概率論與數理統計創新示范課程建設

［摘 要］大學數學基礎課程教學的主要目標是培養本科學生的數學素養，強化其應用數學方法解決專業問題的意識與基本能力，并為其后續學習奠定現代數學基礎。以大學數學基礎課程——概率論與數理統計為例，在教學實踐中，課程組圍繞數學核心素養開展創新示范課程建設。課程組采用混合式教學模式，將學情分析作為教學依據，通過完善教學資源庫、優化教學設計、引導思維路徑、融入思政教育，結合數字技術實現課程教學創新，并對教學效果進行評價，發現在取得良好教學效果的同時也存在一些不足，這為進一步優化課程建設提供了依據。

［關鍵詞］數學素養；概率論與數理統計；課程建設；混合式教學

［中圖分類號］G642 ［文獻標識碼］A ［文章編號］2095-3437（2025）04-0033-06

數學作為一種定量考慮問題并獲得規律性認識的主要方法，在工程科學研究中被廣泛應用[1]。隨著以人工智能、物聯網等為代表的新興數字技術的快速發展，數學在醫學、農學以及人文社會科學研究中的重要性日益凸顯，但在研究過程中所面臨的問題具有高度復雜性，需要借助數據分析、數學建模以及數學多個分支知識的綜合應用來解決。因此，對學生而言，無論是學習還是工作，僅憑大學數學基礎課程的知識還遠遠不能滿足實際需求，這對大學數學教學提出了新的挑戰與要求。特別是在“四新”建設背景下，如何認識這種挑戰，并通過實施卓有成效的教學改革去應對，成為大學數學教學面臨的艱巨任務[2]。大學數學基礎課程的教學目標與作用是什么？本文認為，大學數學基礎課程的教學目標與作用是促進學生數學素養水平的整體提升。具體而言，它旨在強化學生的數學基礎，提升他們將數學知識應用于專業領域的實踐能力，并為學生的終身學習與研究奠定堅實的數學理論與技能基礎。例如，通過系統講解數學的基本概念、原理和方法，結合專業案例和實際問題，使學生能夠靈活運用數學工具進行數據分析、模型構建和問題解決，同時培養他們的邏輯思維、抽象能力和創新思維，以適應未來科技和社會發展的需求。以概率論與數理統計課程為例，在教學實踐過程中，課程組積極探索創新示范課程建設的路徑，以期全面提升學生的數學核心素養。

一、課程建設的基本思路

（一）圍繞核心素養，著力教學創新

數學素養的核心成分是在對數學本質和價值理解的基礎上形成的，主要包括數學知識、數學思想與方法、數學技能、數學能力以及數學情感態度幾個方面。其中，數學思想與方法是最為關鍵的成分，既是數學教育的目標，也是與其他學科進行融合與交叉研究、形成數學技能所必備的基礎。數學思想與方法的培養是一個漸進的過程，主要通過數學教學和學習活動來實現，是數學教學中的重點和難點。為了培養學生數學核心素養與能力，創新示范課程建設應聚焦數學思想與方法的傳授，通過創新教學策略幫助學生突破認知與思維上的障礙。

1.思想認識的革新

思想認識的革新，就是從更高層級認識數學的育人價值。在不同專業背景下，文理科各專業對數學課程的價值認識存在顯著差異。教師方面，部分教師對于數學教育功能的認知常受限于主觀視角，缺乏長遠規劃與全面考量；學生方面，部分學生因學習目的過于功利化，過分追求分數與短期效應，從而忽視了數學的本質價值與長遠意義，亟須擯棄應試和功利化的短視觀念，以更開放和深入的態度去探索數學的奧秘。因此，應以數學思想與方法為核心驅動課程建設，強化數學思維訓練，深化師生對數學思想方法的理解與應用，促進師生全面而深入地認識數學的價值。

2.內容設計的出新

課程內容設計需不斷創新，確保知識的全面性與深度，以促進學生數學素養的全面發展。具體而言，一是要精煉課程內容，強化基礎知識，同時鼓勵學生從多角度、多層次探索學習，通過設置開放式、半開放式習題，培養他們的數學思維能力；二是要緊密結合國家選拔性考試的要求，設置針對性訓練，幫助學生掌握應試技巧，同時確保所學內容能夠在實際考試中得以有效應用；三是要持續跟蹤數學學科的前沿動態，定期更新課程內容，確保學生接觸到最新的數學理論與研究成果，以培養他們的創新意識和持續學習的能力。

3.教學方式的創新

利用微視頻、知識圖譜、思維導圖、數字人等教學方式，豐富在線課堂的教學資源，同時引入數學家的生平故事與成就介紹，以激發學生的學習興趣，使他們能夠更全面地了解數學理論的背景與應用。

（二）基于學情分析，確定教學依據

學情分析是了解學生學習狀況、興趣偏好及能力水平的重要過程，需慎重、準確且明智地運用所能獲得的研究依據，結合專家意見、教學經驗、教學期望以及學生的個人特質，制定科學的教學方案[3]。為了實現精準教學，學情分析的結果應作為確定教學重點與難點的依據，特別是在雙線融合教學背景下，教師應充分利用線上教學、測驗、作業及電子化閱卷所產生的大量數據，結合教學經驗，對試題進行綜合分析，從而發現學生的普遍性問題。針對這些問題，教師應設計有針對性的例題或練習題，以促進學生掌握相關知識，為確定教學難點與選擇教學方式提供有力支撐。

（三）優化教學設計，引導思維路徑

學好數學的精髓在于思考。數學課程教學旨在實現知識傳授與能力發展的雙重目標，這一過程既關聯個人天賦、心理、思維習慣等個體因素，也彰顯數學的科學性、實用性及人文價值。在整體構建課程體系的基礎上，教師在數學課程教學實施過程中應著重優化教學設計，并注重引導學生形成正確的思維路徑，以幫助他們突破難點、深化理解。例如，教師可以充分利用多樣化的教學手段，如線上互動、實例解析等，結合學生個體差異，精準定位學習難點，并通過巧妙設問和適時引導，引發學生的數學思考，助力學生有效突破思維瓶頸，深化對數學知識的理解和掌握。

（四）培養數學情感，融入思政教育

立德樹人是教育的根本目標。數學課程既有科學性，也有人文性，其教學過程應與思政教育深度融合，以培養學生的科學素養與人文精神[4]。在人類社會生產實踐和科學探索中，存在著眾多隨機現象。認識這些現象并把握其統計規律性，形成科學認知，不僅對解決實際問題大有裨益，而且對培養正確的世界觀、人生觀和價值觀具有積極作用。應將概率論與數理統計的發展簡史、發展趨勢及其與其他學科的結合成果融入課程建設中，自然地將數學素養與思政教育相結合，作為課程建設的重要補充內容。通過培養學生的數學興趣和數學情感，使他們深刻感受到數學文化的獨特魅力，領略數學精神的實質。

二、課程建設實踐

在概率論與數理統計創新示范課程建設過程中，課程組依托原有在線課程，采用了混合式教學模式，同時注重教學資源的全面優化與學情分析的精準實施，旨在彌補數學課程教學的不足，促進跨專業知識的深度融合[5]。

（一）優化教學資源

為了全面提升教學質量與學習體驗，課程組在優化教學資源方面采取了多項舉措。第一，精心制作融合了數學史、數學家歷史貢獻、學科未來發展趨勢與實踐應用的教學視頻，如《概率論與數理統計簡史》《概率論與數理統計的發展趨勢與應用》《歷史中的統計》《如何正確認識與使用數字特征》等，將其作為輔助教學資料，以營造濃厚的學術氛圍。第二，整合并更新了經典案例與現代應用實例，構建了一個包含豐富理論學習資源與實踐操作指南的在線學習平臺，旨在促進學生深化理論聯系實踐。第三，建立了動態的試題庫，涵蓋基礎概念題、綜合應用題、歷年考研真題及模擬試題等多種題型，通過智能化的測試系統，為學生提供個性化的學習評估與反饋，幫助學生鞏固知識、檢驗學習效果，并有效提升應試能力。第四，設計并實施了PBL（問題驅動式學習模式）項目，如物流配送優化問題、電磁輻射統計分析與評價等，鼓勵學生主動探索、合作解決真實世界中的復雜數學問題，以此提高學生的問題解決能力和團隊協作精神。

（二）學情分析

1.課程整體框架

概率論與數理統計課程是工學、醫學、農學、經濟管理等專業的一門必修數學基礎課程。這門課程與實際問題聯系緊密，主要研究隨機現象的統計規律性，內容包括概率論部分的隨機事件和概率、隨機變量及其概率分布、多維隨機變量及其概率分布、數字特征、大數定律與中心極限定理，以及數理統計部分的基本概念、參數估計和假設檢驗。概率論與數理統計作為理論基礎，廣泛滲透于多個學科領域，催生了統計物理學、醫學統計學、材料統計學等新興交叉學科。通過學習概率論與數理統計課程，學生能夠掌握處理隨機現象的基本方法和技能，為解決實際問題和進行跨學科研究打下堅實基礎。

2.樣本數據來源

以下以J大學為研究對象。該校概率論與數理統計課程的學情分析基于其自建在線課堂的學習數據。J大學是一所規模大、學科全的綜合性“雙一流”建設高校。根據各專業對數學基礎知識要求的差別，J大學實行分級分類教學，其中電子科學與技術、計算機科學與技術等對數學有較高要求的專業開設A類數學基礎課程，工學專業普遍開設B類課程，社會科學專業如經管等開設C類課程，并設有專為文科學生打造的文科數學基礎課程。B類與C類數學課程在教學內容、教學重點與難點等方面大致相同，主要差異體現在內容深度要求上。J大學利用自建的在線課堂，主要在學習通平臺上設置汽車學院、材料學院和交通學院的概率論與數理統計課程，并統計了近幾年混合式教學及電子化閱卷成績，基于素養與跨專業融合的教學愿景，通過學情分析明確教學難點，設計針對性例題，幫助學生突破思維障礙，探索有效的教學路徑。

3.教學重點與學習難點的確定

通過分析2020—2021學年與2021—2022學年概率論與數理統計B課程期末考試電子化閱卷成績，得分率較低的部分應視為教學和學習的難點（見圖1、圖2）。經統計分析，這些難點主要包括事件的關系與運算、隨機變量分布的性質、常用分布的性質、二維連續型隨機變量及其分布、二維隨機變量函數的分布、切比雪夫不等式、中心極限定理、統計量的分布、參數的點估計。

根據對J大學概率論與數理統計B課程考試情況的分析，知識點掌握程度及其得分率所反映出的問題主要有：

（1）試題的綜合性強、涉及知識點多對得分率的影響十分顯著。對于知識點單一的試題，學生易于得分，這表明學生對單一知識點的掌握程度較高。然而，當試題涉及多于兩個知識點的綜合考查時，學生的得分率會明顯降低。例如，在考查隨機事件的關系時，如果僅涉及事件的關系和運算，學生的得分率通常較高；但如果考查的是事件與事件概率之間的關系，學生則容易出現思維障礙，導致得分率較低。

（2）學生對離散型問題的掌握程度較好，但對于連續型問題則明顯偏弱；在計算類問題上表現較好，而對理論的理解程度則相對較低。例如，學生在回答常用分布的概念與性質相關題目時容易得分，但在涉及隨機變量的概率分布性質的問題時則容易失分。

（3）教學難點同樣也是考試難點，其中特別突出的是二維連續型隨機變量函數的分布問題（得分率為70.2%）。另外，統計量的分布也是一個難點，學生對分布的背景及其證明過程難以理解，因此在判斷統計量的具體分布時感到較為困難。即便是那些具有固定求解模式的參數估計問題，其得分率相比其他知識點也明顯偏低。

（4）與概率論部分相比，學生在數理統計部分的知識點掌握程度上表現較差。這反映出，對于實際背景較強、原理證明較難的知識點，學生相對不容易掌握。因此，這些內容在教學中需要強化。

4.教學設計開發

例題、習題的設計與隨堂提問是發現問題和解決問題的重要途徑。發現學習難點的關鍵在于設計好具有明確指向性的例題，以此來檢驗學生對知識點的理解準確性、區分概念的能力、抽象思維的發展，以及對數學本質和形式的領悟程度。

例如，在講解概率的定義時，為了讓學生領悟數學定義的多種方法，特別是“概率”公理化定義的獨特性，并突出數學思想的特點，可以這樣設計問題：“概率的公理化定義的主要特點是什么？是給出了概率的嚴格定義式，僅指出了運算所必須遵守的幾條規則，還是區分了主觀概率和客觀概率？以上說法全都正確嗎？”將這種定義與其他數學定義的形式進行對比，可以讓學生直觀地感受到數學定義的不同形式及其主要思想。概率的公理化定義的特點在于不對“概率是什么”進行直接定義，而是僅制定出概率運算所必須遵循的幾條規則。無論對概率的理解是主觀的還是客觀的，在運算和推理過程中都應遵守這些公理化準則[6]。

又如，“兩個事件互不相容”和“兩個事件相互獨立”是學生在概率論與數理統計課程學習過程中容易混淆的兩個概念。兩個事件A與B互不相容是指A與B不能同時發生；兩個事件A與B相互獨立是指A與B同時發生的概率[P（AB）=P（A）P（B）]。那么，這二者之間又是什么關系呢？在多年的教學經歷中，課程組發現學生往往憑借直覺來理解兩個事件互不相容與兩個事件相互獨立之間的關系，這往往導致誤解。這種直覺通常源于學生試圖從集合關系的角度來解讀，從而成為理解這兩個概念的混雜因素。僅憑直覺并不足以準確解釋這兩個概念之間的相互關系。因此，在教學過程中，必須排除直覺的干擾，將直觀思維提升為抽象思維。具體而言，相互獨立描述的是隨機事件概率之間的數量關系，而相容性描述的則是隨機事件樣本點之間的集合關系。為了揭示問題的一般性，必須通過嚴格的論證來闡釋這兩者之間的關系，從而將直覺轉化為邏輯推理。如果不將這些問題講解清楚，部分學生就會僅僅停留在機械地記憶和計算的層面，而無法深刻體會到數學思想與抽象的必要性。通過合理設計開放式或半開放式問題，展示數學的嚴謹性、抽象性和邏輯嚴密性，讓學生具備看問題的“數學眼光”和方法。

三、教學效果的檢驗與評價

該課程采用邊建設邊使用的方式，在兩個完整的學年周期（2021—2022學年和2022—2023學年）內，通過教學實踐檢驗了其教學效果。

（一）數學文化與思政融入教學的情況

在日常教學中適度融入數學思想、學科發展簡史的內容是必要的。課題組制作的《概率論與數理統計簡史》與《概率論與數理統計發展趨勢與應用》兩個視頻，不僅受到了多數學生的熱烈歡迎，還促使他們基于內容提出了獨到見解。此外，將視頻《歷史中的統計——王朝興衰的統計規律》與黨史國史中的著名事件“窯洞對”結合起來，不僅展示了統計方法在歷史問題分析中的作用，而且進行了一場生動活潑的愛國愛黨教育。整體而言，這樣的教學素材能夠激發大多數學生的學習興趣，使他們能夠從更廣闊的視角來理解課程體例與內容。部分學生期望老師能提供更多這方面的參考資料。然而，也有極少數學生認為課上僅需講授與考試直接相關的內容，這反映出一種極端功利化的學習態度。更有個別學生無論教師采用何種方式、何種內容都漠不關心，表現出極端的散漫。這與前期在一些高校數學院系的調研情況相比，顯示出這是目前普遍存在的問題。這可能與高校教學管理放松考試要求、期末考試難度降低以及學生自身興趣缺失等多種因素密切相關。

（二）基于考試成績的教學效果的評價

課程組以汽車工程學院兩個班級（一班127人，二班146人）的總評成績為樣本，對教學效果進行分析，結果如圖3、圖4、表1、表2所示。

從總評成績分析表可以看出，兩個班級的平均分都較高，且大部分學生的成績都集中在平均分附近，呈現出正態分布的趨勢。標準差的值反映了學生成績的離散程度，兩個班級的標準差相差不大，說明學生成績的分布相對均勻。綜上所述，通過對總評成績的分析，可以初步判斷該課程的教學效果是積極有效的。

（三）教學過程中發現的主要問題

在課程的教學實踐過程中，盡管取得了積極的教學效果，但仍存在一些不容忽視的問題。首先，部分學生的學習動力不足，尤其是對于融入思政元素和數學文化的教學內容，表現出一定的抵觸情緒，這可能與學生的個人興趣、學習習慣或對未來職業規劃的認知有關。其次，雖然大多數學生能夠適應新型的教學模式，如PBL等，但仍有個別學生在適應過程中遇到困難，需要更多的個別輔導和支持。此外，教學資源的分配和利用也存在一定的不均衡性，尤其是在優質教學素材的獲取和共享方面，仍有待進一步優化和提升。最后，目前考試成績的評價標準和方法雖然能夠反映學生的基本學習情況，但如何更加全面、客觀地評價學生的學習效果和綜合能力，仍是一個需要進一步探討的問題。這些問題需要在今后的教學實踐中不斷探索和解決，以進一步提升課程的教學質量和效果。

四、結語

在概率論與數理統計創新示范課程建設過程中，課程組努力將傳統教學與信息技術相融合，其核心思想是遵循原有課程教學產生的數據所反映出的問題，圍繞數學核心素養成分，聚焦課程教學問題的解決路徑，力求通過準確診斷，突破教學與學習的瓶頸，以培養學生數據統計分析能力，提升學生的數學素養水平。在教學實踐過程中，課程組不斷嘗試與調整教學方法，驗證并優化融合策略，同時注重收集學生反饋，以期進一步完善課程建設，使創新示范課程能夠持續有效地促進學生學習。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張然，高彥偉.數學對工程科學人才職業素養培養的價值及教學路徑[J].現代教育科學，2023（3）：116-120.

[2] 高彥偉，王春朋.“四新”背景下的“大學數學”課程教學改革[J].黑龍江教育（高教研究與評估），2024（4）：79-81.

[3] 崔友興.循證教學的過程邏輯與運行機制[J].課程·教材·教法，2021，41（1）：64-71.

[4] 高彥偉，張然.新文科數學課程體系的構建與實施路徑[J].吉林師范大學學報（人文社會科學版），2024，52（1）：110-117.

[5] 高彥偉，宋東哲.新工科背景下工科數學混合式教學的實踐與省思[J].現代教育科學，2021（6）：95-101.

[6] 陳希孺.數理統計學簡史[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2021.

［責任編輯：梁金鳳］