高中“數列”單元教學的“問題鏈”進階設計

摘要：以“數列”單元為例，教學設計以“問題鏈”為主線，分四個階梯水平：概念建立水平、知識理解水平、綜合應用水平和拓展探究水平，從低階到高階的思維邏輯逐級展開.

關鍵詞：學習進階；數列；單元課；教學設計

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0018-03

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：康策，碩士，從事高中數學教學研究；沈南山，博士，教授，從事數學教學研究.

基金項目：合肥師范學院研究生創新基金項目“基于學習進階的高中立體幾何教學實踐研究”（項目編號：2024yjs068）；安徽省高校人文社會科學重點研究基地重點項目“基于課例研究的數學教師學科教學知識”（MPCK）的發展與實踐（項目編號：SK2021A0486）.

數列是高中數學中的重要內容，它不僅具有豐富的數學內涵，還與實際生活密切相關.在數列的教學中，如何引導學生逐步深入理解數列的概念、性質和應用，培養學生的數學思維和解決問題的能力，是教師需要關注的重點.學習進階理論為數列教學提供了一種有效的指導框架，通過設計“問題鏈”，可以引導學生在不同的進階水平上逐步提升對數列的理解和應用能力.

1學習進階的教學邏輯

學習進階是指學生在一定時間內對某一主題的學習和探索過程逐步提升、層層遞進的思考模式.這些思考模式會隨著學生對該主題的學習和探索而依次、持續地發展[1].學習具有階梯型發展水平，學習進階強調學生認知發展過程中，對數學概念的理解逐步深入和思維方式的不斷優化.

在高中數學教學中，依據學習進階衡量學生認知和學習水平，具有重要的指導意義.從低階思維到高階思維的發展，教學邏輯有四個層級的螺旋式設計：其一，精準定位學習目標，明確學生在不同進階階段應掌握的知識與技能；其二，按照進階順序合理組織學習內容，從基礎概念逐步深入到理解與應用；其三，根據學生所處的進階層次設計有針對性的學習活動和練習，促進學生思維的逐步提升，因材施教；其四，激發學生的元認知，拓展探究高階目標.由此，依據學習進階能更好地落實高中數學課程標準，提高學生的數學核心素養.

2學習進階：“數列”單元教學設計分析

2.1“數列”單元知識結構與進階水平層次劃分

數列單元由數列的概念、等差數列、等比數列等構成.就單元內部的知識結構而言，數列的概念是基礎，等差數列和等比數列是兩個重點學習的核心概念，且所涵蓋的知識內容是同構的，主要包含等差等比數列的定義、通項公式、前n項和公式以及基本性質等.從知識聯系的角度來講，數列的學習建立在整數、代數式的運算以及其他基礎數學知識學習的基礎之上，并且與函數、不等式等知識緊密聯系，相互滲透，共同構建數學知識體系，且廣泛應用于實際問題.

數列單元教學設計的學習進階，依據課程標準及教學內容，從問題解決的視角，將學生的學習劃分成四個依次遞進的水平：

（1）水平一：通過“基本計算”，了解數列的定義、分類以及前n項和等基礎知識和基本運算；

（2）水平二：通過“思維方法”，理解數列的通項公式和前n項和公式，能夠運用數列的知識解決一些較為復雜的計算問題；

（3）水平三：通過“綜合應用”，將數列知識與函數、不等式等知識結合解決數學問題和實際問題；

（4）水平四：通過“拓展探究”，能夠以數列為工具，進行一些項目化問題的課題研究和“數學建模”.

2.2“數列”單元進階起點分析與終點預設

“數列”選自人教A版數學選擇性必修第二冊第四章，該章節是代數領域的重要內容之一，是對函數、方程思想的具體應用.數列學習進階的起點是函數知識，學生容易學習數列的基本概念，能夠通過通項公式和前n項和公式求解數列問題，能夠運用數列知識解決一些簡單的實際問題.然而，學生對數列知識的整體把握不夠，與其他知識的融合度較低，缺乏解題的通用策略，綜合應用能力及邏輯推理能力有待提高，數學思維仍需進一步加強.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020 年修訂）》中對“數列”知識的要求是：掌握數列的概念、通項公式和前n項和公式，能運用等差數列、等比數列解決實際問題和數學問題等[2].所以，在教學中要運用學習進階理論設置學生學習的終點目標，在起點和終點之間搭建適宜的“橋梁”，使學生可以順著橋梁逐步提升，并最終深入理解數列的相關知識.依據學習進階理論，數列單元課的進階終點預設為掌握數列的定義、通項公式、求和公式等基本概念，構建知識框架，能夠運用以上知識并結合“函數、不等式”等知識解決數學問題和實際問題，深刻領悟和運用數學思想方法，提升數學運算、邏輯推理等核心素養，培養學生的數學情感和價值觀.

2.3“數列”單元課進階教學設計

2.3.1進階水平一：概念建立水平

學習數列有關定義，設置下列“問題鏈”.

問題1等差數列an中，已知a3=8，a8=20，求d和a1.

問題2等差數列an的前n項和公式為Sn=2n2+3n，求a6和公差d.

問題3等比數列bn中，b2=3，b5=81，求q和b10.

問題4等比數列bn的前n項和公式為Tn=3n-1，求b8和公比q.

設計意圖通過問題1至問題4，引導學生學習等差數列和等比數列的基本概念，從而讓學生鞏固基礎知識，建立起對數列概念的清晰認知，為后續深入學習奠定堅實的基礎.同時，有助于學生建立起對數列知識的系統性認知，將各個分散的知識點聯系起來，形成一個完整的知識網絡，為進一步學習做好鋪墊.

2.3.2進階水平二：知識理解水平

進一步提升學生對數列的掌握程度.在這個階段，學生不僅要熟悉數列的基本概念，還要能夠靈活運用各種計算方法，構造下列“問題鏈”.

問題1已知a1=2，an+1=3an+2n，求數列an的通項公式.

問題2若等比數列an的公比為2，且a2，a3+2，a4成等差數列.

（1）求數列an的通項公式；

（2）若bn=log2an+an，求數列bn的前n項和Tn.

問題3已知Sn為數列an的前n項和，且滿足a1+3a2+5a3+…+（2n-1）an=2n（n∈N*）.

（1）求數列an的通項公式；

（2）記bn=an2n+1，求數列bn的前n項和Tn.

問題4設Sn為數列an的前n項和，已知a2=1，2Sn=nan.

（1）求數列an的通項公式；

（2）求數列an+12n的前n項和Tn.

設計意圖通過問題1的構造法、問題2的分組求和法、問題3的裂項相消法、問題4的錯位相減法，引導學生求出通項公式和前n項和，提升解題能力與思維靈活性，加深對數列性質的理解.

2.3.3進階水平三：綜合應用水平

學生在掌握數列基礎知識與各種運算方法后，步入進階水平三.此階段旨在促使學生將數列知識與其他數學知識相融合，設計以下“問題鏈”：

問題1在數列an中，a1=1，a2=2，記AnAn+1

=

（an，an+1）（n∈N*），且A1A2∥AnAn+1對任意

n∈N*恒成立，求數列an的通項公式.

問題2已知函數f（x）=xα的圖象過點4，2，令an=1f（n+1）+f（n），n∈N*，記數列an的前n項為Sn，則S2018=？

問題3已知數列an滿足a1=1，an+1=2an

+1n∈N*，若數列an+1an+2an+1+2的前n項和為Tn．那么對于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實數k的取值范圍？

問題4已知等差數列an的首項為a1，公差為d，其前n項和為Sn，若直線y=12a1x+m與圓x-22+y=1的兩個交點關于直線x+y-d=0對稱，則數列1Sn的前100項和等于？

問題5《周髀算經》有記載：一年有二十四個節氣，每個節氣晷長增減情況相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪這連續的十二個節氣，它們的日影子長依次成等差數列.經記錄和測算，夏至、處暑、霜降三個節氣日影子長之和為16.5尺，而這十二節氣的全部日影子長之和為84尺，那么大雪的日影子長為多少？

設計意圖問題1涉及平面向量知識，應用數量積運算來求解；通過問題2，將數列與函數交匯，根據函數的運算法則和裂項相消法求an即可求出；通過問題3，將數列與不等式結合，由題設易知an+1是首項、公比都為2的等比數列，進而得到an+1an+2an+1+2=12n+1+1-12n+1，裂項相消法求Tn，從而根據不等式恒成立求參數范圍；問題4結合解析幾何，通過兩直線垂直且直線x+y-d=0過圓心求得a1和d，從而求得數列1Sn的前100項和；問題5是數列的實際應用，可設夏至的日影長為a1，公差為d，根據題意，列出方程組即可求解.

2.3.4進階水平四：拓展探究水平

學生完成前三個進階水平后，進入進階水平四.通過小組合作的方式完成下列“問題鏈”.

問題1“數列”單元看似簡單，卻有著豐富的內涵，現在請大家以小組合作的方式從以下課題中選擇一個進行研究：

（1）“數列”的發展歷史；

（2）整理“等差數列與等比數列”的通項公式與求和公式的推導方法（不少于 5 種）.

問題2各小組圍繞如下話題試著制作一張專題手抄報：

（1）古今中外數學家研究“等差數列與等比數列”的有趣故事；

（2）詳細介紹一種你搜集到的 “等差數列與等比數列”通項公式或求和公式推導方法中的一種；

（3）在本次課題學習中你有哪些收獲和遇到的問題.

設計意圖在這一環節中，教師引導學生以小組合作的形式進行項目化研究性學習，進一步深入了解數列的演變歷程以及各類數列（如等差數列、等比數列等）的特點和相關公式的推導過程，并通過制作手抄報的形式展示成果，從而潛移默化地培養學生的科學素養和創新精神，為學生的未來發展奠定堅實的基礎.

3結束語

學習進階是數學教學的基本要求.在“數列”單元教學中，以“問題鏈”為主線，以“問題解決”為核心，構建深化數列認知結構形成和發展的進階路徑，力求促使學生思考，培育數學高階思維，發展數學核心素養.需要說明的是，在將學習進階應用于數列教學實踐時，要注重進階的過程性和多種進階路徑的可能性.因此，本教學設計在實際教學中可根據學生的學習狀況進行適當增減，教學時間也可根據實際情況靈活安排.

參考文獻：

［1］ 劉晟，劉恩山.學習進階：關注學生認知發展和生活經驗 [J].教育學報，2012，8（02）：81-87.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李慧嬌］