初中數學函數應用題解題技巧

【摘要】函數知識是初中數學的核心組成部分，在中考數學試卷中扮演著舉足輕重的角色.本文旨在通過分析研究，提供一系列針對性的教學參考和啟示，以助于同行們在函數教學中取得更好的成效.

【關鍵詞】初中數學；函數應用；解題策略

函數知識在初中數學體系中占據著舉足輕重的地位，無論是在課程設置中還是中考中都顯得尤為關鍵，并占據了相當大的分值比重.這就要求我們在教學中，幫助學生深入理解和掌握函數應用題的關鍵知識點，讓他們能夠靈活運用所學知識解決實際問題.這樣，才能為他們在中考中取得優異成績做好充分準備，也為他們未來的學習之路奠定堅實的基礎.

1剖析概念聯系，尋找解題思路

數學題中的各個概念彼此緊密相連，因此必須重視它們之間的內在聯系，并將其有效地整合起來.這樣做有助于系統地學習和掌握數學知識.函數應用題這類題目往往側重于考查學生對函數的綜合運用能力，其涵蓋的內容廣泛而深入.在初中數學中，函數應用題往往具備高度的綜合性.這類題目不僅要求學生能夠熟練運用函數知識，還強調解題思路的構建.

例1如圖1所示，已知拋物線y=ax²-5ax+4a與x軸相交于點A和點B，同時該拋物線還經過點C（5，4）.求出系數a的值，并求出拋物線的頂點P的坐標.

解析首先，點C的坐標是（5，4），將這個坐標代入拋物線方程中，可以求得系數a的值為1.進一步觀察拋物線的圖象，由于它是開口向上的，可以確認a的值確實大于0.因此，確定系數a的值為1.

然后，有了a的值就可以確定拋物線的具體方程為y=x²-5x+4.根據題目信息，這條拋物線與x軸相交，設交點分別為A（x₁，0）和B（x₂，0）.接下來，可以利用二次方程的求根公式或者配方法求解x₁和x₂的值.經過計算，得到x₁的值為1，x₂的值為4.

最后，點P是拋物線的頂點，根據拋物線的性質知道頂點的橫坐標是A，B兩點橫坐標的中點.因此，可以輕松計算出P點的橫坐標為2.5.然后，將這個橫坐標代入拋物線方程中，就可以求得P點的縱坐標.經過計算，得出P點的坐標為（2.5，-2.25）.

這道題目綜合考查了函數問題的多個方面，包括拋物線的坐標問題、頂點問題以及系數問題.題目中的這些問題相互關聯，形成了一個完整的解題思路.

2設定待定系數，優化解題策略

當題目指出兩個變量之間存在二次函數關系，并提供了若干具體的變量值時，可以通過這些給定的條件確定函數的表達式.在這種情況下，待定系數法尤為高效與實用.通過巧妙地運用這一方法，能夠準確地確定滿足題目要求的函數表達式.利用設定的待定系數優化解題策略，可以使解題過程更為流暢和精確.

例2在一家大型超市里，有一種商品的進貨成本是20元每件.經過深入的市場調研，超市管理人員發現該商品的銷售量與售價之間存在一定的關系.具體來說，當銷售單價定為x元時，每天的銷售量ω會是-2x+80件.超市想要優化銷售策略，以最大化每天的利潤.假設每天的銷售利潤為y元，我們需要解決以下幾個關鍵問題：

（1）請建立一個數學模型，描述銷售單價x與銷售利潤y之間的函數關系.這樣，我們就可以通過調整售價來預測并優化每天的利潤.

（2）在所有的可能售價中，哪一個售價x能使每天的利潤y達到最大值？這個最大利潤是多少？

解析這個問題是一個經典的二次函數應用問題，它體現了數學在商業決策中的實際應用.在解決這一問題時，學生需要仔細閱讀和理解題目中的信息，并明確銷售單價、銷售量與銷售利潤之間的關系.解題過程中，將運用待定系數法來建立銷售利潤與銷售單價之間的二次函數關系式.

首先，為了找出x和y之間的函數關系式，需要綜合考慮該商品每天的銷售利潤和銷售數量.根據題意，銷售利潤y是銷售單價x減去進價20元后與銷售量ω的乘積.而銷售量ω與銷售單價x之間存在線性關系，即ω=-2x+80.因此，可以將ω的表達式代入銷售利潤的計算公式中，從而得到y=（x-20）（-2x+80）=-2x²+120x-1600.

接著，在求解最大利潤和銷售單價時，可以利用上一步中得到的二次函數關系式.由于這個二次函數的開口方向是向下的（系數a=-2＜0），其最大值會出現在對稱軸上，即x=-b/2a=30.將x=30代入函數關系式中，就可以計算出最大利潤y=200元.

3基于數量關系，找到解題方法

解答函數應用題時，必須指導學生仔細閱讀并分析題目的內容，深入理解其中的數量關系，并基于這些數量關系形成解題的思路.

例3為了改善居民的居住環境，某市計劃修建一個獨具特色的文化廣場.廣場的基礎設計為一個矩形ABCD，其四周則以半圓形擴展，這四個半圓的直徑恰好是矩形的四條邊.已知整個廣場的周長為628米，我們設矩形的一邊AB為y米，另一邊BC為x米.

圖2

（1）請寫出y關于x的表達式.

（2）矩形區域將鋪設鵝卵石，每平方米成本428元；半圓形區域將鋪設花崗巖，每平方米成本400元.

①寫出總成本W關于x的函數關系式.

②若預算為1000萬元，判斷是否能實現目標，并給出設計方案或原因.

解析本題目基于實際建設場景，關鍵在于理解和利用題目中的數量關系.對于第（1）小題，可以利用圖形的分割和組合，結合圓的周長公式來求解.根據題目條件，πy+πx=628，化簡得y+x=200.再結合x+y=200，可解出y關于x的表達式.對于第（2）小題，需要結合廣場的幾何特征，計算鋪設的總面積，并據此得出工程的總造價W.通過計算，得到W的表達式，并可以利用配方法找到W的最小值.對比這個最小值與1000萬元的預算，可以判斷預算是否足夠實現預期目標.經過計算，發現即使是最小造價也超過了預算，因此投入1000萬元的成本是無法實現預期的建設目標的，需要考慮調整設計方案或增加預算，以滿足建設要求.

4結語

綜上所述，鑒于函數知識內容繁雜且難度較大，教師在教學過程中需傾注更多精力與智慧，助力學生深入理解和掌握相關知識.教師應緊密結合中考要求，將函數知識的講授與實戰演練緊密結合，使學生在日常學習中能夠將理論知識轉化為解決實際問題的能力.