投影向量在空間距離問題中的應(yīng)用

【摘要】“轉(zhuǎn)化與化歸思想”是解決立體幾何問題的重要思想.空間距離問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的良好載體．

【關(guān)鍵詞】投影向量；轉(zhuǎn)化與化歸；高中數(shù)學(xué)

距離問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，考生對這類問題普遍感覺比較困難，究其原因，是學(xué)生未能很好地把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，不會(huì)應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.

向量在新教材中占據(jù)著重要地位，是用來解決立體幾何問題的重要工具．向量的方向可以用來刻畫直線和平面的方向，而大小又可以用來刻畫長度，因此向量是研究空間距離的有力工具；除兩點(diǎn)間的距離，其他距離問題（點(diǎn)到直線的距離、平行直線間的距離、點(diǎn)到平面的距離等）的本質(zhì)就是“垂直”，而投影向量的產(chǎn)生過程正是通過垂直關(guān)系得到的，有了垂直關(guān)系，距離問題便可迎刃而解，因此我們可以通過投影向量來研究空間距離問題．法向量是反映垂直方向的最直觀的表達(dá)形式，這就形成了求距離問題的通法：確定平面的法向量（或直線的方向向量）——選擇參考向量——求參考向量到平面的法向量（或直線的方向向量）的投影向量的長度——所求距離．

本文通過實(shí)例淺談投影向量在空間距離問題中的應(yīng)用．

1定義

2點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離

2.1點(diǎn)到直線的距離

2.2平行線間的距離

3點(diǎn)到平面的距離、直線到平行平面的距離、平行平面間的距離

3.1點(diǎn)到平面的距離

3.2直線到平行平面的距離

3.3平行平面間的距離

4異面直線間的距離

5結(jié)語

向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，借助空間向量能將幾何中一些煩瑣的推理論證轉(zhuǎn)化成向量坐標(biāo)的運(yùn)算，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，大大降低思維難度，從而凸顯了向量的工具性作用.本文體現(xiàn)了向量作為工具在解決空間距離問題上的優(yōu)勢，培養(yǎng)“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，領(lǐng)悟“數(shù)”與“形”融合的魅力，養(yǎng)成良好的數(shù)形結(jié)合思維習(xí)慣，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2020