“幾何法+勾股定理”破解路徑問題探究

【摘要】“幾何法+勾股定理”可有效破解幾何路徑問題，總體思路分為兩步：第一步，分析圖形，進行幾何變換，構建模型；第二步，根據模型及題設條件，構建直角三角形，結合勾股定理求線段長.本文針對三種“幾何法+勾股定理”策略進行了具體探究，并結合實例探索構建思路.

【關鍵詞】勾股定理；幾何法；初中數學

利用“幾何法+勾股定理”可以破解路徑問題，基本思路為通過幾何變換構建模型，轉化為常規線段問題，再結合勾股定理求解線段值.常見的幾何法有平移變換、對稱變換、幾何展開，本文結合實例進行探究.

1平移變換+勾股定理

對于幾何結構特殊的路徑問題，可以采用“平移變換+勾股定理”的策略，即對圖形進行平移轉換，轉換為常規的幾何圖形，再提取或構造直角三角形，利用勾股定理求解線段.

解后評析上述求解兩點之間的距離時，采用了“平移變換+勾股定理”的策略，建模過程可視為是對線段BC、CD、EF進行的平移，構建直角三角形，再利用勾股定理可求線段長.平移變換指導過程中，建議引導學生明晰建模目標，合理平移拼接模型.

2對稱變換+勾股定理

“對稱變換+勾股定理”也是破解路徑問題的常用策略，其核心知識為對稱變換特性和勾股定理，其中對稱變換是建模的主要方式.該種策略適用于點、線分散的幾何最短路徑問題，通過對稱變換可以確定最短線段.

策略分析對于本題目，可視為是求解線段和的最值問題，顯然需要確定點E的位置.可以采用“對稱變換+勾股定理”的策略，即通過對稱變換轉移點C的位置，方便后續最短線段建模，再構建直角三角形，利用勾股定理求線段長.

解后評析上述求線段和最值時采用了“對稱變換+勾股定理”的策略，通過對稱變換將問題轉化為一般的線段最值問題，再構建直角三角形利用勾股定理求解.教學中指導學生透視問題，本質上可歸為“將軍飲馬”模型問題.

3圖形展開+勾股定理

“圖形展開+勾股定理”策略，適用于涉及立體幾何的路徑問題.探索幾何表面的兩點路徑時，可以將幾何圖展開，轉換為一般的平面，再構造直角三角形，利用勾股定理求線段.

解后評析上述求解立體幾何表面的最短路徑時，采用了“圖形展開+勾股定理”的策略，展開圖形后，則問題可轉化為分析一般圖形的線段問題，后續構建直角三角形模型即可求解.教學中需要指導學生關注幾何體展開的方法，注意幾何體點、線之間的相對位置關系.

4結語

總之，本文呈現了三種“幾何法+勾股定理”的構建策略，可有效破解線段路徑問題，策略背后所隱含的是幾何動態變換與直角三角形模型.教學指導時，需要引導學生關注三點：一是關注解法的構建思路，掌握適用題型；二是關注解法構建中隱含的數學思想，感悟其中的思想內涵；三是關注解后反思，深刻反思解題過程，幫助學生積累解題經驗.