學建模素養下，教師在設計可視化作業時，應充分借助思維導圖，將作業設計過程呈現出來，使作業設計思路清晰可見^[1].對“三角函數”這一單元來說，教師在設計可視化作業時，為學生設計了如下思維過程，見表1.

作業目標：

①熟悉的實際情況中模仿任意角的刻畫過程，解決簡單周期性問題.

②運用三角恒等變換知識解決測量問題、最值問題.

③能夠在關聯情境中抽象出周期問題，并運用三角函數進行表達.

④能夠理解模型中的參數意義，分析實際問題，提出開放性問題解決方案.

⑤能夠在比較復雜的情景中，結合所學的知識，遷移所學方法，提出現實問題解決方案，并通過收集數據、建立模型、改進模型等過程，最終解決現實問題.

作業題目：

題目1 今天是星期三，那么n天之后是星期幾？

題目2 如圖1所示，有AB，CD兩座建筑物，其高度分別為9 m、15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°，求AB，CD兩座建筑物底部之間的距離？

題目3 小區里有一個圓形噴泉，其半徑為10 m，挨著噴泉的是一個以噴泉為圓心的圓形跑道（其寬度忽略不計），小明的爸爸在距離噴泉中心25 m處的涼亭中休息，小明則以60 m/min的速度在圓形跑道中散步.如果想要知道t min時，小明和爸爸之間的距離，還需要增加什么條件？請根據所增加的條件，求出t min小明和爸爸之間的距離？

題目4 屋頂的斷面呈等腰△ABC，其中AB=BC，橫梁AC的長度為定值2l，當屋頂的傾斜角α為多少時，雨水從屋上流下來所需的時間最短？

題目5 有一對相互咬合轉動的圓形齒輪，大齒輪、小齒輪的半徑分別為5 cm、3 cm，已知大齒輪轉1圈所需要的時間為2 min，從大齒輪上一點A和小齒輪上一點B第一次相遇開始計時.

（1）兩點第二次相遇所需要的時間為多少？

（2）兩點第一次相距最遠時所需要的時間為多少？

（3）經過20 min時，點B和大齒輪中心的距離為多少？

（4）經過t min，A，B兩點之間的距離為多少？

題目6 天安門廣場的國旗，每天都伴隨著太陽緩緩升起，伴隨著日落降下來.結合相關統計資料，統計一年中的日出和日落時間.班級中有一位同學打算在“五一”假期到北京去看升旗儀式，他應該在幾點鐘之前到達？

3 基于問題鏈，對作業設計進行可視化反思

作業設計是一項系統化的工程，不僅僅要具備明確的設計思路，還應結合設計總體規劃，逐一分析設計出來的題目.另外，教師還應結合學生的作業完成情況進行反思，明確作業設計的優勢和不足，并對其進行改進和完善.具體來說，教師在作業反思中，可充分利用問題鏈這一方式，將作業反思思路清晰地呈現出來.在“三角函數”單元作業設計中，為了培養學生的數學建模素養，教師在設計完數學作業之后，就聚焦數學建模素養，圍繞所設計的6道作業題目，設計了一系列的反思問題.

問題1 通過這6道作業，是否達到了提升學生數學建模素養的目標？是否從關聯的情景中設置數學作業？作業是否體現了數學抽象、現實問題數學化的過程？作業是否提升了學生運用數學語言表達現實問題、運用數學方法建構數學模型和解決問題的能力？作業是否培養了學生發現問題、提出問題的能力？

問題2 作業設計是否能契合學生的實際情況？其難度是否合適？作業數量是否適中？作業對于數學建模素養的水平把握是否恰當？

問題3 需要對設計好的作業做出哪些改進和完善？

通過問題鏈的引領，作業反思過程能夠更加可視化，這可以促使教師在反思中進行優化和改進.如作業3和作業5還可以持續優化，雖然兩道題目都是運用數學模型解決周期現象問題，但形式比較單一，基本上都是以圓周運動作為載體；作業6綜合性不夠強，學生無法很好地從中經歷數學建模的全過程.

如此一來，在問題鏈的引領下，教師通過有效的反思、完善與改進等，真正提升了課后作業設計質量，使得學生在高質量的作業中，逐漸提升了自身的數學建模素養^[2].

4 結束語

綜上所述，作業設計作為課堂教學活動的重要組成，承擔著多重育人價值.核心素養下，設計可視化數學作業，發展學生的數學建模素養，已經成為高中數學教師研究的重點.鑒于此，教師必須立足于數學建模素養和可視化作業間的內在聯系，通過思維導圖作好總體規劃設計，并將作業設計過程直觀地呈現出來，最終經過問題鏈的引導，在反思中不斷提升作業設計質量，使學生在高質量的課后作業中，提升數學建模素養.

參考文獻：

[1] 華燕萍.指向數學建模素養的可視化作業的設計與實施探討[J].華夏教師，2021（16）：71-72.

[2] 張治才.培養高中生數學建模素養的可視化作業設計：以“三角函數”單元為例[J].中學數學教學參考，2023（21）：11-13.

[責任編輯：李 璟]