圖形生長探結構，動靜融通尋本質

摘要：通過一道中考題的分析與求解，引導學生根據圖形生長過程，逐步形成各類模型結構的聯想；從靜態、動態兩種視角分析圖形的生長過程，理解各類模型結構的本質，產生多元解題思路，發展核心素養，促進智慧提升.

關鍵詞：圖形生長；動靜融通；一題多解；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用［1］.數學解題教學又是學生學好數學的有效途徑之一.本文中以一道中考題為例，從圖形的生長過程，探尋各類模型結構，用動靜融通的方法理解各類模型結構的本質.

1 試題呈現

（2022年蘇州中考第8題）如圖1，點A的坐標為（0，2），B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC.若點C的坐標為（m，3），則m的值為（" ）.

2 試題評價

2.1 背景簡單，淡化審題障礙

本題是以圖形的旋轉為背景，借助平面直角坐標系，求相關點的坐標問題.試題的呈現熟悉自然，便于學生輕松審題，題目素材簡潔易懂，條件中出現了60°的角，讓學生自然聯想到等邊三角形、特殊角三角函數等數學知識，一切都是“水流直下”的思考過程，沒有審題障礙，凸顯命題者的人文關懷.

2.2 方法多元，重視素養考查

幾何解題一般有兩類重要的思考方法：一類是靜態視角，即通過題目中的已知結構特征，聯想構造相關的幾何模型，建立相關的線段或角之間的數量關系；另一類是動態視角，即從圖形運動的角度分析特征，借助軌跡理解題目的本質.本題入口寬，方法多元，充分體現了命題者對學生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力、應用意識等核心素養的綜合考查.

3 解法賞析

3.1 靜態視角

從靜態視角來看，由不同的條件特征可以聯想到不同的幾何模型結構，根據全等、相似、特殊角的三角函數等得到線段之間的關系，進而列出方程，由此可以產生多種解題路徑.

3.1.1 構造矩形，利用勾股定理列方程

基于題目中已知條件及所求都涉及到點的坐標，而點的坐標可以體現點到坐標軸的距離，從而自然生成作坐標軸的垂線構造矩形，利用勾股定理表示出相關線段，再利用一些線段的關系列出方程.

評析：這種解題思路相對比較直觀，但列出的方程是無理方程，運算較為復雜.

3.1.2 構造“一線三等角”全等模型

基于題目中的“AB＝AC，∠BAC＝60°”這兩個條件，想到構造“一線三等角”全等模型，能夠利用特殊角的三角函數表示相關線段的長度，再利用全等三角形對應邊相等列出方程.

思路二：如圖3，過C作CD⊥y軸于點D，分別在y軸上取點E，F，連接CE，BF，使得∠CEA＝∠BFA=

評析：這種構造方法較為特殊，思維能力要求較高，但數學運算相對簡單.

3.1.3 構造“一線三等角”相似模型

基于題目中暗含了等邊三角形，借助于“三線合一”基本圖形可以轉化成直角三角形，從而見“直角”聯想構造“一線三等角”相似模型，在構造過程中又暗含了全等，最后利用線段之間的數量關系求解.

評析：通過等邊三角形構造特殊直角三角形一般有兩種思路，上面是“割”的方法，還可以用“補”的方法，如圖5所示.一割一補，相互呼應.

3.1.4 構造“手拉手”全等模型

等邊三角形的“手拉手”全等模型也是常見的圖形結構，即在已有的等邊三角形的基礎之上構造一個與它共頂點的等邊三角形，從而產生一對全等三角形，實現邊、角的轉移.

評析：此思路在構造全等三角形的過程中產生了含60°角的特殊直角三角形，思路較清晰，運算簡潔.事實上，只要構造特殊位置下的等邊三角形都可以形成“手拉手”模型.

3.1.5 利用輔助圓構造特殊三角形

基于圖中的等邊三角形，能產生“共頂點等線段”的圖形結構，聯想構造另一常見基本圖形——圓，從而實現邊與角之間的互相轉化，構造含特殊角的直角三角形.

評析：這一思路的巧妙之處在于利用輔助圓產生含特殊角的直角三角形，圖形簡潔，計算簡便.另外，還可以作△ABC的外接圓，如圖8所示.

3.2 動態視角

哲學上說“萬物皆有聯系”.從動態的視角來分析，在圖形的生長過程中總有其內在的聯系，把C看成一個動點，根據點B的運動是一條直線，猜想點C的運動也應該是一條直線，那如何求這條直線的解析式呢？

3.2.1 定角加定點確定軌跡

基于題目中給出了等邊三角形的條件，再將點B位于原點這一特殊位置時，作相同的旋轉變換，構造“手拉手”模型，從而確定定角和定點.

評析：通過其中一個特殊位置產生一個定點，根據“手拉手”模型構造一個定角，由定點定角得到動點的軌跡是一條直線，最后根據點的坐標求出定直線的函數解析式.

3.2.2 兩個定點確定軌跡

在圖形的變化過程中，往往根據主動點的軌跡確定被動點的軌跡.基于初中的學情無非就是直線型的運動或圓弧型的運動，且主動點的軌跡與被動點軌跡類型相同的原則，從而尋找兩個特殊點形成定直線，由此求得直線的函數解析式.

思路七：如圖10，在x軸上取點M，N，連接AM，AN，使得∠MAO=∠ANO=60°，作點A關于x軸的對稱點E，點N關于y軸的對稱點D，再作直線DE，由思路六可知動點C的軌跡是一

評析：根據思路六發現動點的軌跡是一條直線后，確定由兩個定點坐標即可求直線的函數解析式.

4 教學思考

4.1 審視圖形生長，探究模型結構

數學是一門自然科學，數學概念、規則、思想與方法的起源與發展都是自然生長的.基于此，筆者認為一道好的幾何問題中的圖形也是自然生長的，那么在解題過程中要理解圖形生長過程的本質.

4.2 理解動靜融通，尋找模型本質

運動是事物的固有屬性和存在方式，靜止是運動所表現出來的特殊情形.動與靜是相對的，刻畫事物的運動和變化需要一個參照物或一個觀察點［2］.基于此，筆者認為變靜為動，動中取靜，動靜融通是數學思考和問題解決的基本方式.因此，從動靜融通的視角分析探索問題，不僅有助于理解圖形的生長，解決相關的問題，更重要的是能幫助學生維持思維的靈動狀態，優化思維品質，錘煉辯證思維品格.

4.3 踐行核心素養，提升學生智慧

踐行核心素養就是落實數學知識、數學方法、數學能力、數學思想.多元解法中融入了數學建模、轉化思想、動靜融通，從圖形的生長到各種模型結構的構建，符合學生心理的認知規律，進而可以提升學生的解題智慧.從本質上來說，就是引導學生會用數學的眼光觀察現實世界（數學抽象、幾何直觀）、會用數學的思維思考現實世界（推理能力、運算能力）、會用數學的語言表達現實世界（模型觀念、應用意識）.核心素養的發展集中體現了數學課程的育人價值，讓數學知識轉化為數學能力，以此促進學生智慧的提升.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]李昌官.動靜互助 優勢互補［J］.數學通訊，2022（10）：30-32.