大概念視域下的數學概念教學探究

【摘要】數學概念的教學是數學教學的核心，直接關系到學生對數學內容本質的理解和數學素養的形成.本文以大概念教學理念為指導思想，以數學人教A版必修第一冊第四章第三節的第一小節“對數的概念”為例，進行教學設計，探究數學概念課的教學范式，為高中數學概念教學提供新的思路和參考，促進學生數學核心素養的形成.

【關鍵詞】大概念；高中數學；對數

數學概念是一類事物在空間形式和數量關系上關鍵屬性的抽象，通常用形式化的語言來表達，具有高度抽象的特點（引自章建躍的“數學概念的獲得”）.對于數學概念的教學，教師首先應深刻理解概念的本質，上下位關系，以及概念涉及的思想方法和育人價值，然后應抓住概念的關鍵屬性和核心所在，設置適切的情境和啟發性的問題，讓學生充分體驗數學概念的形成過程，引導學生發現概念的內涵和外延.

1大概念理論

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，具有生活價值.它的大指的是“核心”“高位”或“上位”.大概念的“概念”不僅限于概念，可以表現為概念，也可以表現為觀念，還可以表現為論題.數學學科大概念理論是對數學思想方法的升華，能讓學生在見到“樹木”的同時看到“森林”.

許多國家都已經把大概念寫進了課程標準.我國各學科課程標準中均明確提出，重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實.自2017年課程方案和課程標準頒布后，大概念作為單元教學設計的支點，是落實核心素養的關鍵.重視大概念的教學價值，有助于幫助教師理解“四個理解”中的理解數學，即把握數學內容本質的錨點[1].

2基于大概念理論的概念教學設計

本教學設計以大概念教學理念為指導思想，設置適切的情境、啟發性的問題，引導學生思考學習.過程中恰當引入信息技術，展示運算的過程，突破教學難點，幫助學生從本質上理解數學概念.另外，本教學設計滲透對數發展史、對數實際應用等知識，使學生學習數學概念的同時體會到數學的科學價值、應用價值和文化價值.本教學設計的教學實踐效果顯著，獲得了貴陽市第六屆優質課一等獎，受評委一致好評[2].

2.1教材內容與解析

本課為人教A版（2019）普通高中教科書數學（必修第一冊）第四章第三節“指數函數與對數函數”的第一小節“對數的概念”（1課時），主要內容是對數的概念、對數式與指數式的互化.對數的概念和運算是對數函數學習的基礎.對數的本質是一種已知底數和冪值，求指數的運算，同時對數同分數一樣，也是一個數.歷史上雖然對數比指數先出現，但是為了符合學生認知規律，教材先安排學習指數，在此基礎上學習對數[3].

2.2學情分析

從函數角度來說，學生學習了集合、函數的概念、函數的表示方法和函數的一般性質，對函數有了初步的認識.在此基礎上又學習了冪函數、指數運算和指數函數，了解了研究函數的一般方法，經歷了從特殊到一般、具體到抽象的研究過程.對數的概念對于學生來說是全新的.學生模式化地進行指數式與對數式之間的互化是容易的，但在真正理解對數概念的基礎上進行解題仍有一些難度，主要表現在：不理解對數的概念，只能夠進行表面的形式轉換；不能把“求對數的實質是求指數”應用在數學問題的解決中[4].

2.3教學重點和難點

重點：對數的概念，對數式與指數式的互化.

難點：對數概念的理解.

3教學過程

3.1創設情境，引入新課

學生活動思考，不使用計算器，能否快速求出512×16384的值？

教師活動介紹蘇格蘭數學家納皮爾利用表格規律快速運算的方法.

問題1已知底數和冪值如何求指數？

設計意圖全國普通高中課程標準及考試大綱明確要求，通過本節課的學習，學生應該了解對數簡化運算的功能和對數發展的歷史.讓學生親歷比較復雜的計算，目的是讓學生深刻體會簡化運算的重要性，然后自然引出對數發展的數學史，吸引學生，使課堂更豐富的同時，讓學生體會引入對數的必要性.

教師活動用PPT播放“加減法、乘除法、乘方開方”這三組互為逆運算的運算過程動畫，引導學生發現，在乘法運算中，為了求乘法中的乘數，引入了除法運算，在指數運算中，已知指數和冪值要求底數，引入了開根運算，

問題2今天我們遇到了新問題，2x=5，已知底數和冪值，要求指數，該怎么辦呢？

學生活動觀察一組運算的過程，發現有必要引出一種與指數運算互逆的運算.

設計意圖通過加與減、乘與除、乘方與開方運算的過程，自然過渡到指數運算到對數運算，目的是無形中給學生提示：對數運算解決的問題是指數式中已知底數和冪值，求指數；對數的本質是指數運算的逆運算.讓學生在實例中親自感受，比直白的強調更有意義.

3.2合作交流，探究新知

問題3首先思考，在2x=5中，指數x存在嗎？

設計意圖解方程問題首先要確定方程是否有解，確定有解才研究求解問題，力求問題環環相扣，邏輯嚴謹，符合數學研究的步驟和習慣.

（1）閱讀課本122頁，對數的定義，回答：

①對數可以解決什么問題？

②對數的定義是什么？

③對數中，a，N，x叫什么？每個字母取值范圍是什么？

④在對數中，有哪兩類特殊對數？

設計意圖鍛煉學生的獨立思考和自主學習的能力.

（2）觀察對數式和指數式的對應關系，如圖1.

設計意圖讓學生認清對數式logaN=x的含義；明確a，N，x在對數式中的名字，并認識到指對互換過程中的變化.

（3）明確兩種特殊對數.

常用對數log10N，記為lgN.

自然對數logeN，記為lnN（e=2.71828…）

設計意圖數學中常見的兩類對數，其中以10為底的符合學生學習習慣，也符合日常習慣，而以e為底的在高中階段很難說清楚.實際上，e是非常偉大的數，在科技、經濟以及社會方面都有許多應用.

（4）強調對數的書寫格式.

3.3例題講解，強化應用

例1將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式.

（1）5⁴=625；（2）2^－6=1/64；（3）（1/3）^m=5.73；（4）log_1/216=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.

設計意圖本例題難度不大，目的是強化學生對對數概念的理解，掌握指數式與對數式之間的互化.（2）（3）讓學生黑板上書寫，方便提醒規范書寫.

練一練求下列各式的值（口答）.

（1）log525；（2）log₂1/16；（3）log_a1；（4）log_aa（其中agt;0且a≠1）.

設計意圖通過本題的練習，讓學生進一步體會求對數的值可借助指數式解決.通過題（3）（4）可以在練習過程中自然引出對數的兩個重要結論.

3.4作業布置

必做課本P64練習4P74A組1，2題.

選做題鞏固提高練習，班長處領取.

設計意圖針對學生的學習水平層次進行分類，目的是因材施教，使不同層次的學生都可以獲得相應的練習和提高.

4結論與啟示

4.1重視大概念的指導思想，幫助學生獲得概念學習的一般路徑

概念學習的一般路徑為：首先，為什么學概念？了解學習一個數學概念的必要，該數學概念能解決什么問題.其次，理解要學習的概念是什么？是什么即抓住概念的關鍵屬性，理解概念的本質.最后，解決怎么學？概念的學習通常包括學習概念的名稱、定義、符號表示、屬性、和例子應用.

本節“對數”的概念學習，教學設計中首先設置問題情境，讓學生不使用計算器進行較大數的運算，接著思考已知底數和冪值求指數，感受運算方法不夠用，有必要引入一種新的過程.這就解決了為什么學的問題.其次，通過觀察運算的發展，以及自主閱讀對數的定義，使學生理解對數的本質是一種運算，同時對數也是一個數.最后，通過回答自主閱讀的問題，循序漸進，掌握對數這一概念.

4.2重視閱讀教材，提升學生自主閱讀能力

教材集聚了基礎教育專家的智慧，精練準確.對于一個數學問題，幾乎沒有資料比教材解釋得更精準，利用好教材，學生的學習事半功倍，在困惑遺忘時還可以及時翻看鞏固.實際上，無論是從高考的趨勢看，還是學生能力提升以及后續發展的角度，閱讀教材的意義遠不止于此，閱讀既是素養，更是未來學生進行課題研究必備的能力[5].

5結語

通過對“對數的概念”這一數學概念的教學設計與實踐，我們深刻體會到了大概念教學理念在數學概念教學中的重要性和有效性.大概念不僅為學生提供了更為寬廣的數學視野，還幫助他們建立數學知識之間的聯系，從而更好地理解和應用數學概念.在教學過程中，注重情境的創設和問題的引導，讓學生充分體驗數學概念的形成過程，從而更深刻地理解概念的本質.同時，也重視學生的自主學習和合作交流，通過閱讀和討論等方式，提升他們的數學素養和綜合能力.信息技術的融合也為教學帶來了新的活力.通過多媒體的動態演示，可以將抽象的數學概念變得直觀具體，方便學生類比學習和理解.這種教學方式不僅提高了學生的學習效率，還激發了他們的學習興趣和探究欲望.大概念視域下的數學概念教學是一種有效的教學方式，它有助于學生更好地理解和掌握數學概念，提升他們的數學素養和綜合能力.在未來的教學中，我們將繼續探索和實踐這一教學理念，為學生的數學學習和發展貢獻更多的智慧和力量.同時，也希望更多的教師能夠加入這一教學改革的行列中來，共同推動數學教育的發展和進步.

參考文獻：

［1］李靜.問題驅動，自主生成，引領發展——《對數概念》新授教學過程與反思[J].教育研究與評論（中學教育教學），2016（07）：15-20.

[2]侯斌，王華民.讓數學史真正融入概念教學中——由一堂“對數”概念課引發的思考[J].中學數學，2014（19）：69-71.

[3]王弟成.化靜為動化知為識——對數的概念教學思考[J].數學教學研究，2015，34（01）：23-26.

[4]韓藝通.基于核心素養的概念課型教學探究——以“對數的概念”的教學為例[J].中小學數學（高中版），2022（Z2）：77-81.