一元二次方程在面積問題中的應用

【摘要】一元二次方程應用題是九年級應用題中極其重要的一部分．依據一元二次方程的知識，可以解決諸多實際問題，尤其是求取未知長度和在面積問題中的實際應用等.

【關鍵詞】初中數學；一元二次方程；解題應用

類型1邊框問題

例1在一張長方形紙片上裁剪一塊小長方形，制成一張四周邊寬相等的長方形邊框，如圖1，現在已知原長方形的長寬分別為30厘米和20厘米.要使裁剪后的長方形邊框紙片的面積為400平方厘米，求該長方形邊框的寬度是多少？

解析長方形邊框紙片的面積即為裁剪中間部分之后的余下面積，需要注意裁剪之后的邊框寬度都是相等的.按照一元二次方程處理面積問題的既定思路，求什么變量就設什么變量，所以設邊框的寬度為x厘米.大長方形的面積可以利用題目信息求出，裁剪后的長方形邊框面積同樣也是已知狀態，最后列出一元二次方程即可解出答案.

解已知原長方形的長為30厘米，寬為20厘米，可求得原長方形的面積為30×20=600.

裁剪掉的長方形面積中長為30－2x厘米，寬為20－2x厘米.

則裁剪掉的長方形面積為（30－2x）（20－2x）.

最終可列一元二次方程為30×20－400=（30－2x）（20－2x），

化簡得200=600－100x+4x²，

合并同類項得x²－25x+100=0.

根據一元二次方程的求根公式法，

得出x₁=20，x₂=5

根據題目信息可得原長方形的寬為20厘米.所以排除x1，該長方形邊框的寬度是5厘米.

點評根據一元二次方程，通常會設要求取的變量為x，若有改動，視題目情況而變.

類型2修路問題

例2如圖2，某小學準備在一塊長寬分別為32米、20米的長方形草地上修建若干條等寬的筆直小路，剩下的部分用作草坪，草坪面積預留540平方米.求小路的寬度為多少？

解析歸根結底是一元二次方程解決面積問題的實際應用，但這道題目需要采用平移的思想，將不規則的部分變為規則的部分，簡化計算過程.也就是將兩條筆直的小路平移到長方形邊緣，余下空出的長方形面積剛好等于540平方米，便于計算.

解設路寬為x米，則草坪部分的長為32－x米，寬為20－x米，根據草坪面積可求得路寬.

由此可得，可設一元二次方程為（32-x）（20-x）=540，

化簡得，640－32x－20x+x²，

合并同類項可得x²－52x+100=0，

解出一元二次方程的根x₁=50，x₂=2，

因為草坪長度為32米.所以排除根x1，路寬為2米.

點評此題重在采用平移思想，將不規則圖形轉變為規則圖形，化簡計算步驟，提高效率.在長方形地皮上修路時較常考的題型，解決此類題目常需要設置路寬為x，并根據題目中已知信息的面積公式建立方程.

類型3籬笆面積問題

例3如圖3，用籬笆依靠一面墻修建面積為50平方米的花園，另外三條邊用籬笆圍成，已知籬笆的長度為20米.求出花園的長和寬各是多少米？

解析籬笆圍成長方形求取面積在一元二次方程的實際應用中較為常見，這類題型的基本特征就是已知長方形的面積，求出長和寬，根據已知信息構建面積方程式.其中需要注意圍成的籬笆不可超過墻的長度.

解已知長方形的面積為50平方米，設用籬笆圍成的花園寬為x米，則花園的長為20－2x米，根據信息中的花園面積，可構建一元二次方程式，x（20－2x）=50，

化簡得2x²－20x+50=0，

合并同類項得x²－10x+25=0，

可得一元二次方程的最終解為x₁=5，x₂=5，

兩個根相同，則花園的寬為5米，花園的長為20－2×5=10米.

點評一面靠墻的籬笆問題類型最為常見，通常會依靠墻邊進行變化，進而求出面積.可根據題目所給出的信息，設置x后，構建面積的一元二次方程.

結語

一元二次方程的實際應用題是九年級數學的重點和難點，大概歸結為以上三種類型，能把這三種類型的題目掌握清楚，就能依據面積公式建立方程，學習自然水到渠成.具體弄清楚如何設置未知數，尋找等量關系，也就掌握了實際的解題技巧.這類題目更多需要轉化思想，講究學習方法，才能做到舉一反三.