聚焦空間想象力 發展學生空間觀念

摘要：培養空間觀念是《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“圖形與幾何”領域中要求的課程內容，也是發展學生高階思維與高層次數學能力的重要內容。以北師大版小學數學教材五年級下冊自主開發課程內容“涂色知多少”為例，教師應設計充滿挑戰性的真實問題情境和學習活動任務，聚焦學生的空間想象力，發展學生的空間觀念，進而發展學生的高階思維能力和高層次數學能力。

關鍵詞：空間想象力；推理意識；空間觀念；高階思維

在小學數學教學中，空間觀念的培養是發展學生高階思維與高層次數學能力的重要載體。教師要開發多種教學資源，在課堂核心學習活動的設計中集觀察、比較、聯系、思辨、想象、推理、分析、綜合、概括于一體，以充滿挑戰性的真實問題情境和學習任務為載體，聚焦學生的空間想象力，培養學生的空間觀念，進而發展學生的高階思維和高層次數學能力。下面，筆者以北師大版小學數學教材五年級下冊“涂色知多少”為例，探索發展學生高階思維能力和高層次思維能力的教學策略。

一、情境引入，引發問題

教師出示圖1，引導學生發現其中蘊含的數學信息。

教師導入真實問題：一個五面涂奶油的蛋糕，被平均分成九塊。有人不喜歡吃奶油，有人最喜歡吃奶油，還有人想吃一點奶油但不要太多。他們該選哪一塊呢？

生：正中心的那塊只有一面有奶油，不喜歡吃奶油的可以選這塊；喜歡吃奶油的可以選擇四角位置的蛋糕，因為四角位置的蛋糕有三面有奶油；想吃一點奶油又不能太多的選擇其余那四塊，因為那四塊有兩面有奶油。

師：看來挑蛋糕中也隱藏著不小的學問呢，讓我們一起來研究吧。

【分析與思考】問題能夠引領學生的數學學習，而好的問題來源于現實生活。教師以現實生活中“分選蛋糕”的問題情境為載體，引發學生思考切分后每塊蛋糕表面的奶油特征，從而抽象孕育有關立體圖形表面涂色的相關問題，為接下來的學習活動研究做準備。

二、自主探究，積累經驗

教師出示學習單，引導學生獨立自主完成。

學習單：涂色知多少

1.把表面涂色的正方體每條棱二等分，然后沿等分線把正方體切開，得到的小正方體會是什么情況呢？自己動手分一分、畫一畫、試一試吧。完成信息填寫：

一共得到__________個小正方體；

三面涂色的小正方體有__________個；

兩面涂色的小正方體有__________個；

只有一面涂色的小正方體有__________個；

各面都沒有涂色的小正方體有__________個。

2.把表面涂色的正方體每條棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到的小正方體又會是什么情況呢？自己再動手分一分、畫一畫、試一試，并完成信息填寫：

一共得到__________個小正方體；

三面涂色的小正方體有__________個；

兩面涂色的小正方體有__________個；

只有一面涂色的小正方體有__________個；

各面都沒有涂色的小正方體有__________個。

教師導入問題：剛才，大家已經把表面涂色的正方體每條棱分別進行了二等分、三等分（如圖2），對得到的小正方體的涂色情況進行了探究。請大家在小組里交流，你的結論是什么？你是怎樣畫圖并觀察、思考的？

生：把表面涂色的正方體每條棱二等分，通過分割，我畫出了這張圖，一共得到8個小正方體，這8個小正方體都是三面涂色的，兩面涂色、只一面涂色、各面都沒有涂色的小正方體，都是0個。把每條棱三等分，通過分割，我又畫出了另外一張圖，一共得到27個小正方體，其中三面涂色的有8個，兩面涂色的有12個，只一面涂色的有6個，各面都沒有涂色的有1個。

師：大家看了他的探究，聽了他的分享，好在哪兒？

生：我覺得他最后填寫的結果都十分正確。

生：他對每種情況都分別畫了圖，這樣畫圖分割后很直觀，容易觀察，而不是憑空想。

生：我想幫他做個補充。剛才他只是介紹了畫的圖和得出的結果，我想幫他補充這些小正方體涂色的位置分別在哪。二等分的就不用說了，都是三面涂色。我們看三等分的，三面涂色的在正方體的8個角處，1，2，3，4，5，6，7，有1個被遮擋了。兩面涂色的，先看最上面一層，1，2，3，4，再看中間這層，1，2，3，有1個在左后面被遮擋了。再看最底下這層，1，2，還有兩個也是被遮擋了，這樣加起來一共是12個。只有一面涂色的在各個面的中間，1，2，3，還有3個也被遮擋了。各面都沒有涂色的那個在大正方體的正中心，完全被遮擋了，就是在第二層的最中間那個，大家能想象出來吧？我還驗證了一下，把各種涂色的情況加起來，8+12+6+1=27，總數正好夠27個。

師：聽了這位同學的補充，你覺得又好在哪兒？

生：我覺得他把三面涂色、兩面涂色、只有一面涂色，還有各面都不涂色的這些小正方體分別在什么位置講得特別清楚。

生：特別是兩面涂色的情況，他一層一層地觀察并指給我們看，非常有順序。還有就是各個面都不涂色的（在正方體正中心藏著的）那個很不容易想到，我開始沒找到，聽他這么一說，我明白了。

【分析與思考】由現實生活情境進入相關聯的數學問題情境——把表面涂色的正方體每條棱分別進行二等分、三等分，從最簡單的情形入手，讓學生對得到的小正方體的涂色情況分類進行獨立探究。學生通過嘗試畫圖、切分、觀察、發現、想象、尋找分布位置、有序思考、計算、驗證等，層層深入分析出答案。教師通過引導學生個體與全班的互動交流、評價、反思，積累初步探究解決問題的數學活動經驗。

三、化繁為簡，尋求模式

教師導入問題：剛才我們是把表面涂色的正方體的每條棱二等分、三等分，如果要把每條棱等分成更多份，然后沿等分線把正方體切開，得到的小正方體涂色情況又會是什么樣的呢？我們該怎么辦？

生：我覺得可以把每條棱平均分成四份、五份后切開，分別畫一畫，再看看各面涂色的結果。

生：我們也可以畫一個表格來幫忙，把每條棱各等分的情況列舉一下，找一找，看看有什么規律沒有。

師：這個辦法不錯，可是該怎么畫表格呢，表格中要含有哪些要素呢？

生：我覺得先是每條棱等分成幾份，然后是切完后小正方體總數，后面可以依次是小正方體三面涂色數、兩面涂色數、一面涂色數和各面都不涂色數。

生：每條棱的等分數依次是2，3，4，5……也可以多列兩個，一直到等分成n份，看看結果都是怎么樣的，有什么規律？

（根據討論，學生共同設計表格）

【分析與思考】學生由簡入繁，由前面將正方體的每條棱二等分、三等分，到如果要把每條棱更多等分，得到的小正方體涂色情況又會是什么樣，該怎么辦，由此引入化繁為簡的思想。教師引導學生研究四等分、五等分的情況，在借助畫圖、列表中發現規律。特別要說明的是表格。這里，教師沒有給出一個現成的表格，而是由學生根據要研究的問題對表格的結構、要素親自設計、討論形成。這里從頭到尾發展的是學生高層次的數學思考（見表1）。

組員1：之前我們研究了把正方體每條棱二等分、三等分的結果，直接填在表中就行了。接著，我畫圖研究了四等分、五等分的情況。把每條棱四等分，一共能得到4×4×4=64個小正方體，三面涂色的在正方體的頂點處，一共還是8個；兩面涂色的在正方體的棱上，每條棱有2個，12條棱就有2"×"12=24個；一面涂色的在正方體的面上，每個面有4個，6個面就有4×6=24個；剩下的就應該是各面都不涂色的了，64-8-24-24=8個，在正中心處。

組員2：把每條棱五等分，一共能得到5×5×5=125個小正方體，三面涂色的還是在正方體的頂點處一共還是8個；兩面涂色的在正方體的棱上，每條棱有3個，12條棱就有3×12=36個；一面涂色的在正方體的面上，每個面有9個，6個面就有9×6=54個；剩下的就應該是各面都不涂色的了，在正中心處，有125-8-36-54=27個。

組員3：通過研究觀察我們發現，每條棱幾等分，得到小正方體的個數就是幾的立方，而且不管幾等分，三面涂色的個數都是8個。對于n等分時兩面涂色的個數，通過觀察我發現0，12，24，36都是12的倍數，分別是0×12，1×12，2×12，3×12，都是等分數減2之后再乘12，n等分時就是12（n-2）。可是，n等分時一面涂色和各面都不涂色的個數，我們沒表示出來。

師：聽了這個小組的匯報，你有什么想說的？可以評價、質疑或補充。

生：我覺得他們把每條棱四等分、五等分的情況研究得很清楚，而且還總結出了更多等分時小正方體總數、三面涂色數和兩面涂色數的規律。

師：他們能夠探究出這些結果或規律實屬不易，你覺得在這個過程中，他們做的哪一點最關鍵？

生：畫圖。

生：觀察后我有發現。

師：你發現了什么？

生：我覺得三面涂色、兩面涂色、一面涂色和各面都不涂色的這些小正方體分別分布在什么位置很重要，可以幫助我們快速分析出結果。

師：說得特別好！在數學學習中，只畫圖還不行，還要學會觀察思考，在觀察中能發現一些規律是學習數學的最高境界。對于每條棱更多等分的情況，還有要補充的嗎？

組員1：大部分情況我們和上一組都是一樣的。只不過在數不同涂色面的小正方體個數時，我們發現了一些規律。比如，不管幾等分，兩面涂色的都分布在正方體的各條棱中間，四等分時，每條棱有4個小正方體，去掉兩邊頂點處三面涂色的2個，就是（4-2）個，12條棱就是（4-2）×12=24個；五等分時，每條棱有5個小正方體，去掉兩邊頂點處的2個，就是（5-2）個，12條棱就是（5-2）×12=36個；n等分時，每條棱有n個小正方體，同樣去掉兩邊頂點處的2個，就是（n-2）個，12條棱就是12（n-2）個。

組員2：再比如，不管幾等分，一面涂色的都分布在正方體各個面中間，四等分時，每個面有4×4個一面涂色的小正方體，去掉四周每條棱上兩面和三面涂色的，就是（4-2）2個，6個面就是（4-2）2×6=24個；五等分時，每條棱有5個小正方體，去掉四周每條棱上兩面和三面涂色的，就是（5-2）2個，6個面就是（5-2）2×6=54個；n等分時，每條棱有n個小正方體，一面涂色的就是（n-2）2×6，也就是6（n-2）2個。

組員3：對于各個面都不涂色的一定在正方體的中心處，去掉露在外面的這一層，里面堆積起來的應該也是個正方體形狀，如四等分時，每行是（4-2）個，每層有（4-2），有（4-2）層，大家能想象出來嗎？這樣各個面都不涂色的有[（4-2）3]=8個。五等分時，里面堆積起來的也是個正方體，每行是（5-2）個，每層有（5-2），有（5-2）層，這樣各個面都不涂色的有（5-2）3=27個。那么n等分時，各個面都不涂色的就有（n-2）3個。最后，我們把總結出來的每條棱n等分時的這些規律，在二等分、三等分時也分別進行了驗證，都成立，大家看表2就可以了。

師：分享了這個小組的研究成果，你有什么想說的？

生：我覺得他們組研究得比較好，和第一組比又有些不同。

師：具體說說好在哪兒？有什么不同？

生：比如，在找兩面涂色數時，他們組是先按位置數出每條棱有幾個，再乘12計算出結果。再如，找一面涂色數時，也是先按位置數出每個面有幾個，再乘6計算出結果，填表時也都是直接填最后的得數。而上一組是在觀察后找到一些關系，如每條棱有幾個兩面涂色的，每個面有幾個一面涂色的，他們不是直接數出來的，而是用算式來表示的，填表時也是先寫算式再算結果。

師：你的意思是說他們組特別會觀察，他們在觀察中帶著思考在尋找一些關系，對嗎？

生：對。

師：他們在尋找哪些關系？誰和誰之間的關系？

生：各種涂色數分別與每條棱的等分數之間的關系。

師：特別好！這些個關系如果找到了，那么這里面隱藏著的涂色的奧秘就被我們發現和破解了。

生：可是這些關系好像挺隱蔽的，也不太好找，我就沒找到，他們是怎么發現的呢？

師：對呀，他們是怎么發現的呢？反思總結一下有沒有什么好的經驗？

生：我覺得各種不同涂色小正方體的分布位置很重要，這在前面已經說過了。還有就是觀察角度也很重要，在觀察中還要不斷思考分布和等分數之間的關系。比如，一面涂色的小正方體是分布在每個面的中間的，而且構成一個方陣，那么每個面上的個數就是方陣中一行個數的平方。再如，兩面涂色的是分布在每條棱的中間，那么每條棱上的個數就是一行的個數減去2。

生：另外，我覺得想象也很重要，如各個面都不涂色的那些小正方體是藏在正中心的，而且它們堆在一起的形狀也是個正方體，這樣就方便分析它們的個數與每條棱等分成幾份之間的關系了。

【分析與思考】交流分享研究成果是本課的核心環節。這里呈現了兩個組的研究，每個組的成員接力匯報，通過對比、評價、補充、質疑，在交流后發現規律，形成解決問題的經驗。特別是兩個組研究過程的相同與不同，相同之處是都借助了前面各種不同涂色情況的小正方體各自分布規律的經驗基礎上進行的探究，不同之處是二者的觀察思考力度和研究過程不一樣，特別是第二組在畫圖后一邊觀察，一邊想象、思考、尋找各種涂色數分別與每條棱的等分數之間的關系，從中發現規律，以方便表征每條棱更多等分時各種涂色結果的統一性。這是學生在數學學習中發展空間觀念的同時一種高層次能力、高階思維的體現，也是學生學科關鍵能力與核心素養形成的重要展現。學生最后通過反思、總結，再次積累形成探究解決圖形問題的活動經驗。

四、預留問題，延伸思考

教師導入問題：淘氣在研究正方體表面涂色的問題時，他把一個表面涂色的正方體的每條棱四等分，然后沿等分線把正方體切開，可是不小心把切好的積木碰塌了，能不能恢復原狀呢？

生：我覺得能恢復。3面有顏色的一定是在各個頂點處，2面有顏色的應該是在各條棱去掉兩頭的中間位置，1面有顏色的肯定是在各個面去掉四周的中間區域，各面都沒顏色的肯定是在看不見的中心處。

師：解決了正方體表面的涂色問題，你還有什么想繼續研究的問題嗎？

生：剛才我們研究的是正方體的情況，如果是長方體涂色，會是什么情況呢？

師：你能嘗試用我們研究正方體的方法研究長方體嗎？

教師出示如下題目：

把長、寬、高分別為3，4，5厘米的表面涂色的長方體切割成棱長是1厘米的小正方體。一共得到__________個小正方體；三面涂色的小正方體有____________________個；兩面涂色的小正方體有__________個；只有一面涂色的小正方體有__________個；各面都沒有涂色的小正方體有__________個。

長、寬、高若不是3，4，5厘米，是其他數據，結果又會怎么樣呢？

師：請你帶著本節課研究的經驗，在課下繼續探究，下節課我們再交流。

【分析與思考】有價值的課堂深度學習，需要能看得見學生能力和思維生長的氣息，讓學生經歷從已知到未知的過程。其重要表現是學生能夠應用學習的知識經驗去解決新問題。這里，解決“積木塌了能否恢復”的問題，實際是對“涂色問題”的逆向思考與應用。課尾，教師為學生預留“嘗試用研究正方體的方法研究長方體表面涂色”的問題，是為了讓學生帶著學習的經驗去解決新問題，是為了點燃學生繼續研究問題的欲望，幫助學生從已知走向未知。

參考文獻：

［1］陳靜.遵循認知規律發展空間觀念：“圖形的初步認識（一）”教材分析與教學建議［J］.小學數學教育，2024（20）.

［2］趙息才.核心素養背景下小學生空間觀念的培養策略［J］.小學教學研究，2024（27）.

（責任編輯：楊強）