三角函數及解三角形中取值范圍與最值問題解法探析

摘要：高中數學三角函數及解三角形中的取值范圍與最值問題是教學的難點也是考試的難點之一.文章結合例題對參數ω取值與范圍問題、三角形面積與周長的最值與范圍問題、有關長度的范圍與最值問題三類試題進行了分析.

關鍵詞：高中數學；三角函數；解三角形；取值范圍；最值問題

在高考數學中，三角函數及解三角形中的取值范圍與最值問題占據了重要地位.這類問題不僅考查學生對三角函數性質和解三角形方法的掌握程度，還側重于評估學生在復雜情境中靈活應用這些知識的能力.題目通常涉及參數ω取值與范圍問題、三角形面積與周長的最值與范圍問題、有關長度的范圍與最值問題三類.

1 參數ω的取值與范圍問題

例1 已知函數y=3sin ωx+cos ωx（ωgt;0）在區間－π4，2π3〗上單調遞增，則ω的最大值為（" ）.

A.14

B.12

C.1211

D.83

解析：y=3sin ωx+cos ωx=2sinωx+π6.根據ωgt;0，－π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可以得到－2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω，k∈Z.所以，可知函數y=3sin ωx+cos ωx的單調遞增區間為－2π3+2kπω，π3+2kπω〗（k∈Z）.依題有－π4，2π3〗－2π3+2kπω，π3+2kπω〗（k∈Z），則2π3≤π3ω，－2π3ω≤－π4，解得0lt;ω≤12.

故選：B.

解法總結：

此類問題的常見解法有三類.（1）性質分析法.通過三角函數的基本性質，如周期性、對稱性、單調性等，可以直接分析并確定函數在某一區間內的取值范圍.例如，利用三角函數的周期性，可以判斷函數在一個完整周期內的取值情況；利用對稱性，可以簡化某些特殊角度的計算；利用單調性，可以確定函數在特定區間內的變化趨勢.（2）方程和不等式求解法.這類解法通過將三角函數問題轉化為求解特定角度或角度范圍的問題.需要能夠將復雜的三角函數表達式轉化為簡單的方程或不等式，并通過解這些方程或不等式來確定取值范圍.（3）參數化與輔助角法.通過引入輔助參數或角度，可以將復雜的三角函數表達式轉化為更簡單的形式，從而簡化求解過程.這種方法涉及到通過引入新的變量或角度，重新表示原始三角函數問題，使其變得更容易處理.這種方法要求學生能夠靈活運用參數化和輔助角的概念，幫助他們在解題過程中找到更直接的途徑，簡化計算和推導步驟.

2 三角形面積與周長的最值與范圍問題

例2 已知平面四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.

（1）若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；

（2）若∠ABC=120°，△ABC的面積為932，求四邊形ABCD周長的取值范圍.

解析：（1）如圖1，在△ABD中，由余弦定理可得cos A=32+62－BD22×3×6;在△BCD中，由余弦定理可得cos C=32+42－BD22×3×4.因為∠A+∠C=180°，所以cos A+cos C=0，于是可得32+62－BD22×3×6+32+42－BD22×3×4=0，解得BD=33.

（2）如圖2，由S△ABC=12×3×AB×32=932，得AB=6.在△ABC中，∠ABC=120°，由余弦定理得AC2=32+62－2×3×6×cos 120°=63，則AC=37.設AD=x（xgt;0），CD=y（ygt;0），在△ACD中，由余弦定理得

（37）2=x2+y2－2xy·cos 60°=（x+y）2－3xy，則（x+y）2=63+3xy≤63+3×x+y22，得（x+y）24≤63，所以x+y≤67，當且僅當x=y=37時取等號.又x+ygt;AC=37，所以四邊形ABCD周長的取值范圍為（37+9，67+9〗.

解法總結：高中數學中三角形面積與周長的最值和范圍問題常見的解法有三種.（1）基于幾何構造與性質分析的方法，通過構造輔助線、利用三角形的特殊性質（如高線、中線、角平分線等），可以推導出三角形面積和周長表達式，并利用幾何優化原理求解最值問題.這種方法強調了幾何直觀和幾何分析能力.（2）三角函數和參數化方法，通過引入三角函數和參數化方法，可以將復雜的三角形面積和周長問題轉化為簡單的數學表達式求解.例如，利用正弦定理、余弦定理或三角函數的性質，將三角形的面積表示為三角函數表達式，并通過優化方法求解最大或最小值.參數化方法則是通過引入新的參數化變量，簡化問題的求解過程，使復雜問題變得更加直觀和易于處理.（3）優化理論和數學推導的整合方法，這種方法結合了數學優化理論和推導過程，通過設定約束條件和目標函數，求解三角形面積或周長的最大或最小值.

3 有關長度的范圍與最值問題

例3 在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2sin Bsin C+cos 2C=1+cos 2A－cos 2B.

（1）求證：B+C=2A；

（2）求c－ba的取值范圍.

（1）證明：因為2sin Bsin C+cos 2C=1+cos 2A－cos 2B，所以有2sin Bsin C+1－2sin 2C=1+1－2sin 2A－1+2sin 2B，則sin Bsin C－sin 2C=－sin 2A+sin 2B.由正弦定理可得bc－c2=－a2+b2，即bc=b2+c2－a2，所以cos A=b2+c2－a22bc=bc2bc=12.又A∈0，π2，故A=π3.由A+B+C=π，得B+C=π－A=2π3=2A.

（2）解：根據第（1）問的計算可得sin A=32，cos A=12.因為sin B=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c－ba=sin C－sin Bsin A=23sin C－32cos C－12sin C=2312sin C－32cos C=23sinC－π3.又銳角三角形ABC中，0lt;Clt;π2，0lt;π－π3－Clt;π2，則π6lt;Clt;π2，所以－π6lt;C－π3lt;π6，則－12lt;sinC－π3lt;12，所以－33lt;23sinC－π3lt;33.

故c－ba的取值范圍為－33，33.

解法總結：該類試題的常見解法有三種.（1）基于三角不等式和三角形性質的方法，通過應用三角不等式（如兩邊之和大于第三邊等），確定三角形的邊長滿足的范圍條件.（2）三角函數與參數化方法，利用三角函數的周期性和參數化方法，可以將三角形的邊長表示為三角函數的形式，并通過最值原理或優化方法求解三角形的最大或最小長度.（3）幾何構造與優化整合的方法，這種方法結合幾何構造和數學優化，通過構造輔助線或利用幾何性質，幫助確定三角形的特定邊長范圍或優化其長度.例如，通過劃分三角形、引入輔助點或線段，可以簡化計算和分析過程，確保最終解答的準確性和完整性.

參考文獻：

[1]黃柱鳳，陳兆堅.基于關鍵能力考查的“解三角形中的最值與范圍問題”微專題復習課教學[J].中學教學參考，2024（8）：33-35.