類比貫穿 促學習結構化——以“線段和角”的復習課為例

摘"要：復習課不僅是對所學知識的復習，還是對內容的結構化整合.通過類比可以讓學生構建系統的知識結構，優化知識網絡，從而實現數學知識結構化、數學思維結構化，培養學生“應用意識與創新意識”的數學核心素養.

關鍵詞： 單元復習課；結構化；線段和角；核心素養

1"問題緣起

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：“課程目標的確定，立足學生核心素養發展，集中體現數學課程育人價值.”［1］關于結構化，新課標也要求在課程實施中加強知識間的內在關聯，促進知識結構化.結構化教學是新時代背景下深化課堂教學改革的重要方式，有目的、有計劃地開展結構化教學，有助于提升學生的知識結構水平和思維結構水平，能夠有效發展學生的核心素養，推動育人方式的變革.

當前的復習課教學往往存在大量重復知識與技能的訓練，忽視了知識點之間的關聯，缺失了對數學思想方法的有效滲透.很多學生因為知識結構化的缺失，數學思維和學科核心素養達不到要求.結構化視角下的復習課旨在根據學生的認知發展規律，引導學生主動對所學的零散知識進行整合，實現知識的系統化，生出新的生長點，讓知識結構能夠在后續發展中構建起來，疏通與拓寬知識的提取路徑，從而達到提高思維品質，促進核心素養發展的目的.［2］

筆者在卓越教師成長營展示了一節復習課，課題選自蘇科版《義務教育教科書數學七年級上冊》“線段和角”的復習，本文依據“線段和角”的復習課教學實踐過程，闡述對上面問題的思考.

2"教學過程設計

2.1"類比遷移，喚醒“線段和角”的知識結構

問題"平面上有兩個點A、B，你能聯想到哪些相關知識？若在AB之間畫點C，你又能聯想到哪些知識？

生1：兩點確定一條直線，利用A、B兩點可以得到直線AB、射線AB、射線BA、線段AB.

生2：可以度量線段長度，比較不同線段大小.

師：剛才回顧的知識涉及概念、分類、計算、比較大小等，根據有理數一章的研究目錄發現有理數的研究思路也是概念、分類、計算、比較大小.類比這兩個數學對象的研究路徑你能說一說角的研究路徑嗎？

生：角也是按概念、分類、計算、比較大小的路徑研究的.

【設計意圖】從構成幾何圖形的最基本元素“點”出發，引導學生自主地對課本中相關的知識進行梳理，形成結構化的知識認知.對比有理數的研究方式，思考線段和角的研究方式，這是同構性思維.引導學生發現從知識內容上，線段和角的研究方向具有一致性，可以進行一定的類比，建立兩者之間的關聯性，這樣既幫助學生建立有關線段和角的完整知識體系，又有利于學生后期關于線段和角的對稱性學習.

2.2"類比梳理，經歷“線段和角”的研究過程

2.2.1"基本說理的類比

問題"（1）如圖1所示，AB=20，C是線段AB上任意一點，D是線段AC的中點，E是線段BC的中點，求DE的長.

（2）請你模仿（1）設計一道以角為背景的計算題并給予解答.

小結：①說理結構一致；②結論一致.

【設計意圖】線段和角是“圖形與幾何”中的兩個基礎概念，猶如一對“雙胞胎”，彼此之間具有很多“共性”.它們在研究思路、研究內容、研究方法等方面都是類似的.學生在經歷了問題（1）后就可以形成基本的探究經驗，進而通過類比（1）解決（2）.

2.2.2"分類思想的類比

問題"（1）如圖2所示，l是線段AB所在直線，AB=20，C是直線l上除A、B外任意一點，且D是線段AC的中點，E是線段BC的中點，求線段DE的長.

小結：①當圖形位置不確定時，需要進行分類討論；②點C可能在線段AB上，也可能在線段AB的延長線上.

（2）已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，OD平分∠ AOC，OE平分∠BOC，則∠DOE的度數為"""".

小結：

①分類的方式一致；②說理的結構一致；③結論的不變性一致DE=12AB，∠DOE=12·∠AOB.通過類比，進行歸納總結（見表1）.

【設計意圖】利用線段分類思想的研究策略類比到角分類的研究方法，這是同構性思維方式.把線段和角這兩種不同概念的問題抽象歸納為“a+b”模型和“a-b”模型，此時“字母表示數”同構成“字母表示圖形”，隨后進一步抽象為“字母表示數學對象”，培養學生的數學建模思想，實現思維的同構，發展學生的核心素養.

2.2.3"數線段條數和角個數的類比

問題"（1）如圖3所示，直線上有n（n≥2）個點，可以構成""""條線段.

（2）如圖4所示，n（n≥2）條具有公共頂點的射線，可以組成""""個角（小于180°）.

小結：線段的兩個端點與角的兩條邊結構一致，在解決問題時方法相似.

【設計意圖】線段和角屬于并列的數學知識，通過類比線段個數和角的個數，發現它們的規律是一致的，本質原因是它們的結構一致，所以方法相似.這樣不僅進一步加深學生對這兩種圖形的認識，還可以使學生體會到知識之間存在的關聯，在頭腦中形成鮮明、清晰的印象和知識結構，構建起知識網絡，為以后研究幾何圖形提供了方法和思路.

2.2.4"方程思想的類比

問題"（1）如圖5所示，數軸上點C表示數6，點A表示數-10，點P、Q分別從A、C同時出發，點P以每秒6個單位的速度沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，設運動時間為t. t 為何值時，O恰為PQ的中點？

（2）如圖6所示，時間12點時，經過多少分鐘，鐘表中的“3”在時針和分針所成的角的平分線上？

【設計意圖】一是讓學生感受方程思想在線段和角的計算方面的應用，將方程的研究方法同構到線段的研究方法中，感受代數方法相對于算術方法，在問題解決思路上表現得越來越簡潔.二是進一步感受線段和角的概念、度量、位置等有類似結構，采用類比的方式，促進知識結構的形成，提升數學學習能力，提高專題復習效率.

2.3"對比反思，感悟“線段和角”結構的一致性

問題"線段和角在很多方面都有類似，那么主要是哪一方面存在共性，才會引起其他方面的一致性？

生：我認為主要是線段和角在表示方法上具有共性，只有將幾何圖形表示出來才可以進行比較大小、和差運算等探究活動.

師：為什么線段和角在表示方法上類似呢？

生：因為線段有兩個端點，要通過兩個端點來表示一條線段，角有兩條邊，可以通過兩條射線來表示角.這都與它們的組成元素有關.

師：線段主要受兩個端點的約束，角主要受兩條射線的約束.我們把線段的兩個端點稱為線段的“邊界元素”，把角的兩條邊稱為角的“邊界元素”.可見，線段和角的“邊界元素”本質是關聯的，所以它們相關問題的處理方法也是一致的.

【設計意圖】學生從內容上已經發現線段和角具有關聯性，但不一定明白為什么會有關聯性.如果不進行深層次探究，學生還是不能真正掌握其本質.通過問題串的形式，引導學生探究，發現其實質都是由線段、角的“邊界元素”具有一致性引起的，這也給學生的幾何學習指引了方向.

3"教學反思

3.1"合理組織教學內容，促使學生知識結構化

知識結構化是學生認知發展和思維養成的基礎，是教師在教學活動過程中引導學生發掘知識間的關聯性和共同特征，幫助學生建立知識結構，并將知識結構轉化為新的認知結構的過程.［3］優化知識結構是促進學生認知結構發展的前提條件.代數中的相關知識及結構為線段和角的有效教學奠定了基礎.

在教學時，要讓學生學到結構性的數學知識，這個結構可以是大的章節結構，也可以是小的單元結構.只有這樣，學生對于知識的理解才能更加深入和完善，才有利于學生數學素養的提高.

3.2"培養思想方法，促使學生思維結構化

思維結構化是指學生面對客觀世界時所具備的解決問題的思維方法和策略體系，體現為多維度和系統性的綜合思維，能夠綜合運用學科知識和學科思想方法對學科問題和跨學科的生產、生活問題進行系統化、結構化的思考，從而分析和解決問題.

本節課通過幾個系列問題的研究，借助問題導向的方式，引領學生領悟到線段和角的關聯本質在于它們的“邊界元素”具有一致性，挖掘問題的本質，同時借助圖形滲透數形結合思想，引導學生學會借助方程、整體、歸納等思想方法進行幾何探究，使學生深入理解蘊藏在學科知識、概念以及命題中的數學思想方法.這些思想方法以意識的形式儲存在頭腦里，為學生以后思考問題提供思維方式和價值取向.

3.3"開展課堂實踐活動，形成課堂結構化

課堂結構化是指教師能利用并優化課堂教學情境中的教學原則和教學資源，對教學內容進行結構化設計，對教學活動進行結構化組織，構建知識理解、問題驅動、資源整合以及活動關聯的結構化教學組織結構.教師與學生在教與學的互動過程中與課堂結構相互促進、相互制約，構建課堂二重性結構.［4］

在本節課的教學中，讓學生充分自我探究，主動獲取知識.從線段和角研究路徑的對比，到幾個系列問題的研究，再到關聯本質的探究，都是由學生自我探究、自主實踐完成.學生經歷知識的形成過程，才能切身體會到不同知識間的關聯性，通過長期的思維訓練，構建系統合理的知識結構，培養數學思想方法.在今后的學習中，學生就能夠以結構化的思維解決新問題，促使知識向素養的轉化.

4"結語

本節課打破常規復習課的模式，積極落實“整體架構，類比貫穿，促進結構化學習”的教學構想，以類比為主線，借助問題生長，促進學生“會思考，能類比，善總結”，引導他們在自主分析探究的基礎上感悟數學思想方法，積累學習經驗，最終實現知識結構化、思維結構化、課堂結構化的過程.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準 （2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］胡全會.課程視野下的數學結構化教學［J］.教學與管理，2020（20）：40-42.

［3］張春雷.核心素養視角下課堂結構的審視與重構［J］.教師教育研究，2018（5）：66-71.

［4］王鑒，王文麗.結構化理論視角下的課堂教學變革研究［J］.山西大學學報（哲學社會科學版），2019（3）：91-99.