數學模型思想在高中數學立體幾何教學中的滲透策略

【摘要】在高中數學的學習中，立體幾何一直是重點與難點.而模型思想的滲透，為立體幾何的教學與學習開辟了新的途徑.將抽象的幾何圖形轉化為具體可感的模型，幫助學生更好地理解空間關系、幾何性質，找到解決問題的突破口，培養學生的空間想象力和創造力.隨著教育的不斷發展與進步，高中數學教師應在教學中引導學生建立和運用模型思想，降低立體幾何的學習難度，進而凸顯立體幾何的本質，讓學生能夠熟練掌握所學知識，從而提升數學能力，發展數學核心素養.文章分別探討數學模型思想在高中數學立體幾何教學中的滲透意義和滲透策略，希望為數學教師提供有益的參考和借鑒.

【關鍵詞】數學模型思想；高中數學；立體幾何

【基金項目】荔灣區教師小課題“基于數學模型思想的高三立體幾何教學”（2023Z77）.

引 言

數學模型思想是一種重要的數學思想，其核心在于將現實問題轉化為數學模型，并利用數學知識進行求解，從而構建起數學與現實世界聯系的橋梁.教師將模型思想運用到高中數學立體幾何教學中具有重要意義，能夠幫助學生建立直觀想象能力，強化學生對立體幾何的認知，真正提升學生解決實際問題的能力和邏輯思維能力.

一、數學模型思想在高中數學立體幾何教學中的滲透意義

（一）提升學生的理解能力

模型思想對于提升學生的理解能力具有重要作用.例如，教學“正方體”或者“長方體”時，如果僅靠教師口頭講述，學生很難理解透徹.而引入模型思想后，教師將立體圖形構建為具體的模型，讓學生更好地把握空間中的點、線、面之間的關系.這種直觀的呈現方式符合學生的認知特點，使得幾何問題變得易于理解，降低了學習負擔，為進一步深入學習立體幾何奠定了堅實基礎.

（二）培養學生的思維能力

在立體幾何的學習中，運用模型思想有助于培養學生的邏輯思維能力.學生在嘗試建立幾何模型時，他們需要在腦海中對空間圖形進行構建、變換和分析，然后運用所建立的模型解決實際問題.同時，學生可以與同伴進行互動和分享，選擇最佳的模型方案，使每一名學生都能全面掌握模型思想，真正提高解決效率.無論是自主建模，還是合作建模，都要求學生根據模型的形式和性質確定解決問題的方法，這一過程考查了學生的邏輯思維，體現了思維的嚴密性和靈活性.

（三）增強學生的應用能力

在學習中養成運用模型思想的習慣，能夠增強學生的應用能力.許多現實生活中的問題都可以抽象為立體幾何模型，如建筑設計、工程測量等.當學生建立了模型后，就可將實際問題進行轉化，然后求解驗證.此外，數學教師可以通過一個典型問題的解決，拓展延伸出更多的數學模型，讓學生從解決一道題發展為解決一類題，培養學生的創新意識，讓模型思想在學生的思維中扎根.

二、數學模型思想在高中數學立體幾何教學中的滲透策略

（一）直觀展示，認識模型

1.實物模型展示

在高中數學立體幾何教學中，教師可以引入實物立體模型，諸如棱柱、棱錐、圓柱等，幫助學生認識模型思想，激發學生的學習興趣，為他們帶來直觀的學習體驗.同時，教師要遵循學生的認知特點，從學生的最近發展區出發，充分發揮出實物模型的優勢，強化他們對立體幾何知識的理解和記憶.

當講解棱柱的概念時，教師帶來不同類型的棱柱實物模型，這成了學生理解知識的重要媒介.每一名學生都認真地、全方位地觀察棱柱的底面是怎樣的形狀，側面有著怎樣的特征，以及棱的分布情況.通過觀察，學生對棱柱的定義有了深入的理解，不再停留在抽象的文字表述上，而是在腦海中形成了具體的形象，為后面學習棱柱的性質做好鋪墊.同樣地通過實物模型，學生能夠細致地看到棱錐的底面、側面和頂點，了解棱錐的獨特結構，提高他們的觀察能力和思維能力.而講解圓柱時，教師展示出圓柱的實物模型，帶領學生分析圓柱的兩個底面的特點以及側面的曲面形態，有助于學生建立空間觀念，從而更加主動地參與到課堂學習中來.

2.動態模型輔助

動態模型能夠使抽象的立體幾何知識變得具體可感，吸引學生主動提出問題，主動參與師生互動.所以，在課堂上，數學教師可以利用多媒體技術打造動態的立體幾何模型，激發學生的學習興趣和空間想象力，讓學生更好地理解模型思想，使教學更加生動、高效.

例如，在講解“圓錐的形成”時，教師不能再局限于抽象的文字描述，而是使用多媒體展示圓錐的形成過程，讓學生直觀地看到圓錐是如何由直角三角形旋轉而成的.教師通過動畫演示一個直角三角形繞其一條直角邊旋轉一周形成圓錐的過程，讓學生深刻理解圓錐的各個部分的形成原理.通過這樣的動態模型，學生可以清晰地看到圓錐的底面是如何由直角三角形的另一條直角邊旋轉而成，圓錐的側面又是如何展開和形成的，從而加深對圓錐幾何特性的了解.

在講解“空間直線與平面的位置關系”時，教師可以利用多媒體工具，如PPT、動畫等，呈現直線與平面平行、相交、在平面內等情況.然后教師組織學生對這些動態模型進行討論，幫助學生快速理解和區分直線與平面相交、直線在平面內、直線與平面平行的形式，讓學生觀察不同形式的模型，從而充分了解各種動態模型的特點.

（二）實踐操作，理解模型

1.手工制作模型

教師可以帶領學生手工制作模型，讓學生在親身體驗中深化對空間概念的理解，提高動手能力和創新思維，為今后的數學學習打下堅實的基礎.在制作模型的活動中，教師先向學生展示一些精美的立體幾何模型示例，激發學生的創作熱情.同時，教師需要詳細講解制作過程中的注意事項和技巧，讓學生知道如何裁剪卡紙才能使正方體的各個面大小一致，如何連接吸管才能讓長方體的框架更加穩固.在制作模型過程中，如果學生感到有困難，教師可以組織小組合作，將復雜的任務進行分解，提高制作效率，培養學生的團隊協作精神.經過教師的分工，有的學生負責準備材料，有的學生負責設計圖形，有的學生負責實際制作，整個學習氛圍十分融洽.當立體模型制作完成后，教師先讓學生將手工制作的模型與實際生活中的物體進行對比，感受數學與生活的緊密聯系.再組織學生進行展示和交流，介紹自己制作模型的思路、遇到的問題及解決方法，其他學生可以提出相應的意見和建議，學生們互相啟發.

2.實驗探究模型

2.實際問題建模

在立體幾何教學中，引入實際建模問題，能夠提高學生的學習興趣和積極性，培養學生的應用能力和創新思維.教師可以聯系生活實際，提出一些具有啟發性的實際問題，如計算建筑物的高度、確定兩個物體之間的最短距離等，以引起學生的興趣，促使學生積極思考如何運用立體幾何知識解決問題.接著，教師要引導學生建立數學模型，將學到的數學知識進行整合.例如，對于計算建筑物高度的問題，可以引導學生將其轉化為解三角形的問題，通過建立直角三角形模型，利用已知條件和三角函數求解，培養學生將實際問題抽象為數學問題，并用數學語言和方法進行描述和求解的能力.實際生活中問題大都可以通過將問題建模為立體幾何模型來求解.如計算一個倉庫的容積，把倉庫抽象為長方體、圓柱體等立體圖形是一種有效的方法.如果倉庫形狀接近長方體，測量長、寬、高后，根據長方體體積公式V=長×寬×高即可算出容積.此外，教師還可采用小組合作學習的方式，讓學生們分組討論問題，共同建立模型并求解，分享彼此的思路和方法.這樣不僅能夠培養學生的團隊合作精神，還能拓寬學生的思維視野，提高學生解決實際問題的能力.

（四）拓展思維，創新模型

1.構建多元模型

高中立體幾何問題往往具有多種解題途徑，通過構建多元模型可以拓展學生的思維，降低立體幾何知識的學習難度，增強學生的自信心.在教學中，數學教師可以引導學生從不同的角度觀察立體圖形，變換一種思維.例如，對于一個長方體，教師既可以讓學生從正面、側面、上面等常規角度觀察其形狀和特征，也可以讓學生從斜角或特定的視角去審視.通過這樣多角度觀察，學生就會更全面地認識立體圖形.在此基礎上，教師就可以鼓勵學生運用多種方法構建幾何模型.例如，在求解空間中兩條直線的位置關系時，可以通過建立空間直角坐標系，利用向量的方法進行判斷；也可以借助傳統的幾何定理，通過分析直線與平面的關系間接確定兩條直線的位置關系.對于求幾何體的體積問題，學生們不僅可以采用直接法，根據幾何體的形狀和已知條件直接計算體積，還可以運用割補法，將復雜的幾何體分割成幾個簡單的幾何體或者通過補形的方式將其轉化為熟悉的幾何體求解體積.此外，教師還可以引導學生結合實際生活中的例子構建模型.比如，建筑中的立體結構、包裝盒子的形狀等，都可以作為立體幾何模型的來源.這樣不僅能讓學生更好地理解立體幾何知識，還能提高他們將數學知識應用于實際生活的能力.

2.模型創新應用

在高中立體幾何教學中，模型創新應用是拓展學生思維的重要手段.一方面，教師可以引導學生對傳統的幾何模型進行改造和創新.例如，對于常見的正方體模型，可以通過改變邊長比例、切割一部分或者在其表面添加一些特殊的圖形等方式，創造出不同的幾何模型.通過對這些創新模型的分析和求解，讓學生能夠更加深入地理解立體幾何的概念和定理，同時鍛煉學生的創新思維和解決問題的能力.另一方面，教師可以將不同的幾何模型進行組合和融合.例如，將圓錐和圓柱組合在一起，或者將球體與棱柱相結合，形成新的復雜幾何體，并要求學生分析這些組合模型的特征和性質，運用所學的知識解決相關的問題，以此來加深學生對各種幾何體的認識，培養學生的綜合分析能力和創新意識.此外，教師還可與現代科技相結合，為高中數學立體幾何教學帶來新的突破.例如，利用計算機軟件進行立體幾何模型的構建和演示，讓學生更加直觀地觀察幾何體的變化和性質，或是引導學生運用編程的方法解決一些立體幾何問題等，培養他們的跨學科思維和創新能力.

（五）總結歸納，鞏固模型

1.梳理各類模型

在高中數學立體幾何教學中，梳理各類模型能夠幫助學生更好地理解和掌握數學模型思想.在課堂教學的過程中，教師可引導學生對所學的立體幾何模型進行分類整理.例如，將棱柱、棱錐、棱臺等多面體分為一類，圓柱、圓錐、圓臺等旋轉體分為另一類.對于每一類模型，教師可以詳細講解其定義、性質和特點，讓學生對不同類型的立體幾何模型有一個清晰的認識.然后，教師可以通過例題和習題的講解，讓學生進一步熟悉各類模型的應用.例如，在講解例題時，教師可先引導學生分析問題中所涉及的立體幾何模型，然后鼓勵學生運用相應的模型性質和定理進行求解.同時，教師還可以布置一些有針對性的習題，讓學生在練習中鞏固所學的知識，提高學生運用數學模型解決問題的能力.此外，教師可以利用多媒體教學手段，如展示立體幾何模型的圖片、動畫等，引導學生從不同角度觀察立體幾何模型，幫助學生更加直觀地理解各類模型，加深對模型的認識.此外，教師還可以在課堂上組織學生進行小組討論，讓學生們互相分享自己對各類模型的理解和認識，共同解決遇到的問題，促進學生間的交流和相互學習，從而提高學習效果.

2.反思鞏固錯題

在解決立體幾何問題的過程中，出錯是在所難免的，而這些錯誤往往是最好的教學資源，甚至會成為學生提高和創新的基石.教師在教學中要將錯題資源充分利用起來，通過反思鞏固錯題的方式，幫助學生更好地掌握數學模型思想.首先，教師可以指導學生建立錯題本，將自己在立體幾何學習中做錯的題目整理到錯題本上，要求學生在整理錯題時不僅要寫出正確的答案，還要分析自己做錯的原因，以及題目中涉及的立體幾何模型和知識點.其次，教師要定期組織學生復習錯題本上的題目，引導學生再次分析錯題，找出自己的薄弱環節，然后有針對性地進行復習和鞏固.同時，教師可以讓學生將錯題進行分類整理，如按照模型類型、知識點等進行分類，以便更好地掌握各類模型的應用.最后，教師還可以利用錯題進行課堂教學，選取一些典型的錯題進行講解，讓學生分析錯題中所涉及的立體幾何模型和知識點，然后引導學生找出正確的解題方法.通過這種方式，幫助學生更加深刻地理解數學模型思想.此外，教師也要有意識地培養學生反思錯題的習慣，鼓勵學生在平時的學習中每做完一道題目，都要思考一下自己的解題方法是否正確，是否還有其他更好的解題方法.

結 語

綜上所述，在高中數學立體幾何教學中滲透數學模型思想是勢在必行的，它不僅提升了學生的空間想象能力和邏輯思維能力，還讓學生感受到了數學的魅力與價值.在以后的教學中，數學教師應該不斷創新教學方法，引導學生積極構建立體幾何模型，將抽象的知識具體化，將煩瑣的知識簡單化，提高解題效率，促進學生數學核心素養的發展.

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