基于APOS理論的數學活動課的設計與實施策略

摘要：本文中以“折紙做60°，30°，15°的角”活動課為例，詳細闡述了核心素養導向下數學活動課的設計原則與實施策略.以APOS理論為指導，通過實踐操作、觀察發現、邏輯推理等教學活動，精心設計了數學活動課的教學環節，旨在培養學生的動手能力、觀察力和推理能力，進而提升學生的數學核心素養.通過實際課堂教學的應用，驗證了這種教學方法的有效性，可為核心素養導向下的數學活動課教學提供參考.

關鍵詞：核心素養；APOS理論；設計策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》將課程內容分為四大板塊：數與代數、圖形與幾何、統計與概率和綜合與實踐[1].其中，綜合與實踐強調學生的動手與問題解決能力，鼓勵學生將數學知識應用于實際情境，培養創新意識.然而，對于一線教師來說，如何有效教授這一板塊是個挑戰.本文中采用杜賓斯基的APOS理論[2]，以“折紙做60°，30°，15°的角”活動課為例，探討如何在課堂中落實數學學科核心素養，為教學設計提供策略與方法.

1 數學活動情境的來源

本節課的教學內容取材自人教版《義務教育教科書數學》八年級下冊（以下簡稱“教材”）第十八章的數學活動，具體為“活動1折紙做60°，30°，15°的角”.教材內容如下：

如果我們身邊沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采取如下方法（如圖1所示）：

（1）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

（2）再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM.同時，得到線段BN.

觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，它們之間存在什么關系？能否給出證明？

通過證明可知，這是從矩形得到30°角的好方法，簡單而準確.由此，15°，60°，120°，150°等角就容易得到了.

這樣的數學活動不僅培養了學生的動手能力，還深化了他們對角度概念的理解和應用.

2 基于APOS理論的數學活動課教學設計四階段

遵循杜賓斯基的APOS理論，本課教學設計分為四階段：

（1）操作（Action）：通過生活實例——折紙，導入新課，激發學生興趣.

（2）過程（Process）：學生按指導完成折紙，從等腰直角三角形到等邊三角形，教師實例引導，深化理解.

（3）對象（Object）：對折好的等邊三角形進行內在邏輯分析，教師設問，引導學生深入探究.

（4）圖式（Scheme）：學生整合前面階段的知識，構建完整的數學概念框架，實現知識內化與遷移.

３ 實踐求真：數學學科核心素養的課堂生根

環節1""創設情境，引入新課

數學折紙，作為一種獨特的藝術形式，不僅美觀實用，更蘊含著豐富的數學知識.想象一下，在太空探測中，折紙技術被用來將太陽能板折疊至最小體積，以便在狹小的火箭內部運輸，到達太空后再展開.這一過程中，涉及到了圖形的全等、軸對稱等數學概念.今天，我們就將借助折紙活動，一同探索60°，30°，15°等特殊角度的折法.

說明：通過引入太空探測中的實際應用，促使學生感受數學與生活的緊密聯系，激發他們的探索欲望和學習興趣.

環節2""實際操作，深度思考

問題1""你能利用一張A4紙折出一個等腰直角三角形嗎？請說明理由.

師生活動：學生分組操作，教師在旁指導，鼓勵學生通過嘗試找到正確的折法，如圖2.

說明：以學生熟悉的等腰直角三角形作為起點，通過折紙活動，促使學生輕松掌握45°角的折法，同時為后續復雜角度的折疊打下基礎.

問題2""能否通過折疊和畫圖（不利用量角器或三角尺），用一張矩形紙片折出等腰三角形？

師生活動：學生小組合作探究，嘗試不同的折法，并上臺分享自己的發現.教師總結學生的折疊方法，并歸納為三種主要類型，如圖3-1，3-2，3-3.

方法一：垂直平分線模型，如圖3-1，折出箏形，連接AN，即可得到兩個等腰三角形.

方法二：“角平分線+平行線”模型，如圖3-2.

方法三：矩形的對稱性，如圖3-3.

說明：通過展示引導學生進一步感悟翻折的對稱性，加深對折痕是垂直平分線的理解，為構造等邊三角形打基礎，培養學生的幾何直觀素養.

問題3""不利用量角器或三角尺，能否通過折疊和畫圖，得到等邊三角形？（展示折紙過程.）

師生活動：學生上臺展示，教師引導學生揭示思維過程，得出折疊步驟.

（1）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

（2）再一次折疊紙片，使點A落在折痕EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM.同時，得到線段BN.

（3）連接BN，AN，得到等邊三角形ABN.

說明：學生經歷從特殊到一般的折紙活動后，得到折出特殊等腰三角形的方法，積累活動經驗，提升空間觀念和邏輯推理能力.

環節3""引發思考，理論驗證

問題4""你能說出以上操作的道理嗎？

師生活動：教師引導學生觀察、分析、思考、驗證，依據折疊的本質書寫證明過程.

已知：△ABN中，AB=BN，點N在線段AB的垂直平分線上，求證：△ABN是等邊三角形.

證明：∵點N在線段AB的垂直平分上，

∴AN=BN.

又AB=BN，

∴AB=AN=BN.

∴△ABN是等邊三角形.

說明：通過推理論證，培養學生用數學的語言表達世界，提升學生邏輯推理能力.

問題5""觀察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，這三個角有怎樣的大小關系？怎樣折15°的角呢？

師生活動：學生獨立操作并展示，教師點評.

說明：鞏固折60°角的方法，再次感受折痕是角平分線，培養學生的模型觀念、抽象能力和應用意識.

環節4""鞏固新知，遷移應用

本環節圍繞“矩形的折疊”展開，結合中考實際，深化學生對數學活動課的認識.通過本題，期望學生提升對平面幾何圖形的理解和應用，培養邏輯思維與問題解決能力，為未來的深入學習奠定堅實基礎.

例題""（中考實踐應用題）

（1）操作判斷

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM.

當點M在EF上時，寫出圖4中一個30°的角_____.

（2）遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ.

①如圖5，當點M在EF上時，∠MBQ=_____，∠CBQ=_____；

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖6，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由.

師生活動：學生獨立完成例題，教師鼓勵學生探索多種解法，關注其邏輯分析與問題解決過程..

說明：通過操作、探究為后續學習復雜平面幾何圖形打下基礎，培養邏輯推理和應用意識.

環節5""總結體悟，積累經驗

問題6""本節課你有哪些收獲？

師生活動：教師利用圖7，幫助學生在大腦中形成新的認知結構.

通過圖示展示知識的連貫性和演變過程：從三角形概念出發，逐漸延伸到等腰直角三角形、等腰三角形、等邊三角形，進而關聯到角度如60°，30°和15°角的特殊性質.幫助學生構建知識結構.

說明：幫助學生強化知識記憶，完善知識體系，積累研究路徑、方法和經驗;促使學生深刻認識折疊的數學本質，培養學生數感和模型觀念.

環節6""課堂延升，自主探究

在上述例題的遷移探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8 cm，當FQ=1 cm時，直接寫出AP的長.

說明：設計自主探究問題，旨在激發學生學習興趣，培養學生運算能力、應用能力和創新意識.

４ 數學活動課的設計與實施策略

在初中數學活動課中運用APOS理論，從操作、過程、對象和圖式四個方面助力學生深入理解與掌握知識.

４.１ APOS理論指導，打造精致教學空間

本課以杜賓斯基APOS理論為依據，巧妙構建六個教學環節，形成特色問題鏈，精準達成教學目標.如表1所示.

４.２ 深入探究教材內涵，促進深度學習發生

教材提供的“折紙做60°，30°，15°角”的活動內涵深遠，簡單的折紙背后隱藏著深厚的數學原理.為何選擇此種折法？對折矩形的意義何在？這些問題需要我們教師深入探討.為了折出60°角，先構建等腰直角三角形，再進一步折出一般的等腰三角形，最后形成等邊三角形.點N落在線段AB的垂直平分線上是關鍵，這也是為何要先對折矩形的原因.探尋知識的邏輯形式和意義系統，實現深度學習，提升學生的數學核心素養，實現學科育人的目標.

４.３ 激發學生主體精神，構建活力互動課堂

在本課教學中從環節2開始，學生主動參與折紙活動，親手操作、體驗.環節3要求理論驗證，挑戰學生主動思考和探索能力.環節4的知識遷移應用和環節5的歸納總結，教師在此過程中起引導作用，確保學生主體地位得到體現.讓學生在實踐中感悟、思考，積累經驗，學會用數學語言表達和理解世界，提升綜合解題能力和核心素養.

４.４ 遵循逆向設計理念，培育學生數學核心素養

新課程理念下，數學課堂教學應遵循“逆向設計”的“八化”原則，即目標素養化、評價任務化、任務情境化等，這是培養學生數學核心素養的關鍵.教師需依據課程標準和學生實際，設計素養導向的教學目標，并通過評價任務、情境創設等方式，引導學生深入探究，確保他們能在合作與交流中逐步提升數學核心素養.各環節設計層層遞進，確保學生在探究中提升數學核心素養.遵循逆向設計的“八化”原則，課堂教學不斷優化升級，實現素養導向下的深度教學.

５ 結束語

經過對“折紙做60°，30°，15°的角”數學活動課的深入探討，APOS理論在教學設計中的價值得以凸顯.運用APOS理論設計活動課，有助于數學學科核心素養的深入培養，真正實現知識與實踐的有機結合，也有助于教師的專業成長和理論知識的豐富，更能促進學生的全面發展，培養其探究精神和綜合應用能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S].北京：北京師范大學出版社，2022：１６.

[2]張云輝，周遠方.APOS理論指導下的概念起始課教學——以函數概念起始課教學實踐為例[J].中國數學教育，2022（6）：５１-54.

課題信息：廣州市教育研究院“十四五”規劃課題“基于學業質量標準的初中數學作業優化設計與實施研究”，課題編號為2022zysj07.