初中數學因式分解中的常見方法及例題解析

【摘要】本文介紹初中數學中因式分解的常見方法及其應用策略，包括分組分解法、十字相乘法和整體思想法.通過例題解析，展示每種方法的特點和使用策略，旨在幫助教師更好地指導學生掌握因式分解技巧.分組分解法通過提取公因數和使用公式進行分解，十字相乘法通過拆分系數和交叉相乘來處理多項式，而整體思想法適用于結構較為復雜的多項式.本文強調觀察、分析和思考在因式分解中的重要性，建議教師靈活運用這些方法，培養學生的綜合能力.

【關鍵詞】初中數學；因式分解；解題策略

1引言

因式分解是初中數學中的一個重要概念，它不僅是學生學習代數的基礎，更是培養學生邏輯思維和問題解決能力的重要途徑.然而，對于許多學生來說，因式分解卻是一個難點.如何幫助學生掌握因式分解的方法，提高他們運用這些方法解決問題的能力，是每一位數學教師都需要思考和探索的問題.本文將詳細介紹初中數學因式分解的三種常用方法：分組分解法、十字相乘法和整體思想法，并結合具體例題，分析這些方法的特點和應用策略，為教師的教學實踐提供參考.

2分組分解法

分組分解法主要涉及將二次多項式依據其特性分為幾組，然后通過提取公因數或應用公式實現因式分解.具體而言，這一方法包括兩個基本步驟：首先是對多項式進行分組，其次是對分好的組進行因式分解.根據分組的具體特點，分組分解法又可以進一步細化為兩種策略：一種是在分組之后采用提取公因數的方式進行分解，另一種則是使用特定的數學公式完成分解.

2.1分組后用提公因式法

例1分解因式：2mx-10my+5ny-nx.

思考在解答此題時，首先應觀察各項之間的特征及其相互關系.分析可見，這四項可以分為兩種不同的組合方式，每種組合對應一種特定的解題方法.

解法1

原式=（2mx-10my）+（5ny-nx）

=2m（x-5y）-n（x-5y）

=（x-5y）（2m-n）.

解法2

原式=（2mx-nx）+（-10my+5ny）

=x（2m-n）-5y（2m-n）

=（2m-n）（x-5y）.

2.2分組后用公式法

例2分解因式：x²-2xy+y²-z².

思考在本題中，表達式x²-2xy+y²顯然構成一個完全平方式.因此，應將其作為一個單獨的整體進行分組，并隨后進行因式分解.

解x²-2xy+y²-z²

=x²-2xy+y²-z²

=（x-y）²-z²

=（x-y+z）（x-y-z）.

反思分組分解法的成功運用依賴于學生對多項式各項特征的敏銳觀察和準確判斷，這對于一些基礎較弱或思維不夠靈活的學生來說，可能會造成一定的困難.因此，教師在教學中需要有針對性地進行引導，幫助學生逐步掌握分組方法的基本要領.在實際操作中，學生常會在分組后提取公因數或應用公式時出現錯誤，導致最終結果不正確.這要求教師在教學時不僅要強調方法的理論基礎，還要通過大量實例和練習，讓學生不斷積累經驗，逐步提高分組分解的準確性和熟練度.

3十字相乘法

十字相乘法是因式分解的一種重要方法，常用于處理二次多項式的分解.盡管教材中未明確介紹這一方法，但由于其簡便性和廣泛適用性，許多一線教師會主動引入這一技巧.在實際教學和考試中，十字相乘法幾乎可以解決絕大部分的因式分解問題，因此掌握這一方法對于學生來說尤為重要.十字相乘法的核心在于通過拆分首尾兩項系數，并利用交叉相乘的結果匹配中間項的系數，從而實現因式分解.

十字相乘法的步驟可以概括為：（1）拆分首項和尾項的系數為兩個數的乘積；（2）將這兩個數分別置于相應系數的上下位置；（3）交叉相乘，確保乘積之和等于中間項的系數；（4）將符合條件的數列出，得到最終的分解因式.這一方法需要學生具備一定的數感和細致的計算能力，教師在教學過程中應通過大量實例和練習，幫助學生熟悉和掌握這一方法的應用.通過有效的練習和指導，學生可以在較短時間內熟練運用十字相乘法，提升因式分解的準確性和效率.

3.1二次項系數為1

例3分解因式：x2+8x+12.

思考將12拆分為兩個因數的乘積，同時要求這兩個因數的和為8.可以找到的幾種分解方式為：12=2×6，-2×-6，1×12，-1×-12，3×4，（-3）×（-4）.

在這些組合中，只有2×6的因數和滿足條件，即和為8.因此，這是唯一符合要求的分解方式.

解x²+8x+12

=x²+（2+6）x+2×6

=（x+2）（x+6）.

3.2二次項系數不為1

例4分解因式：3x²-11x+10.

思考與例3相比，本題中二次項的系數不是1.因此，應將3和10分別拆分為兩個數的乘積，并通過交叉相乘的方式使得代數和等于-11.

1-2

3-5

（-6）+（-5）=-11.

解3x²-11x+10=x-23x-5.

3.3二次項系數均不為1的齊次多項式

例5分解因式：2x²-7xy+6y².

思考本題中，首項和尾項的次數都是2，且系數都不是1，這增加了因式分解的難度.首先，我們需要將首項2x2和尾項6y2別拆分成兩個代數式的乘積.接著，通過交叉相乘的方法，確保這些代數式的和等于中間項的系數-7xy.

x-2y

2x-3y

-3xy+-4xy=-7xy.

解2x²-7xy+6y²=（x-2y）（2x-3y）.

反思十字相乘法要求學生具備較強的數感和細致的計算能力，尤其是在拆分系數和交叉相乘時，需要準確匹配中間項的系數.為此，教師應通過大量練習和實例，幫助學生提升計算能力和數感.在操作過程中，細微的計算錯誤可能導致整個因式分解過程的失敗，因此教師應強調每一步驟的準確性和背后的原理.通過細致的講解和實例演示，學生可以更好地理解十字相乘法.

4整體思想法

在進行因式分解時，若多項式結構較為復雜并且其各部分顯示出相似特征，一種常用的方法是將這些相似部分視作一個單一整體，然后對其進行因式分解.這個方法被稱為整體思想法.

例6分解因式：4x（x-y）²-12xy（y-x）.

思考首先，將-12xy（y-x）轉換為12xy（x-y）的形式.接著，識別并提取公因數4x（x-y），將其視為一個單獨的整體進行進一步的因式分解.

解4x（x-y）²-12xy（y-x）

=4x（x-y）²+12xy（x-y）

=4x（x-y）·（x-y）+4x（x-y）·3y

=4x（x-y）［（x-y）+3y］

=4x（x-y）（x-y+3y）

=4x（x-y）（x+2y）.

反思分析多項式時，可以觀察到其結構較為復雜，其中多個部分包含變量x，并且x-y和y-x結構十分相似.在進行因式分解的過程中，很重要的一步是將x-y和y-x這兩種結構統一化，以簡化整個分解過程.

5結語

分組分解法、十字相乘法和整體思想法是初中數學因式分解教學中的三種常用方法.每種方法都有其獨特的優勢和適用范圍.作為教師，我們應該在教學中靈活運用這些方法，并根據學生的實際情況，有針對性地進行講解和指導.同時，我們也要注重培養學生的觀察能力、分析能力、思維能力和問題解決能力，鼓勵他們在學習過程中多思考、多嘗試、多總結，不斷提高運用因式分解解決問題的能力.只有這樣，才能真正幫助學生掌握因式分解這一重要的數學工具，為他們今后的學習和發展打下堅實的基礎.

參考文獻：

［1］費小羅.因式分解之十字相乘法[J].初中生世界，2024（17）：44-45.

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