數(shù)與形的相互交融

【摘要】高中數(shù)學(xué)解題思想眾多，其中數(shù)形結(jié)合思想絕對留有濃墨重彩的一筆.本文聚焦函數(shù)問題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，從高考真題中探索數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的關(guān)鍵作用與重要性，以形助數(shù)，感受數(shù)與形相互交融之美.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；解題方法

華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”可見數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.數(shù)形結(jié)合的獨(dú)特作用，在解決函數(shù)問題時(shí)有點(diǎn)睛之效.

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用有許多，下面針對兩種重點(diǎn)類型的函數(shù)問題進(jìn)行剖析，總結(jié)數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問題中的應(yīng)用方法[1].

1抽象函數(shù)求解問題中的數(shù)形結(jié)合

例已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f3/2－2x，g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）

（A）f（0）=0.（B）g－1/2=0.

（C）f（－1）=f（4）.（D）g（－1）=g（2）.

問題分析本題中并未詳細(xì)給出函數(shù)式，面對這種題目，第一反應(yīng)是可以利用代數(shù)式進(jìn)行代換，可是在代換過程中極易發(fā)生錯(cuò)誤，造成連鎖反應(yīng).此時(shí)，數(shù)形結(jié)合的作用開始凸顯[2].

通過審題可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于f（x）的條件有兩個(gè)：一個(gè)是g（x）為其導(dǎo)函數(shù)，另一個(gè)則是f3/2－2x為偶函數(shù).同樣關(guān)于g（x）也有兩個(gè)條件.根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f（x）=f（－x）將兩個(gè)關(guān)于偶函數(shù)的條件化簡，畫出滿足條件的圖象得出有關(guān)函數(shù)f（x）的進(jìn)一步條件進(jìn)行求解.

在畫圖時(shí)一定要注意圖象只是輔助觀察性質(zhì)的一種工具，并不代表這個(gè)未知函數(shù)圖象就一定是我們所嘗試畫出的圖象.

解答f3/2－2x為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可寫出一個(gè)關(guān)于它的條件f3/2－2x=f3/2+2x，再根據(jù)新得出的條件嘗試畫出一個(gè)滿足題意的圖象，如圖1.

可以看到這個(gè)圖象是滿足我們推出的條件的，而這樣的圖象也并不是唯一的.但動(dòng)手操作后可以發(fā)現(xiàn)它們皆有一個(gè)共同點(diǎn)，f（x）的圖象關(guān)于x=3/2對稱.有了前一個(gè)條件的處理經(jīng)驗(yàn)，同樣關(guān)于g（x），有g(shù)（2+x）=g（2－x），經(jīng)過處理后得出g（x）的圖象關(guān)于x=2對稱.

但是還有一個(gè)條件并未用到，g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).針對未知函數(shù)，假設(shè)導(dǎo)函數(shù)圖象如圖2所示，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)反推原函數(shù).

由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)可知，f′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，但是導(dǎo)函數(shù)數(shù)值與原函數(shù)遞增速度有關(guān)，畫出原函數(shù)，如圖3所示.觀察圖象發(fā)現(xiàn)原函數(shù)f（x）關(guān)于x=2中心對稱.

至此，我們得出關(guān)于f（x）的兩個(gè)條件，嘗試畫出符合條件的一個(gè)圖象，如圖4所示.但圖4只是代表符合規(guī)律的一種圖象，并不是具體的圖象.

可以看到圖象呈規(guī)律性變化，是一個(gè)周期函數(shù).

由圖可知f（0）=f（2），但具體的數(shù)值并不能確定.所以（A）選項(xiàng)錯(cuò)誤.

題中函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，即要求函數(shù)在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，我們嘗試的圖象滿足題意，而f′（x）代表的是在此處函數(shù)的切線斜率，看圖可知，函數(shù)在x=－1/2處可導(dǎo)，且斜率為0，即g（－1/2）=0，（B）選項(xiàng)正確.

由原函數(shù)圖象可得周期為2，f（4）=f（2），f（－1）=f（1），而f（2）和f（1）關(guān)于x=3/2對稱，所以f（－1）=f（4），（C）選項(xiàng)正確.

（D）選項(xiàng)中g(shù)（－1）=g（2），所代表的幾何意義就是在兩處的切線斜率相同，觀察圖形，很明顯，x=2時(shí)斜率大于0，x=－1時(shí)斜率小于0，二者不相等，故（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2結(jié)語

在數(shù)學(xué)世界里，數(shù)與形密不可分.面對復(fù)雜抽象的函數(shù)問題，我們可以采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解題，直觀有效地得出答案.數(shù)形結(jié)合只是我們解題時(shí)的輔助工具，面對不同的題目，具體情況具體分析：抽象函數(shù)觀察性質(zhì)與規(guī)律，具體函數(shù)觀察圖象數(shù)值等.

參考文獻(xiàn)：

[1]尤曉綿.談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（28）：26-27.

[2]劉來.數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)中的應(yīng)用[J].高考，2021（14）：19-20.